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1. 我们知道,二次根式乘除法有如下性质：$\sqrt { a } \cdot \sqrt { b } = \sqrt { a b } ( a \geqslant 0, b \geqslant 0 )$,$\frac { \sqrt { a } } { \sqrt { b } } = \sqrt { \frac { a } { b } } ( a \geqslant 0, b ＞ 0 )$,那么二次根式加法是否具有类似性质呢？请同学们根据下列问题开启探索之旅：
(1)请你举些例子比较$\sqrt { a } + \sqrt { b }与\sqrt { a + b } ( a \geqslant 0, b \geqslant 0 )$的大小,并提出猜想；(至少举3例)
(2)请利用学过的知识说明你的猜想。
(1)请你举些例子比较$\sqrt { a } + \sqrt { b }与\sqrt { a + b } ( a \geqslant 0, b \geqslant 0 )$的大小,并提出猜想；(至少举3例)
(2)请利用学过的知识说明你的猜想。
答案
解：
(1)①$\sqrt{1}+\sqrt{2}=1+\sqrt{2}$，而$\sqrt{1+2}=\sqrt{3}$，
所以$\sqrt{1}+\sqrt{2}＞\sqrt{1+2}$；
②$\sqrt{0}+\sqrt{5}=\sqrt{5}$，而$\sqrt{0+5}=\sqrt{5}$，
所以$\sqrt{0}+\sqrt{5}=\sqrt{0+5}$；
③$\sqrt{5}+\sqrt{2}\approx3.65$，而$\sqrt{5+2}=\sqrt{7}$，$2＜\sqrt{7}＜3$，
所以$\sqrt{5}+\sqrt{2}＞\sqrt{5+2}$；
…
猜想：$\sqrt{a}+\sqrt{b}\geqslant\sqrt{a+b}$。(举例不唯一)
(2)因为$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+b+2\sqrt{ab}$，$(\sqrt{a+b})^2=$
$a+b$，$2\sqrt{ab}\geqslant0$，
所以$\sqrt{a}+\sqrt{b}\geqslant\sqrt{a+b}$。
(1)①$\sqrt{1}+\sqrt{2}=1+\sqrt{2}$，而$\sqrt{1+2}=\sqrt{3}$，
所以$\sqrt{1}+\sqrt{2}＞\sqrt{1+2}$；
②$\sqrt{0}+\sqrt{5}=\sqrt{5}$，而$\sqrt{0+5}=\sqrt{5}$，
所以$\sqrt{0}+\sqrt{5}=\sqrt{0+5}$；
③$\sqrt{5}+\sqrt{2}\approx3.65$，而$\sqrt{5+2}=\sqrt{7}$，$2＜\sqrt{7}＜3$，
所以$\sqrt{5}+\sqrt{2}＞\sqrt{5+2}$；
…
猜想：$\sqrt{a}+\sqrt{b}\geqslant\sqrt{a+b}$。(举例不唯一)
(2)因为$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+b+2\sqrt{ab}$，$(\sqrt{a+b})^2=$
$a+b$，$2\sqrt{ab}\geqslant0$，
所以$\sqrt{a}+\sqrt{b}\geqslant\sqrt{a+b}$。
2. 鹏鹏在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,例如,$3 + 2 \sqrt { 2 } = ( 1 + \sqrt { 2 } ) ^ { 2 }$,于是鹏鹏进行了以下探索：
设$p + q \sqrt { 2 } = ( m + n \sqrt { 2 } ) ^ { 2 }$(其中$p$,$q$,$m$,$n$均为正整数),
则有$p + q \sqrt { 2 } = m ^ { 2 } + 2 n ^ { 2 } + 2 m n \sqrt { 2 }$(有理数和无理数分别对应相等),
所以$p = m ^ { 2 } + 2 n ^ { 2 }$,$q = 2 m n$,这样鹏鹏就找到了一种把式子$p + q \sqrt { 2 }$化为平方式的方法。
请你仿照鹏鹏的方法解决下列问题：
(1)当$a$,$b$,$c$,$d$均为正整数时,若$a + b \sqrt { 3 } = ( c + d \sqrt { 3 } ) ^ { 2 }$,用含$c$,$d的式子分别表示a$,$b$,$a = $
(2)若$x + 4 \sqrt { 7 } = ( m + n \sqrt { 7 } ) ^ { 2 }$,当$x$,$m$,$n$均为正整数时,求$x$的值；
解：因为$x + 4\sqrt{7} = (m + n\sqrt{7})^2$，
所以$x + 4\sqrt{7} = m^2 + 2mn\sqrt{7} + 7n^2$($x$，$m$，$n$均为正整数)，
所以$x = m^2 + 7n^2$，$2mn = 4$，
所以$mn = 2$，
所以$m = 1$，$n = 2$，$x = 29$或$m = 2$，$n = 1$，$x = 11$。
综上所述，$x = 29$或$x = 11$。
(3)化简：$\sqrt { 9 - 4 \sqrt { 5 } }$。
解：因为$(2 - \sqrt{5})^2 = 4 - 4\sqrt{5} + 5 = 9 - 4\sqrt{5}$，
所以$\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} = |2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2$。
设$p + q \sqrt { 2 } = ( m + n \sqrt { 2 } ) ^ { 2 }$(其中$p$,$q$,$m$,$n$均为正整数),
则有$p + q \sqrt { 2 } = m ^ { 2 } + 2 n ^ { 2 } + 2 m n \sqrt { 2 }$(有理数和无理数分别对应相等),
所以$p = m ^ { 2 } + 2 n ^ { 2 }$,$q = 2 m n$,这样鹏鹏就找到了一种把式子$p + q \sqrt { 2 }$化为平方式的方法。
请你仿照鹏鹏的方法解决下列问题：
(1)当$a$,$b$,$c$,$d$均为正整数时,若$a + b \sqrt { 3 } = ( c + d \sqrt { 3 } ) ^ { 2 }$,用含$c$,$d的式子分别表示a$,$b$,$a = $
$c^2+3d^2$
,$b = $$2cd$
；(2)若$x + 4 \sqrt { 7 } = ( m + n \sqrt { 7 } ) ^ { 2 }$,当$x$,$m$,$n$均为正整数时,求$x$的值；
解：因为$x + 4\sqrt{7} = (m + n\sqrt{7})^2$，
所以$x + 4\sqrt{7} = m^2 + 2mn\sqrt{7} + 7n^2$($x$，$m$，$n$均为正整数)，
所以$x = m^2 + 7n^2$，$2mn = 4$，
所以$mn = 2$，
所以$m = 1$，$n = 2$，$x = 29$或$m = 2$，$n = 1$，$x = 11$。
综上所述，$x = 29$或$x = 11$。
(3)化简：$\sqrt { 9 - 4 \sqrt { 5 } }$。
解：因为$(2 - \sqrt{5})^2 = 4 - 4\sqrt{5} + 5 = 9 - 4\sqrt{5}$，
所以$\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} = |2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2$。
答案
(1)$c^2+3d^2$，$2cd$；
(2)解：因为$x + 4\sqrt{7} = (m + n\sqrt{7})^2$，
所以$x + 4\sqrt{7} = m^2 + 2mn\sqrt{7} + 7n^2$($x$，$m$，$n$均为正整数)，
所以$x = m^2 + 7n^2$，$2mn = 4$，
所以$mn = 2$，
所以$m = 1$，$n = 2$，$x = 29$或$m = 2$，$n = 1$，$x = 11$。
综上所述，$x = 29$或$x = 11$。
(3)解：因为$(2 - \sqrt{5})^2 = 4 - 4\sqrt{5} + 5 = 9 - 4\sqrt{5}$，
所以$\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} = |2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2$。
