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7. (2025·德阳)如图所示,在直角三角形ABC中,已知∠ACB= 90°,点E是AB的中点,且DE⊥AB,DE交AC的延长线于点D,交BC于点F. 若∠D= 30°,EF= 2,则DF的长是(
A.5
B.4
C.3
D.2
B
)A.5
B.4
C.3
D.2
答案
B
解析
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E为AB中点，故CE=AE=BE（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。DE⊥AB，∠AED=90°，∠D=30°，则∠DAE=60°，即∠CAB=60°，故∠B=30°。
在Rt△AED中，∠D=30°，∠DAE=60°，设AE=BE=CE=x。在Rt△BEF中，∠B=30°，∠BEF=90°，则EF=BE·tan30°，即2=x·(1/√3)，解得x=2√3，故BE=AE=2√3。
在Rt△AED中，DE=AE·tan60°=2√3×√3=6。因DE=DF+EF，EF=2，故DF=DE-EF=6-2=4。
在Rt△AED中，∠D=30°，∠DAE=60°，设AE=BE=CE=x。在Rt△BEF中，∠B=30°，∠BEF=90°，则EF=BE·tan30°，即2=x·(1/√3)，解得x=2√3，故BE=AE=2√3。
在Rt△AED中，DE=AE·tan60°=2√3×√3=6。因DE=DF+EF，EF=2，故DF=DE-EF=6-2=4。
8. (2024·哈尔滨)如图所示,已知∠AOB= 60°,点P在边OA上,OP= 12,点M,N在边OB上,PM= PN. 若MN= 2,则OM的长为(
A.3
B.4
C.5
D.6
C
)A.3
B.4
C.5
D.6
答案
C
解析
过点P作PD⊥OB于点D.
∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，∴MD=DN=1（等腰三角形三线合一）.
在Rt△POD中，∠AOB=60°，∠PDO=90°，∴∠OPD=30°.
∵OP=12，∠OPD=30°，∴OD=OP/2=6（30°角所对直角边是斜边一半）.
∵OD=OM+MD，∴OM=OD-MD=6-1=5.
∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，∴MD=DN=1（等腰三角形三线合一）.
在Rt△POD中，∠AOB=60°，∠PDO=90°，∴∠OPD=30°.
∵OP=12，∠OPD=30°，∴OD=OP/2=6（30°角所对直角边是斜边一半）.
∵OD=OM+MD，∴OM=OD-MD=6-1=5.
9. 如图所示,在△ABC中,AB= AC,点D,E是△ABC内两点,AD平分∠BAC,∠EBC= ∠E= 60°. 若BE= 6 cm,DE= 2 cm,则BC=
16
cm.答案
16
解析
延长ED至点F，使EF=BE，连接BF。
∵∠E=60°，EF=BE=6cm，∴△BEF为等边三角形，∴BF=BE=6cm，∠EBF=∠BFE=60°。
∵∠EBC=60°，∴点F在BC上。
∵DE=2cm，∴DF=EF-DE=6-2=4cm。
∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，设垂足为O，即∠DOF=90°。
在Rt△DOF中，∠DFO=∠BFE=60°，∴∠ODF=30°，∴OF=DF/2=4/2=2cm。
∵BF=6cm，∴BO=BF+OF=6+2=8cm。
∵AD为中线，∴BC=2BO=16cm。
∵∠E=60°，EF=BE=6cm，∴△BEF为等边三角形，∴BF=BE=6cm，∠EBF=∠BFE=60°。
∵∠EBC=60°，∴点F在BC上。
∵DE=2cm，∴DF=EF-DE=6-2=4cm。
∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，设垂足为O，即∠DOF=90°。
在Rt△DOF中，∠DFO=∠BFE=60°，∴∠ODF=30°，∴OF=DF/2=4/2=2cm。
∵BF=6cm，∴BO=BF+OF=6+2=8cm。
∵AD为中线，∴BC=2BO=16cm。
10. 如图所示,在△ABC中,AB= BC,∠A= 30°,E是边AC上一点,连接BE并延长至点D,连接DC,若∠BCD= 120°,AB= 2DC,AE= 5,求CE的长.
答案
解：
1. 在△ABC中：
∵AB=BC，∠A=30°，∴∠ACB=∠A=30°（等边对等角），
∴∠ABC=180°-30°-30°=120°。
过B作BF⊥AC于F，由等腰三角形三线合一，AF=FC，
在Rt△ABF中，∠A=30°，设AB=BC=2x，则BF=AB/2=x（30°角所对直角边等于斜边一半），
由勾股定理：AF=√(AB²-BF²)=√[(2x)²-x²]=√3 x，∴AC=2AF=2√3 x。
2. 分析∠BCD=120°：
∵∠ACB=30°，∠BCD=120°，E在AC上，
∴∠ECD=∠BCD-∠ACB=120°-30°=90°，即DC⊥AC。
3. 证明△BEF≌△DEC：
∵BF⊥AC，DC⊥AC，∴BF//DC，∠BFE=∠DCE=90°（垂直于同一直线的两直线平行），
∵AB=2DC，AB=2x，∴DC=x=BF，
在△BEF和△DEC中：
∠BEF=∠DEC（对顶角），∠BFE=∠DCE=90°，BF=DC，
∴△BEF≌△DEC（AAS），∴EF=EC，设CE=m，则EF=m。
4. 求CE的长：
∵F为AC中点，FC=AC/2=√3 x，又FC=EF+EC=m+m=2m，∴√3 x=2m，即AC=2√3 x=4m。
∵AC=AE+EC=5+m，∴4m=5+m，解得m=5/3。
CE的长为5/3。
1. 在△ABC中：
∵AB=BC，∠A=30°，∴∠ACB=∠A=30°（等边对等角），
∴∠ABC=180°-30°-30°=120°。
过B作BF⊥AC于F，由等腰三角形三线合一，AF=FC，
在Rt△ABF中，∠A=30°，设AB=BC=2x，则BF=AB/2=x（30°角所对直角边等于斜边一半），
由勾股定理：AF=√(AB²-BF²)=√[(2x)²-x²]=√3 x，∴AC=2AF=2√3 x。
2. 分析∠BCD=120°：
∵∠ACB=30°，∠BCD=120°，E在AC上，
∴∠ECD=∠BCD-∠ACB=120°-30°=90°，即DC⊥AC。
3. 证明△BEF≌△DEC：
∵BF⊥AC，DC⊥AC，∴BF//DC，∠BFE=∠DCE=90°（垂直于同一直线的两直线平行），
∵AB=2DC，AB=2x，∴DC=x=BF，
在△BEF和△DEC中：
∠BEF=∠DEC（对顶角），∠BFE=∠DCE=90°，BF=DC，
∴△BEF≌△DEC（AAS），∴EF=EC，设CE=m，则EF=m。
4. 求CE的长：
∵F为AC中点，FC=AC/2=√3 x，又FC=EF+EC=m+m=2m，∴√3 x=2m，即AC=2√3 x=4m。
∵AC=AE+EC=5+m，∴4m=5+m，解得m=5/3。
CE的长为5/3。
11. (分类讨论)如图所示,△ABC是边长为6 cm的等边三角形,动点P,Q同时从A,B两点出发,分别沿AB,BC匀速运动.
(1)若点P的运动速度是1 cm/s,点Q的运动速度是2 cm/s,且点Q到达点C时,P,Q两点都停止运动,设运动时间为x s,当x= 2时,判断△BPQ的形状,并说明理由.
(2)若它们的速度都是1 cm/s,且当点P到达点B时,P,Q两点停止运动,设点P的运动时间为t s,则当t为何值时,△PBQ是直角三角形？
(1)若点P的运动速度是1 cm/s,点Q的运动速度是2 cm/s,且点Q到达点C时,P,Q两点都停止运动,设运动时间为x s,当x= 2时,判断△BPQ的形状,并说明理由.
(2)若它们的速度都是1 cm/s,且当点P到达点B时,P,Q两点停止运动,设点P的运动时间为t s,则当t为何值时,△PBQ是直角三角形？
答案
(1)
当$x = 2$时，$AP=2×1 = 2cm$，因为$AB = 6cm$，所以$BP=6 - 2=4cm$；
$BQ = 2×2 = 4cm$，又因为$AB = BC$，$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle B=60^{\circ}$。
此时$BP = BQ$，所以$\triangle BPQ$是等边三角形（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形）。
(2)
由题意可知$AP=t cm$，$BQ=t cm$，则$BP=(6 - t)cm$。
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle B = 60^{\circ}$。
若$\angle BQP = 90^{\circ}$，在$Rt\triangle BQP$中，$\angle B = 60^{\circ}$，则$\angle BPQ = 30^{\circ}$。
所以$BQ=\frac{1}{2}BP$，即$t=\frac{1}{2}(6 - t)$，
$2t=6 - t$，
$3t = 6$，
解得$t = 2$。
若$\angle BPQ = 90^{\circ}$，在$Rt\triangle BQP$中，$\angle B = 60^{\circ}$，则$\angle BQP = 30^{\circ}$。
所以$BP=\frac{1}{2}BQ$，即$6 - t=\frac{1}{2}t$，
$12 - 2t=t$，
$3t = 12$，
解得$t = 4$。
综上，当$t = 2$或$t = 4$时，$\triangle PBQ$是直角三角形。
当$x = 2$时，$AP=2×1 = 2cm$，因为$AB = 6cm$，所以$BP=6 - 2=4cm$；
$BQ = 2×2 = 4cm$，又因为$AB = BC$，$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle B=60^{\circ}$。
此时$BP = BQ$，所以$\triangle BPQ$是等边三角形（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形）。
(2)
由题意可知$AP=t cm$，$BQ=t cm$，则$BP=(6 - t)cm$。
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle B = 60^{\circ}$。
若$\angle BQP = 90^{\circ}$，在$Rt\triangle BQP$中，$\angle B = 60^{\circ}$，则$\angle BPQ = 30^{\circ}$。
所以$BQ=\frac{1}{2}BP$，即$t=\frac{1}{2}(6 - t)$，
$2t=6 - t$，
$3t = 6$，
解得$t = 2$。
若$\angle BPQ = 90^{\circ}$，在$Rt\triangle BQP$中，$\angle B = 60^{\circ}$，则$\angle BQP = 30^{\circ}$。
所以$BP=\frac{1}{2}BQ$，即$6 - t=\frac{1}{2}t$，
$12 - 2t=t$，
$3t = 12$，
解得$t = 4$。
综上，当$t = 2$或$t = 4$时，$\triangle PBQ$是直角三角形。
