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14. (★★)以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是【
A.$\frac{\sqrt{3}}{8}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{4}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{8}$
D
】A.$\frac{\sqrt{3}}{8}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{4}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{8}$
答案
D
解析
半径为1的圆的内接正多边形边心距公式为$d = R\cos\frac{180°}{n}$（$R=1$，$n$为边数）。
正三角形（$n=3$）：边心距$d_3 = \cos60° = \frac{1}{2}$；
正方形（$n=4$）：边心距$d_4 = \cos45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$；
正六边形（$n=6$）：边心距$d_6 = \cos30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
三边为$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$。验证勾股定理：$(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4} = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2$，故为直角三角形。
面积$S = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{8}$。
正三角形（$n=3$）：边心距$d_3 = \cos60° = \frac{1}{2}$；
正方形（$n=4$）：边心距$d_4 = \cos45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$；
正六边形（$n=6$）：边心距$d_6 = \cos30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
三边为$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$。验证勾股定理：$(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4} = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2$，故为直角三角形。
面积$S = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{8}$。
15. (★★)正三角形内切圆半径$r与外接圆半径R$之间的关系为【
A.$4R = 5r$
B.$3R = 4r$
C.$2R = 3r$
D.$R = 2r$
D
】A.$4R = 5r$
B.$3R = 4r$
C.$2R = 3r$
D.$R = 2r$
答案
D
解析
设正三角形边长为a，其外接圆半径为R，内切圆半径为r。正三角形的外心、内心重合，将正三角形的中心与一个顶点及一边中点连接，构成一个含30°角的直角三角形，其中斜边为外接圆半径R，30°角所对直角边为内切圆半径r。在直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半，故r = R/2，即R = 2r。
16. (★★★)如图24.3 - 8,已知正五边形ABCDE中,点F是BC的中点,P是线段EF上的动点,连接AP,BP,当$AP + BP$的值最小时,$\angle BPF$的度数为____
54°
。答案
54°
解析
1. 正五边形性质：正五边形内角为108°，对称轴通过顶点及对边中点。EF为过顶点E和BC中点F的对称轴，故EF垂直平分BC，B、C关于EF对称，因此BP=CP（P在EF上）。
2. 转化问题：AP+BP=AP+CP，要使AP+CP最小，因A、C在EF异侧，连接AC交EF于P，此时AP+CP=AC最小，P为AC与EF交点。
3. 求∠BPF：在△ABC中，AB=BC，∠ABC=108°，则∠BCA=（180°-108°）/2=36°。因PB=PC，△PBC为等腰三角形，∠PBC=∠PCB=36°。EF⊥BC，∠PFB=90°，故∠BPF=90°-∠PBC=90°-36°=54°。
17. (★★)(2023·安徽)如图24.3 - 9,正五边形ABCDE内接于⊙O,连接OC,OD,则$\angle BAE - \angle COD$等于【
A.60°
B.54°
C.48°
D.36°
A
】A.60°
B.54°
C.48°
D.36°
答案
A
解析
正五边形ABCDE内接于⊙O，因此为中心对称图形，五条边相等，五个内角相等。
正五边形的每个内角为：
$每个内角 = \frac{(5-1) × 180°}{5} = 108°$。
所以$\angle BAE = 108°$。
正五边形的中心角为：
$每个中心角 = \frac{360°}{5} = 72°$。
所以$\angle COD = 72°$。
因此：
$\angle BAE - \angle COD = 108° - 72° = 36°$。
正五边形的每个内角为：
$每个内角 = \frac{(5-1) × 180°}{5} = 108°$。
所以$\angle BAE = 108°$。
正五边形的中心角为：
$每个中心角 = \frac{360°}{5} = 72°$。
所以$\angle COD = 72°$。
因此：
$\angle BAE - \angle COD = 108° - 72° = 36°$。
1. (★)由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做
扇形
。答案
扇形
解析
根据扇形的定义，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。
2. (★)在半径为 $ R $ 的圆中,圆心角为 $ n^{\circ} $ 的弧长公式为 $ l = $
$\frac{n\pi R}{180}$
,扇形面积公式为 $ S = $$\frac{n\pi R^{2}}{360}$
$ = $$\frac{1}{2}lR$
。答案
$\frac{n\pi R}{180}$；$\frac{n\pi R^{2}}{360}$，$\frac{1}{2}lR$
解析
弧长公式：在半径为$R$，圆心角为$n^{\circ}$的圆中，因为圆的周长为$2\pi R$，圆心角为$360^{\circ}$，那么$1^{\circ}$的圆心角所对的弧长为$\frac{2\pi R}{360}$，所以$n^{\circ}$的圆心角所对的弧长$l=\frac{n}{360}×2\pi R=\frac{n\pi R}{180}$。
扇形面积公式：方法一，扇形面积与圆面积的关系类似于扇形弧长与圆周长的关系，圆的面积为$\pi R^{2}$，所以扇形面积$S=\frac{n}{360}×\pi R^{2}=\frac{n\pi R^{2}}{360}$；方法二，因为扇形可看作由弧长$l$和两条半径$R$组成的图形，其面积可类比三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$（这里$a$相当于弧长$l$，$h$相当于半径$R$），所以$S=\frac{1}{2}lR$。
扇形面积公式：方法一，扇形面积与圆面积的关系类似于扇形弧长与圆周长的关系，圆的面积为$\pi R^{2}$，所以扇形面积$S=\frac{n}{360}×\pi R^{2}=\frac{n\pi R^{2}}{360}$；方法二，因为扇形可看作由弧长$l$和两条半径$R$组成的图形，其面积可类比三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$（这里$a$相当于弧长$l$，$h$相当于半径$R$），所以$S=\frac{1}{2}lR$。
3. (★)已知扇形的半径为 $ 3 \, cm $,面积为 $ 3\pi \, cm^2 $,则这个扇形的圆心角是
$120^{\circ}$
,弧长是$2\pi$
(结果保留 $ \pi $) $ cm $。答案
圆心角是 $120^{\circ}$，弧长是 $2\pi$。
解析
设扇形的圆心角为 $n^{\circ}$，半径为 $r$，面积为 $S$，弧长为 $l$。
根据扇形面积公式，有 $S = \frac{n\pi r^{2}}{360}$。
代入已知条件 $r = 3\, cm$ 和 $S = 3\pi\, cm^2$，得到：
$3\pi = \frac{n\pi × 3^{2}}{360}$，
$3\pi = \frac{n\pi × 9}{360}$，
$3\pi × 360 = n\pi × 9$，
$1080\pi = 9n\pi$，
$n = 120$。
再根据弧长公式 $l = \frac{n\pi r}{180}$，代入 $n = 120$ 和 $r = 3\, cm$，得到：
$l = \frac{120\pi × 3}{180}$，
$l = 2\pi\, cm$。
根据扇形面积公式，有 $S = \frac{n\pi r^{2}}{360}$。
代入已知条件 $r = 3\, cm$ 和 $S = 3\pi\, cm^2$，得到：
$3\pi = \frac{n\pi × 3^{2}}{360}$，
$3\pi = \frac{n\pi × 9}{360}$，
$3\pi × 360 = n\pi × 9$，
$1080\pi = 9n\pi$，
$n = 120$。
再根据弧长公式 $l = \frac{n\pi r}{180}$，代入 $n = 120$ 和 $r = 3\, cm$，得到：
$l = \frac{120\pi × 3}{180}$，
$l = 2\pi\, cm$。
4. (★)某花园内有一块五边形的空地,如图 24.4 - 1,为了美化环境,现计划在以该五边形各顶点为圆心、$ 2 \, m $ 长为半径的扇形区域(阴影部分)种上花草,那么种上花草的扇形区域总面积是【
A.$ 6\pi \, m^2 $
B.$ 5\pi \, m^2 $
C.$ 4\pi \, m^2 $
D.$ 3\pi \, m^2 $
D
】A.$ 6\pi \, m^2 $
B.$ 5\pi \, m^2 $
C.$ 4\pi \, m^2 $
D.$ 3\pi \, m^2 $
答案
D
解析
五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，阴影部分为5个扇形，半径均为2m，圆心角之和为540°。扇形总面积$=\frac{540°}{360°}×\pi×2^2=3\pi\,m^2$。
5. (★) $ 120^{\circ} $ 的圆心角所对的弧长是 $ 12\pi \, cm $,则此弧所在的圆的半径是
18
$ cm $。答案
【解析】：设圆的半径为$r$，根据弧长公式$l = \frac{n\pi r}{180}$（其中$n = 120^{\circ}$，$l = 12\pi$），可得$12\pi = \frac{120\pi r}{180}$，化简得$12\pi = \frac{2\pi r}{3}$，两边同时除以$\pi$得$12 = \frac{2r}{3}$，解得$r = 18$。
【答案】：18
【答案】：18
