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求分式有意义时字母的取值或取值范围的方法
(1)根据“分式有意义的条件”列不等式,求解可得分式有意义时字母的取值范围；
(2)先令分母等于 $0$ 构造方程,求出相应字母的值,然后在该字母的取值范围内去掉这些值,便可得分式有意义时字母的取值范围。
(1)根据“分式有意义的条件”列不等式,求解可得分式有意义时字母的取值范围；
(2)先令分母等于 $0$ 构造方程,求出相应字母的值,然后在该字母的取值范围内去掉这些值,便可得分式有意义时字母的取值范围。
答案
（此题为方法阐述题，无需填写具体答案，若为选择题关于方法选择，则答案为上述两种方法的描述选择，但题目未给出具体选项，故无法填写ABCD形式答案。）
解析
(1) 对于一个分式，其分母包含字母，要使分式有意义，分母不能为0。
因此，需要根据“分式有意义的条件”即分母不等于0，列出不等式，解这个不等式即可得到分式有意义时字母的取值范围。
(2) 另一种方法是，先令分母等于0，构造出一个方程，解这个方程可以得到使分母为0的字母的值。
然后，在字母的所有可能取值中，去掉这些使分母为0的值，剩下的就是使分式有意义时字母的取值范围。
因此，需要根据“分式有意义的条件”即分母不等于0，列出不等式，解这个不等式即可得到分式有意义时字母的取值范围。
(2) 另一种方法是，先令分母等于0，构造出一个方程，解这个方程可以得到使分母为0的字母的值。
然后，在字母的所有可能取值中，去掉这些使分母为0的值，剩下的就是使分式有意义时字母的取值范围。
3. 若分式 $\frac{x - 1}{2x + 1}$ 有意义,则 $x$ 的取值范围为(
A.$x \neq -\frac{1}{2}$
B.$x \neq 0$
C.$x \neq 1$
D.$x \neq 2$
A
)A.$x \neq -\frac{1}{2}$
B.$x \neq 0$
C.$x \neq 1$
D.$x \neq 2$
答案
A
解析
要使分式$\frac{x - 1}{2x + 1}$有意义，则分母$2x + 1\neq 0$，解不等式$2x + 1\neq 0$，可得$2x\neq - 1$，即$x\neq -\frac{1}{2}$。
4. 下列各式中,无论 $x$ 取何值,分式都有意义的是(
A.$\frac{x + a}{\vert x\vert - 2}$
B.$\frac{x}{2x + 1}$
C.$\frac{3x + 1}{x^{2}}$
D.$\frac{x^{2}}{2x^{2} + 1}$
D
)A.$\frac{x + a}{\vert x\vert - 2}$
B.$\frac{x}{2x + 1}$
C.$\frac{3x + 1}{x^{2}}$
D.$\frac{x^{2}}{2x^{2} + 1}$
答案
D
解析
分式有意义的条件是分母不为0。
A. 分母$\vert x\vert - 2$，当$\vert x\vert = 2$即$x = \pm 2$时，分母为0，分式无意义；
B. 分母$2x + 1$，当$2x + 1 = 0$即$x = -\frac{1}{2}$时，分母为0，分式无意义；
C. 分母$x^2$，当$x = 0$时，分母为0，分式无意义；
D. 分母$2x^2 + 1$，因为$x^2 \geq 0$，所以$2x^2 + 1 \geq 1$，分母恒不为0，无论$x$取何值，分式都有意义。
A. 分母$\vert x\vert - 2$，当$\vert x\vert = 2$即$x = \pm 2$时，分母为0，分式无意义；
B. 分母$2x + 1$，当$2x + 1 = 0$即$x = -\frac{1}{2}$时，分母为0，分式无意义；
C. 分母$x^2$，当$x = 0$时，分母为0，分式无意义；
D. 分母$2x^2 + 1$，因为$x^2 \geq 0$，所以$2x^2 + 1 \geq 1$，分母恒不为0，无论$x$取何值，分式都有意义。
5. 当 $x = 3$ 时,分式 $\frac{x - b}{x + 2b}$ 没有意义,则 $b$ 的值为(
A.$-3$
B.$-\frac{3}{2}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$3$
B
)A.$-3$
B.$-\frac{3}{2}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$3$
答案
B
解析
分式没有意义时，分母为0。当$x=3$时，分母$x + 2b = 3 + 2b = 0$，解得$b = -\frac{3}{2}$。
【例 3】分式 $\frac{x^{2} - 9}{x + 3}$ 的值为 $0$,则 $x$ 的值为(
A.$3$
B.$-3$
C.$\pm 3$
D.$9$
A
)A.$3$
B.$-3$
C.$\pm 3$
D.$9$
答案
A
解析
要使分式$\frac{x^{2} - 9}{x + 3}$的值为$0$，需要满足分子$x^{2} - 9 = 0$且分母$x + 3 \neq 0$。
由$x^{2} - 9 = 0$，得$x = \pm 3$。
由$x + 3 \neq 0$，得$x \neq -3$。
综合以上两个条件，只有$x = 3$满足要求。
由$x^{2} - 9 = 0$，得$x = \pm 3$。
由$x + 3 \neq 0$，得$x \neq -3$。
综合以上两个条件，只有$x = 3$满足要求。
分式的值为 $0$ 时,分式必须同时满足两个条件：
(1)分子等于 $0$；
(2)分母不等于 $0$。
(1)分子等于 $0$；
(2)分母不等于 $0$。
答案
分子等于0且分母不等于0
解析
分式的值为0需同时满足：分子等于0且分母不等于0。
6. 若分式 $\frac{49 - x^{2}}{7 - x}$ 的值为 $0$,则 $x$ 的值为(
A.$-7$
B.$7$
C.$7$ 或 $-7$
D.$49$
A
)A.$-7$
B.$7$
C.$7$ 或 $-7$
D.$49$
答案
A
解析
要使分式$\frac{49 - x^{2}}{7 - x}$的值为$0$，需要满足分子$49 - x^{2} = 0$且分母$7 - x \neq 0$。
由$49 - x^{2} = 0$，可得$x^{2} = 49$，即$x = \pm 7$。
又因为$7 - x \neq 0$，即$x \neq 7$，所以$x = - 7$。
由$49 - x^{2} = 0$，可得$x^{2} = 49$，即$x = \pm 7$。
又因为$7 - x \neq 0$，即$x \neq 7$，所以$x = - 7$。
7. 若分式 $\frac{\vert m - 5\vert}{m + 5}$ 的值为 $0$,则 $m$ 等于(
A.$-5$
B.$5$
C.$\pm 5$
D.$0$
B
)A.$-5$
B.$5$
C.$\pm 5$
D.$0$
答案
B
解析
要使分式$\frac{\vert m - 5\vert}{m + 5}$的值为$0$，需满足分子为$0$且分母不为$0$。
由分子$\vert m - 5\vert = 0$，得$m - 5 = 0$，即$m = 5$。
同时，分母$m + 5 \neq 0$，即$m \neq -5$。
综上，$m = 5$。
由分子$\vert m - 5\vert = 0$，得$m - 5 = 0$，即$m = 5$。
同时，分母$m + 5 \neq 0$，即$m \neq -5$。
综上，$m = 5$。
【例 4】已知 $x$ 为整数,且分式 $\frac{2x - 2}{x^{2} - 1}$ 的值为整数,则满足条件的整数 $x$ 可能是(
A.$0$,$1$,$2$
B.$-1$,$-2$,$-3$
C.$0$,$-2$,$-3$
D.$0$,$-1$,$-2$
C
)A.$0$,$1$,$2$
B.$-1$,$-2$,$-3$
C.$0$,$-2$,$-3$
D.$0$,$-1$,$-2$
答案
C
解析
首先对分式进行化简：
$\frac{2x - 2}{x^{2} - 1} = \frac{2(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{2}{x + 1}$ （$x\neq 1$且$x\neq -1$），
要使分式的值为整数，则分母$x + 1$必须是$2$的约数，
即$x + 1$能整除$2$，所以$x + 1$的可能取值为$\pm 1$，$\pm 2$。
当$x + 1 = 1$时，$x = 0$；
当$x + 1 = -1$时，$x = -2$；
当$x + 1 = 2$时，$x = 1$（舍去，因为原分式分母不能为$0$）；
当$x + 1 = -2$时，$x = -3$。
综上，满足条件的整数$x$为$0$，$-2$，$-3$。
$\frac{2x - 2}{x^{2} - 1} = \frac{2(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{2}{x + 1}$ （$x\neq 1$且$x\neq -1$），
要使分式的值为整数，则分母$x + 1$必须是$2$的约数，
即$x + 1$能整除$2$，所以$x + 1$的可能取值为$\pm 1$，$\pm 2$。
当$x + 1 = 1$时，$x = 0$；
当$x + 1 = -1$时，$x = -2$；
当$x + 1 = 2$时，$x = 1$（舍去，因为原分式分母不能为$0$）；
当$x + 1 = -2$时，$x = -3$。
综上，满足条件的整数$x$为$0$，$-2$，$-3$。
关于分式值的讨论,必须在分式有意义的前提下,即分母不能为 $0$。
答案
分式值的讨论前提是分母不为0。
解析
分式有意义的条件是分母不为0，讨论分式值时需先确保分母不为0。
8. 若分式 $\frac{2 - 3x}{x^{2} + 1}$ 的值是负数,则 $x$ 的取值范围是(
A.$x ＞ \frac{3}{2}$
B.$x ＞ \frac{2}{3}$
C.$x ＜ \frac{3}{2}$
D.$x ＜ \frac{2}{3}$
B
)A.$x ＞ \frac{3}{2}$
B.$x ＞ \frac{2}{3}$
C.$x ＜ \frac{3}{2}$
D.$x ＜ \frac{2}{3}$
答案
B
解析
要使分式$\frac{2 - 3x}{x^{2} + 1}$的值为负数，由于分母$x^{2} + 1 \gt 0$恒成立，
则只需分子$2 - 3x\lt 0$，
解不等式$2 - 3x\lt 0$，
移项可得$-3x\lt -2$，
两边同时除以$-3$，不等号变向，解得$x\gt \frac{2}{3}$。
则只需分子$2 - 3x\lt 0$，
解不等式$2 - 3x\lt 0$，
移项可得$-3x\lt -2$，
两边同时除以$-3$，不等号变向，解得$x\gt \frac{2}{3}$。
【例 5】(1)一项工程,甲单独做需要 $a$ $h$ 完成,乙单独做需要 $b$ $h$ 完成,若甲、乙合作完成此工程,则需要
(2)如图所示,有一大捆粗细均匀的电线,现要确定其长度,从中抽出 $1$ $m$ 长的电线,称出它的质量为 $m$,再称出剩余的电线和轴芯的总质量为 $n$,已知轴芯的质量为 $c$,则这捆电线的总长度是
$\frac{ab}{a + b}$
$h$。(2)如图所示,有一大捆粗细均匀的电线,现要确定其长度,从中抽出 $1$ $m$ 长的电线,称出它的质量为 $m$,再称出剩余的电线和轴芯的总质量为 $n$,已知轴芯的质量为 $c$,则这捆电线的总长度是
$\frac{m + n - c}{m}$
$m$。答案
(1)$\frac{ab}{a + b}$；(2)$\frac{m + n - c}{m}$。
解析
(1)设工作总量为1，甲的工作效率为$\frac{1}{a}$，乙的工作效率为$\frac{1}{b}$，
甲、乙合作的工作效率为$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$，
根据$工作时间=工作总量÷工作效率$，
可得甲、乙合作完成此工程需要的时间为：
$1÷(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})=1÷\frac{a+b}{ab}=\frac{ab}{a+b}(h)$。
(2)$1m$长的电线质量为$m$，则电线的质量$=$长度$× m$，
剩余电线的质量$=$剩余电线和轴芯的总质量$-$轴芯的质量，
剩余电线的质量为：$n - c$，
电线的质量为：$1$米电线的质量为$m$，
则电线的长度为：$1+\frac{n - c}{m}$，
化简，得：
$1+\frac{n - c}{m}=\frac{m}{m}+\frac{n - c}{m}=\frac{m+n-c}{m}(m)$。
甲、乙合作的工作效率为$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$，
根据$工作时间=工作总量÷工作效率$，
可得甲、乙合作完成此工程需要的时间为：
$1÷(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})=1÷\frac{a+b}{ab}=\frac{ab}{a+b}(h)$。
(2)$1m$长的电线质量为$m$，则电线的质量$=$长度$× m$，
剩余电线的质量$=$剩余电线和轴芯的总质量$-$轴芯的质量，
剩余电线的质量为：$n - c$，
电线的质量为：$1$米电线的质量为$m$，
则电线的长度为：$1+\frac{n - c}{m}$，
化简，得：
$1+\frac{n - c}{m}=\frac{m}{m}+\frac{n - c}{m}=\frac{m+n-c}{m}(m)$。
9. 根据题意,列出代数式：
(1)水果店购进一箱橘子需要 $a$ 元,已知橘子与箱子的总质量为 $m$ $kg$,箱子的质量为 $n$ $kg$,为了不亏本,这箱橘子的零售价至少应定为每千克
(2)有两块棉田,第一块 $x$ 公顷,收棉花 $m$ $kg$,第二块 $y$ 公顷,收棉花 $n$ $kg$,这两块棉田平均每公顷的棉产量是
(3)在学校组织的一次汉字打字比赛中,小聪平均每分钟打字 $5x$ 个,小明平均每分钟打字的个数比小聪多 $4$,则小明打 $1000$ 个字的时间是
(4)已知甲码头与乙码头相距 $36$ 千米,一轮船往返于甲、乙两码头之间,水流速度为 $3$ 千米/时,船在静水中的速度为 $x$ 千米/时,则轮船由甲码头逆流而上到乙码头所用时间为
(1)水果店购进一箱橘子需要 $a$ 元,已知橘子与箱子的总质量为 $m$ $kg$,箱子的质量为 $n$ $kg$,为了不亏本,这箱橘子的零售价至少应定为每千克
$\frac{a}{m - n}$
元。(2)有两块棉田,第一块 $x$ 公顷,收棉花 $m$ $kg$,第二块 $y$ 公顷,收棉花 $n$ $kg$,这两块棉田平均每公顷的棉产量是
$\frac{m + n}{x + y}$
$kg$。(3)在学校组织的一次汉字打字比赛中,小聪平均每分钟打字 $5x$ 个,小明平均每分钟打字的个数比小聪多 $4$,则小明打 $1000$ 个字的时间是
$\frac{1000}{5x + 4}$
$min$。(4)已知甲码头与乙码头相距 $36$ 千米,一轮船往返于甲、乙两码头之间,水流速度为 $3$ 千米/时,船在静水中的速度为 $x$ 千米/时,则轮船由甲码头逆流而上到乙码头所用时间为
$\frac{36}{x - 3}$
小时。答案
(1) $\frac{a}{m - n}$
(2) $\frac{m + n}{x + y}$
(3) $\frac{1000}{5x + 4}$
(4) $\frac{36}{x - 3}$
(2) $\frac{m + n}{x + y}$
(3) $\frac{1000}{5x + 4}$
(4) $\frac{36}{x - 3}$
解析
(1) 橘子与箱子的总质量为 $m$ kg，箱子的质量为 $n$ kg，所以橘子的质量为 $(m - n)$ kg。一箱橘子需要 $a$ 元，为了不亏本，零售价至少应为总价除以橘子的质量，即 $\frac{a}{m - n}$ 元/kg。
(2) 两块棉田总产量为 $m + n$ kg，总面积为 $x + y$ 公顷。所以平均每公顷的棉产量为 $\frac{m + n}{x + y}$ kg。
(3) 小明平均每分钟打字 $5x + 4$ 个。所以小明打 1000 个字的时间为 $\frac{1000}{5x + 4}$ min。
(4) 轮船逆流而上的实际速度为 $x - 3$ 千米/时。所以轮船由甲码头逆流而上到乙码头所用时间为 $\frac{36}{x - 3}$ 小时。
(2) 两块棉田总产量为 $m + n$ kg，总面积为 $x + y$ 公顷。所以平均每公顷的棉产量为 $\frac{m + n}{x + y}$ kg。
(3) 小明平均每分钟打字 $5x + 4$ 个。所以小明打 1000 个字的时间为 $\frac{1000}{5x + 4}$ min。
(4) 轮船逆流而上的实际速度为 $x - 3$ 千米/时。所以轮船由甲码头逆流而上到乙码头所用时间为 $\frac{36}{x - 3}$ 小时。
