登录
8. ($★★★$)(2023·许昌模拟)施工队要修建一个纵切面为抛物线的公路隧道,其高度为$6$米,宽度$OM为12$米。现以$O$点为原点,$OM所在直线为x$轴建立平面直角坐标系(如图22.3 - 15①所示)。
(1)求出这条抛物线的函数解析式,并写出自变量$x$的取值范围。
(2)隧道下的公路是双向行车道(正中间是一条宽$1$米的隔离带),其中的一条行车道能否行驶宽$2.5$米、高$5$米的特种车辆？请通过计算说明。
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形脚手架$CDAB$,使$A$,$D$点在抛物线上。$B$,$C点在地面OM$线上(如图22.3 - 15②所示)。为了筹备材料,需求出脚手架三根木杆$AB$,$AD$,$DC$的长度之和的最大值是多少,请你帮施工队计算一下。
(1)求出这条抛物线的函数解析式,并写出自变量$x$的取值范围。
(2)隧道下的公路是双向行车道(正中间是一条宽$1$米的隔离带),其中的一条行车道能否行驶宽$2.5$米、高$5$米的特种车辆？请通过计算说明。
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形脚手架$CDAB$,使$A$,$D$点在抛物线上。$B$,$C点在地面OM$线上(如图22.3 - 15②所示)。为了筹备材料,需求出脚手架三根木杆$AB$,$AD$,$DC$的长度之和的最大值是多少,请你帮施工队计算一下。
答案
(1)y=-1/6x²+2x(0≤x≤12)；(2)不能；(3)15米。
解析
(1) 由题意知抛物线与x轴交于O(0,0)，M(12,0)，顶点为(6,6)。设抛物线解析式为y=ax(x-12)，将(6,6)代入得：6=a·6·(-6)，解得a=-1/6。∴解析式为y=-1/6x²+2x，自变量x取值范围0≤x≤12。
(2) 隧道宽12米，中间隔离带1米，每条行车道宽(12-1)/2=5.5米。车辆宽2.5米，在左侧行车道，右侧边缘最大x=5.5，左侧边缘x=5.5-2.5=3。当x=3时，y=-1/6×3²+2×3=4.5＜5，∴不能行驶。
(3) 设B(m,0)，则A(m,y)，C(n,0)，D(n,y)，y=-1/6m²+2m=-1/6n²+2n，得m+n=12。AB+AD+DC=2y+(n-m)=2(-1/6m²+2m)+(12-2m)=-1/3m²+2m+12。当m=3时，最大值为15。
(2) 隧道宽12米，中间隔离带1米，每条行车道宽(12-1)/2=5.5米。车辆宽2.5米，在左侧行车道，右侧边缘最大x=5.5，左侧边缘x=5.5-2.5=3。当x=3时，y=-1/6×3²+2×3=4.5＜5，∴不能行驶。
(3) 设B(m,0)，则A(m,y)，C(n,0)，D(n,y)，y=-1/6m²+2m=-1/6n²+2n，得m+n=12。AB+AD+DC=2y+(n-m)=2(-1/6m²+2m)+(12-2m)=-1/3m²+2m+12。当m=3时，最大值为15。
9. ($★★$)(2022·南充)如图22.3 - 16,水池中心点$O$处竖直安装一水管,水管喷头喷出抛物线形水柱,喷头上下移动时,抛物线形水柱随之竖直上下平移,水柱落点与点$O$在同一水平面。安装师傅调试发现,喷头高$2.5m$时,水柱落点距$O点2.5m$；喷头高$4m$时,水柱落点距$O点3m$。那么喷头高
8
m时,水柱落点距$O点4m$。答案
8
解析
设以O为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，喷头高度为$h$时，抛物线解析式为$y = ax^2 + bx + h$（$a$、$b$为常数，$h$为喷头高度）。
当$h = 2.5m$，落点$(2.5, 0)$，代入得：$0 = a(2.5)^2 + b(2.5) + 2.5$，化简为$6.25a + 2.5b = -2.5$，即$2.5a + b = -1$ ①；
当$h = 4m$，落点$(3, 0)$，代入得：$0 = a(3)^2 + b(3) + 4$，即$9a + 3b = -4$ ②；
联立①②，由①得$b = -2.5a - 1$，代入②：$9a + 3(-2.5a - 1) = -4$，解得$a = -\frac{2}{3}$，$b = \frac{2}{3}$。
当落点距O点$4m$时，落点$(4, 0)$，代入$y = -\frac{2}{3}x^2 + \frac{2}{3}x + h$：$0 = -\frac{2}{3}(4)^2 + \frac{2}{3}(4) + h$，解得$h = 8$。
当$h = 2.5m$，落点$(2.5, 0)$，代入得：$0 = a(2.5)^2 + b(2.5) + 2.5$，化简为$6.25a + 2.5b = -2.5$，即$2.5a + b = -1$ ①；
当$h = 4m$，落点$(3, 0)$，代入得：$0 = a(3)^2 + b(3) + 4$，即$9a + 3b = -4$ ②；
联立①②，由①得$b = -2.5a - 1$，代入②：$9a + 3(-2.5a - 1) = -4$，解得$a = -\frac{2}{3}$，$b = \frac{2}{3}$。
当落点距O点$4m$时，落点$(4, 0)$，代入$y = -\frac{2}{3}x^2 + \frac{2}{3}x + h$：$0 = -\frac{2}{3}(4)^2 + \frac{2}{3}(4) + h$，解得$h = 8$。
10. ($★★★$)(2022·河南)小红看到一处喷水景观,喷出的水柱呈抛物线形状(如图22.3 - 17①),她对此展开研究：测得喷水头$P距地面0.7m$,水柱在距喷水头$P水平距离5m$处达到最高,最高点距地面$3.2m$；建立如图22.3 - 17②所示的平面直角坐标系,并设抛物线的表达式为$y = a(x - h)^{2}+k$,其中$x(m)$是水柱距喷水头的水平距离,$y(m)$是水柱距地面的高度。
(1)求抛物线的表达式。
(2)爸爸站在水柱正下方,且距喷水头$P水平距离3m$。身高$1.6m$的小红在水柱下方走动,当她的头顶恰好接触到水柱时,求她与爸爸的水平距离。
(1)求抛物线的表达式。
(2)爸爸站在水柱正下方,且距喷水头$P水平距离3m$。身高$1.6m$的小红在水柱下方走动,当她的头顶恰好接触到水柱时,求她与爸爸的水平距离。
答案
(1)
依题意可知，抛物线顶点坐标为$(5,3.2)$，
所以$h = 5$，$k = 3.2$，
即$y=a(x - 5)^{2}+3.2$，
把$(0,0.7)$代入$y=a(x - 5)^{2}+3.2$得：
$0.7=a(0 - 5)^{2}+3.2$，
$25a+3.2 = 0.7$，
$25a=- 2.5$，
解得$a=-0.1$，
所以抛物线表达式为$y=-0.1(x - 5)^{2}+3.2$。
(2)
当$y = 1.6$时，
$1.6=-0.1(x - 5)^{2}+3.2$，
$-0.1(x - 5)^{2}=1.6 - 3.2=-1.6$，
$(x - 5)^{2}=16$，
$x - 5=\pm4$，
解得$x_1=1$，$x_2 = 9$，
因为爸爸站在水柱正下方，且距喷水头$P$水平距离$3m$，
当$x = 1$时，$\vert1 - 3\vert=2m$；
当$x = 9$时，$\vert9 - 3\vert=6m$。
答：(1)抛物线表达式为$y=-0.1(x - 5)^{2}+3.2$；(2)她与爸爸的水平距离为$2m$或$6m$。
依题意可知，抛物线顶点坐标为$(5,3.2)$，
所以$h = 5$，$k = 3.2$，
即$y=a(x - 5)^{2}+3.2$，
把$(0,0.7)$代入$y=a(x - 5)^{2}+3.2$得：
$0.7=a(0 - 5)^{2}+3.2$，
$25a+3.2 = 0.7$，
$25a=- 2.5$，
解得$a=-0.1$，
所以抛物线表达式为$y=-0.1(x - 5)^{2}+3.2$。
(2)
当$y = 1.6$时，
$1.6=-0.1(x - 5)^{2}+3.2$，
$-0.1(x - 5)^{2}=1.6 - 3.2=-1.6$，
$(x - 5)^{2}=16$，
$x - 5=\pm4$，
解得$x_1=1$，$x_2 = 9$，
因为爸爸站在水柱正下方，且距喷水头$P$水平距离$3m$，
当$x = 1$时，$\vert1 - 3\vert=2m$；
当$x = 9$时，$\vert9 - 3\vert=6m$。
答：(1)抛物线表达式为$y=-0.1(x - 5)^{2}+3.2$；(2)她与爸爸的水平距离为$2m$或$6m$。
