6.(金华)如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点 P 处放一水平的平面镜,光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处. 已知$AB\perp BD$,$CD\perp BD$,且测得$AB= 1.2\ m$,$BP= 1.8\ m$,$PD= 12\ m$,那么该古城墙的高度是()

A.6 m
B.8 m
C.18 m
D.24 m

B

由题意可得：$\angle APB=\angle CPD$，$\angle ABP=\angle CDP=90^\circ$，
所以$\triangle ABP\sim\triangle CDP$，
则$\frac{AB}{CD}=\frac{BP}{DP}$，
已知$AB=1.2$米，$BP=1.8$米，$PD=12$米，
代入可得：$\frac{1.2}{CD}=\frac{1.8}{12}$，
解得：$CD=8$（米）。

7.(杭州)如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8,另一个与它相似的直角三角形的边长分别是 3 和 4 及 x,那么 x 的值()
A.只有 1 个
B.可以有 2 个
C.有 2 个以上但有限
D.有无数个

B

已知一个直角三角形的两条边长分别是6和8。我们需要考虑两种情况：
1. 6和8都是直角边。
2. 8是斜边，6是直角边。
情况1：6和8都是直角边
根据勾股定理，斜边长度为：
$c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$。
情况2：8是斜边，6是直角边
根据勾股定理，另一个直角边长度为：
$b = \sqrt{8^2 - 6^2} = \sqrt{64 - 36} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$。
现在我们考虑另一个与它相似的直角三角形，其边长分别为3和4及x。
情况A：3和4都是直角边
相似三角形的对应边成比例，即：
$\frac{6}{3} = \frac{8}{4} = \frac{10}{x}$。
解得：$x = 5$。
情况B：4是斜边，3是直角边
此时，另一个直角边x应满足：
$\frac{6}{3} = \frac{2\sqrt{7}}{x} = \frac{8}{4}$。
解得：$x = \sqrt{7}$。
因此，x的值有两个可能，即5或$\sqrt{7}$。

8.(上海)如图①,$□ ABCD$中,E 是边 BC 上的点. AE 交 BD 于点 F,如果$\frac{BE}{BC}= \frac{2}{3}$,那么$\frac{BF}{FD}= $.
 

$\frac{2}{3}$。

由于四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD=BC$，$AD// BC$。
因为$\frac{BE}{BC}=\frac{2}{3}$，所以$\frac{BE}{AD}=\frac{2}{3}$。
因为$AD// BE$，所以$\triangle BEF\sim\triangle DAF$，所以$\frac{BF}{FD}=\frac{BE}{AD}=\frac{2}{3}$。

9.(山西)如图②,在$\triangle ABC$中,$AB= AC= 13$,$BC= 10$,D 是 AB 的中点,过点 D 作$DE\perp AC$于点 E,则 DE 的长是______.

过点$A$作$AF\perp BC$交$BC$于点$F$，
$\because AB = AC$，$AF\perp BC$，
$\therefore BF = CF=\frac{1}{2}BC = 5$。
在$Rt\triangle ABF$中，根据勾股定理$AB^{2}=AF^{2}+BF^{2}$，
可得$AF=\sqrt{AB^{2}-BF^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{169 - 25}=\sqrt{144}=12$。
$\because S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AF=\frac{1}{2}AC\cdot h$（$h$为$AC$边上的高），
$\therefore\frac{1}{2}×10×12=\frac{1}{2}×13× h$，
解得$h=\frac{120}{13}$。
$\because D$是$AB$中点，$DE\perp AC$，
$\therefore S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$，
又$\because S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AC\cdot DE$，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot h$，
$\therefore\frac{1}{2}AC\cdot DE=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}AC\cdot h$，
$\therefore DE=\frac{1}{2}h=\frac{60}{13}$。
故答案为：$\frac{60}{13}$。

10.(南宁)如图,$\triangle ABC三个顶点坐标分别为A(-1,3)$,$B(-1,1)$,$C(-3,2)$.
(1)请画出$\triangle ABC$关于 y 轴对称的$\triangle A_1B_1C_1$；
(2)以原点 O 为位似中心,将$\triangle A_1B_1C_1$放大为原来的 2 倍,得到$\triangle A_2B_2C_2$,请在第三象限内画出$\triangle A_2B_2C_2$,并求出$S_{\triangle A_1B_1C_1}:S_{\triangle A_2B_2C_2}$的值.

(1) 由关于y轴对称的点的坐标特征，得A₁(1,3)，B₁(1,1)，C₁(3,2)，连接A₁、B₁、C₁，画出△A₁B₁C₁。
(2) 以原点O为位似中心，放大2倍且在第三象限，位似比为2，各顶点坐标为原坐标乘以-2，得A₂(-2,-6)，B₂(-2,-2)，C₂(-6,-4)，在第三象限连接A₂、B₂、C₂，画出△A₂B₂C₂。
∵位似比为1:2，
∴面积比为(1:2)²=1:4。
S△A₁B₁C₁:S△A₂B₂C₂=1:4。