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1. 已知等腰三角形的两边长分别是3和5,则这个等腰三角形的周长为
11或13
.答案
$11$或$13$
解析
分两种情况讨论：
情况一：3为腰长，则三角形的三边长为3，3，5。
根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，$3 + 3＞5$，$3 + 5＞3$，$5 + 3＞3$，满足三边关系，此时周长为$3 + 3+5 = 11$。
情况二：3为底边长，则三角形的三边长为3，5，5。
同样根据三角形三边关系，$3 + 5＞5$，$5 + 5＞3$，$3 + 5＞5$，满足三边关系，此时周长为$3 + 5 + 5=13$。
情况一：3为腰长，则三角形的三边长为3，3，5。
根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，$3 + 3＞5$，$3 + 5＞3$，$5 + 3＞3$，满足三边关系，此时周长为$3 + 3+5 = 11$。
情况二：3为底边长，则三角形的三边长为3，5，5。
同样根据三角形三边关系，$3 + 5＞5$，$5 + 5＞3$，$3 + 5＞5$，满足三边关系，此时周长为$3 + 5 + 5=13$。
2. 如图,在△ABC中,∠BAC= 90°,AD是BC边上的高,E是BC的中点,连接AE,图中的直角三角形有
4
.答案
4
解析
在△ABC中，∠BAC=90°，故△ABC是直角三角形。AD是BC边上的高，所以∠ADB=∠ADC=90°，则△ABD、△ACD是直角三角形。E是BC中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，故AE=BE=CE，△ADE中∠ADE=90°，△ABE和△ACE是等腰三角形但非直角三角形。综上，直角三角形有△ABC、△ABD、△ACD、△ADE，共4个。
【典型例题2】(1)如图1,△ABC的三边的中线AD,BE,CF相交于点G,且AG:GD= 2:1,若$S_{△ABC}= 12$,则图中阴影部分的面积之和是
(2)如图2,在△ABC中,AB= AC,AC边上的高BD= 4,P为BC上一点,PE⊥AC于点E,PF⊥AB于点F,则PE+PF的值为
4
.(2)如图2,在△ABC中,AB= AC,AC边上的高BD= 4,P为BC上一点,PE⊥AC于点E,PF⊥AB于点F,则PE+PF的值为
4
.答案
【解析】(1)等底同高的两个三角形面积相等,所以$S_{△BFG}= S_{△AFG}$,$S_{△AEG}= S_{△CEG}$,$S_{△BDG}= S_{△CDG}$.
因为AG:GD= 2:1,
所以$S_{△ABG}:S_{△BDG}= 2:1$,
所以$S_{△BFG}= S_{△BDG}$.
这样,三条中线把△ABC分成的六个小三角形的面积都相等,故图中阴影部分的面积之和为12÷6×2= 4.
(2)连接AP(图略),
∵$S_{△ABC}= S_{△ABP}+S_{△ACP}$,
∴$\frac{1}{2}AC·BD= \frac{1}{2}AB·PF+\frac{1}{2}AC·PE$.
∵AB= AC,
∴PE+PF= BD= 4.
【答案】(1)4 (2)4
因为AG:GD= 2:1,
所以$S_{△ABG}:S_{△BDG}= 2:1$,
所以$S_{△BFG}= S_{△BDG}$.
这样,三条中线把△ABC分成的六个小三角形的面积都相等,故图中阴影部分的面积之和为12÷6×2= 4.
(2)连接AP(图略),
∵$S_{△ABC}= S_{△ABP}+S_{△ACP}$,
∴$\frac{1}{2}AC·BD= \frac{1}{2}AB·PF+\frac{1}{2}AC·PE$.
∵AB= AC,
∴PE+PF= BD= 4.
【答案】(1)4 (2)4
3. 如图,△ABC中BC边上的高是(
A.BD
B.AE
C.BE
D.CF
B
)A.BD
B.AE
C.BE
D.CF
答案
B
解析
三角形的高是指从一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。在$\triangle ABC$中，从点$A$向$BC$边所在直线作垂线，顶点是$A$，垂足为$E$（图中$AE\perp BC$），所以$BC$边上的高是$AE$。
4. 如图,在△ABC中,点D,E,F分别为BC,AD,CE的中点,且$S_{△ABC}= 4 cm^{2}$,则阴影部分的面积为
1
$cm^{2}$.答案
1
解析
∵D是BC中点，∴AD是△ABC中线，$S_{△ABD}=S_{△ACD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=2cm^2$。
∵E是AD中点，∴BE是△ABD中线，$S_{△BDE}=\frac{1}{2}S_{△ABD}=1cm^2$；CE是△ACD中线，$S_{△CDE}=\frac{1}{2}S_{△ACD}=1cm^2$。
∴$S_{△BEC}=S_{△BDE}+S_{△CDE}=1+1=2cm^2$。
∵F是CE中点，∴BF是△BEC中线，$S_{△BEF}=\frac{1}{2}S_{△BEC}=1cm^2$。
∵E是AD中点，∴BE是△ABD中线，$S_{△BDE}=\frac{1}{2}S_{△ABD}=1cm^2$；CE是△ACD中线，$S_{△CDE}=\frac{1}{2}S_{△ACD}=1cm^2$。
∴$S_{△BEC}=S_{△BDE}+S_{△CDE}=1+1=2cm^2$。
∵F是CE中点，∴BF是△BEC中线，$S_{△BEF}=\frac{1}{2}S_{△BEC}=1cm^2$。
【典型例题3】如图,在△ABC中,∠ACB＞∠B,AD平分∠BAC,P为线段AD上的任意一点,EP⊥AD交直线BC于点E.
(1)若∠B= 35°,∠ACB= 75°,求∠E的度数；
(2)猜想∠B,∠ACB,∠E的数量关系,并证明.
(1)若∠B= 35°,∠ACB= 75°,求∠E的度数；
(2)猜想∠B,∠ACB,∠E的数量关系,并证明.
答案
思路导引 (1)先求出∠BAC的度数,进而得到∠BAD的度数,然后利用三角形内角和定理的推论求得∠ADE的度数,最后利用直角三角形的性质求得∠E的度数；
(2)先在△ABC中利用∠B与∠ACB的式子表示∠BAC,再在△ABD中利用三角形内角和定理的推论表示∠ADC,最后在Rt△PDE中获得∠B,∠ACB,∠E的数量关系.
【解】(1)在△ABC中,
∵∠BAC= 180°-∠B-∠ACB= 180°-35°-75°= 70°,
又AD平分∠BAC,
∴∠BAD= $\frac{1}{2}$∠BAC= $\frac{1}{2}$×70°= 35°,
∴∠ADE= ∠B+∠BAD= 35°+35°= 70°.
∵EP⊥AD,
∴∠EPD= 90°,
∴∠E= 90°-∠ADE= 90°-70°= 20°.
(2)∠E= $\frac{1}{2}$(∠ACB-∠B).
证明：由题意,得∠ADE= ∠B+∠BAD= ∠B+$\frac{1}{2}$∠BAC= ∠B+$\frac{1}{2}$(180°-∠B-∠ACB)= 90°+$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$∠ACB.
∵EP⊥AD,
∴∠EPD= 90°,
∴∠E= 90°-∠ADE= 90°-(90°+$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$∠ACB)= $\frac{1}{2}$(∠ACB-∠B).
