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1. 下列各式中不能用平方差公式分解因式的是(
A.$-a^{2}+b^{2}$
B.$49x^{2}y^{2}-m^{2}$
C.$16m^{4}-25n^{2}$
D.$-x^{2}-y^{2}$
D
)A.$-a^{2}+b^{2}$
B.$49x^{2}y^{2}-m^{2}$
C.$16m^{4}-25n^{2}$
D.$-x^{2}-y^{2}$
答案
D
解析
平方差公式为$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，要求式子是由两项组成，并且两项都是平方的形式，符号相反。
选项A：$-a^{2}+b^{2}=b^{2}-a^{2}$，符合平方差公式的形式。
选项B：$49x^{2}y^{2}-m^{2}=(7xy)^{2}-m^{2}$，符合平方差公式的形式。
选项C：$16m^{4}-25n^{2}=(4m^{2})^{2}-(5n)^{2}$，符合平方差公式的形式。
选项D：$-x^{2}-y^{2}=-(x^{2}+y^{2})$，两项符号相同，不能用平方差公式分解因式。
选项A：$-a^{2}+b^{2}=b^{2}-a^{2}$，符合平方差公式的形式。
选项B：$49x^{2}y^{2}-m^{2}=(7xy)^{2}-m^{2}$，符合平方差公式的形式。
选项C：$16m^{4}-25n^{2}=(4m^{2})^{2}-(5n)^{2}$，符合平方差公式的形式。
选项D：$-x^{2}-y^{2}=-(x^{2}+y^{2})$，两项符号相同，不能用平方差公式分解因式。
2. 下列因式分解正确的是(
A.$1+25a^{2}= (1+5a)(1-5a)$
B.$m^{2}-16m= m(m+4)(m-4)$
C.$x^{2}-9y^{2}= (x+9y)(x-9y)$
D.$4-x^{2}= (2-x)(x+2)$
D
)A.$1+25a^{2}= (1+5a)(1-5a)$
B.$m^{2}-16m= m(m+4)(m-4)$
C.$x^{2}-9y^{2}= (x+9y)(x-9y)$
D.$4-x^{2}= (2-x)(x+2)$
答案
D
解析
A. $1+25a^{2}$是和的形式，不能用平方差公式分解，故A错误；
B. $m^{2}-16m=m(m-16)$，提公因式后不是平方差形式，故B错误；
C. $x^{2}-9y^{2}=(x+3y)(x-3y)$，系数错误，故C错误；
D. $4-x^{2}=(2-x)(2+x)=(2-x)(x+2)$，正确。
B. $m^{2}-16m=m(m-16)$，提公因式后不是平方差形式，故B错误；
C. $x^{2}-9y^{2}=(x+3y)(x-3y)$，系数错误，故C错误；
D. $4-x^{2}=(2-x)(2+x)=(2-x)(x+2)$，正确。
3. 若$(2x)^{n}-625可分解成(4x^{2}+25)(2x+5)(2x-5)$,则$n$的值是
4
.答案
4
解析
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，
对$(4x^{2}+25)(2x + 5)(2x - 5)$进行变形，
先根据平方差公式将$(2x + 5)(2x - 5)$变形为$(2x)^{2}-5^{2}=4x^{2}-25$，
则$(4x^{2}+25)(2x + 5)(2x - 5)=(4x^{2}+25)(4x^{2}-25)$，
再根据平方差公式，$(4x^{2}+25)(4x^{2}-25)=(4x^{2})^{2}-25^{2}=16x^{4}-625=(2x)^{4}-625$。
又因为$(2x)^{n}-625$可分解成$(4x^{2}+25)(2x + 5)(2x - 5)$，所以$n = 4$。
对$(4x^{2}+25)(2x + 5)(2x - 5)$进行变形，
先根据平方差公式将$(2x + 5)(2x - 5)$变形为$(2x)^{2}-5^{2}=4x^{2}-25$，
则$(4x^{2}+25)(2x + 5)(2x - 5)=(4x^{2}+25)(4x^{2}-25)$，
再根据平方差公式，$(4x^{2}+25)(4x^{2}-25)=(4x^{2})^{2}-25^{2}=16x^{4}-625=(2x)^{4}-625$。
又因为$(2x)^{n}-625$可分解成$(4x^{2}+25)(2x + 5)(2x - 5)$，所以$n = 4$。
4. 分解因式：
(1)$a^{2}-9b^{2}$；
(2)$x^{2}y-4y$；
(3)$12x^{2}-3y^{2}$；
(4)$(a+5)^{2}-1$.
(1)$a^{2}-9b^{2}$；
(2)$x^{2}y-4y$；
(3)$12x^{2}-3y^{2}$；
(4)$(a+5)^{2}-1$.
答案
(1)
解：原式 $a^{2} - 9b^{2}$
= $a^{2} - (3b)^{2}$
= $(a + 3b)(a - 3b)$
(2)
解：原式 $x^{2}y - 4y$
= $y(x^{2} - 4)$
= $y(x^{2} - 2^{2})$
= $y(x + 2)(x - 2)$
(3)
解：原式 $12x^{2} - 3y^{2}$
= $3(4x^{2} - y^{2})$
= $3((2x)^{2} - y^{2})$
= $3(2x + y)(2x - y)$
(4)
解：原式 $(a + 5)^{2} - 1$
= $(a + 5)^{2} - 1^{2}$
= $(a + 5 + 1)(a + 5 - 1)$
= $(a + 6)(a + 4)$
解：原式 $a^{2} - 9b^{2}$
= $a^{2} - (3b)^{2}$
= $(a + 3b)(a - 3b)$
(2)
解：原式 $x^{2}y - 4y$
= $y(x^{2} - 4)$
= $y(x^{2} - 2^{2})$
= $y(x + 2)(x - 2)$
(3)
解：原式 $12x^{2} - 3y^{2}$
= $3(4x^{2} - y^{2})$
= $3((2x)^{2} - y^{2})$
= $3(2x + y)(2x - y)$
(4)
解：原式 $(a + 5)^{2} - 1$
= $(a + 5)^{2} - 1^{2}$
= $(a + 5 + 1)(a + 5 - 1)$
= $(a + 6)(a + 4)$
5. 用简便方法计算：
(1)$2007^{2}-49$；
(2)$1.22^{2}×9-1.33^{2}×4$.
(1)$2007^{2}-49$；
(2)$1.22^{2}×9-1.33^{2}×4$.
答案
(1)
解：
原式 $2007^{2} - 49$
= $2007^{2} - 7^{2}$
= $(2007 + 7)(2007 - 7)$
= $2014 × 2000$
= $4028000$
(2)
解：
原式 $1.22^{2} × 9 - 1.33^{2} × 4$
= $1.22^{2} × 3^{2} - 1.33^{2} × 2^{2}$
= $(1.22 × 3)^{2} - (1.33 × 2)^{2}$
= $3.66^{2} - 2.66^{2}$
= $(3.66 + 2.66)(3.66 - 2.66)$
= $6.32 × 1$
= $6.32$
解：
原式 $2007^{2} - 49$
= $2007^{2} - 7^{2}$
= $(2007 + 7)(2007 - 7)$
= $2014 × 2000$
= $4028000$
(2)
解：
原式 $1.22^{2} × 9 - 1.33^{2} × 4$
= $1.22^{2} × 3^{2} - 1.33^{2} × 2^{2}$
= $(1.22 × 3)^{2} - (1.33 × 2)^{2}$
= $3.66^{2} - 2.66^{2}$
= $(3.66 + 2.66)(3.66 - 2.66)$
= $6.32 × 1$
= $6.32$
6. 求证：当$n$是整数时,两个连续奇数的平方差$(2n+1)^{2}-(2n-1)^{2}是8$的倍数.
答案
证明：
$\begin{aligned}(2n+1)^{2}-(2n-1)^{2}&=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]\\&=(4n)(2)\\&=8n\end{aligned}$
因为 $n$ 是整数，所以 $8n$ 是 8 的倍数。
即当 $n$ 是整数时，$(2n+1)^{2}-(2n-1)^{2}$ 是 8 的倍数。
$\begin{aligned}(2n+1)^{2}-(2n-1)^{2}&=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]\\&=(4n)(2)\\&=8n\end{aligned}$
因为 $n$ 是整数，所以 $8n$ 是 8 的倍数。
即当 $n$ 是整数时，$(2n+1)^{2}-(2n-1)^{2}$ 是 8 的倍数。
7. 已知$a$,$b$,$c是\triangle ABC$的三边长,则多项式$(a-c)^{2}-b^{2}$的值是(
A.正数
B.$0$
C.负数
D.无法确定
C
)A.正数
B.$0$
C.负数
D.无法确定
答案
C
解析
利用平方差公式$A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$对多项式$(a - c)^2 - b^2$进行因式分解，可得$(a - c)^2 - b^2=(a - c + b)(a - c - b)$。
因为$a$，$b$，$c$是$\triangle ABC$的三边长，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
所以$a + b - c\gt0$，$a - c - b=a-(b + c)\lt0$。
那么$(a - c + b)(a - c - b)\lt0$，即多项式$(a - c)^2 - b^2$的值是负数。
因为$a$，$b$，$c$是$\triangle ABC$的三边长，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
所以$a + b - c\gt0$，$a - c - b=a-(b + c)\lt0$。
那么$(a - c + b)(a - c - b)\lt0$，即多项式$(a - c)^2 - b^2$的值是负数。
8. 已知多项式$a^{2}+b^{2}+M$可以运用平方差公式分解因式,则单项式$M$可以是(
A.$2ab$
B.$-2ab$
C.$3b^{2}$
D.$-5b^{2}$
D
)A.$2ab$
B.$-2ab$
C.$3b^{2}$
D.$-5b^{2}$
答案
D
解析
平方差公式为$x^{2} - y^{2}=(x + y)(x - y)$，要使多项式$a^{2}+b^{2}+M$能运用平方差公式分解因式：
选项A，若$M = 2ab$，则$a^{2}+b^{2}+2ab=(a + b)^{2}$，是完全平方公式，不符合要求。
选项B，若$M=-2ab$，则$a^{2}+b^{2}-2ab=(a - b)^{2}$，是完全平方公式，不符合要求。
选项C，若$M = 3b^{2}$，则$a^{2}+b^{2}+3b^{2}=a^{2}+4b^{2}$，在实数范围内不能运用平方差公式分解因式，不符合要求。
选项D，若$M=-5b^{2}$，则$a^{2}+b^{2}-5b^{2}=a^{2}-4b^{2}$，可变形为$a^{2}-(2b)^{2}$，根据平方差公式可分解为$(a + 2b)(a - 2b)$，符合要求。
选项A，若$M = 2ab$，则$a^{2}+b^{2}+2ab=(a + b)^{2}$，是完全平方公式，不符合要求。
选项B，若$M=-2ab$，则$a^{2}+b^{2}-2ab=(a - b)^{2}$，是完全平方公式，不符合要求。
选项C，若$M = 3b^{2}$，则$a^{2}+b^{2}+3b^{2}=a^{2}+4b^{2}$，在实数范围内不能运用平方差公式分解因式，不符合要求。
选项D，若$M=-5b^{2}$，则$a^{2}+b^{2}-5b^{2}=a^{2}-4b^{2}$，可变形为$a^{2}-(2b)^{2}$，根据平方差公式可分解为$(a + 2b)(a - 2b)$，符合要求。
9. 已知$x+2y= -1$,则$x^{2}-4y^{2}+2x$的值为
-1
.答案
-1
解析
因为$x^{2}-4y^{2}=(x+2y)(x-2y)$，已知$x+2y=-1$，所以原式$=(x+2y)(x-2y)+2x=-1×(x-2y)+2x=-x+2y+2x=x+2y$。又因为$x+2y=-1$，所以原式$=-1$。
10. 分解因式：$(4a+5)^{2}-9= $
$8(a+2)(2a+1)$
.答案
$8(a+2)(2a+1)$
解析
$(4a+5)^2 - 9$
$=(4a+5)^2 - 3^2$
$=(4a+5 + 3)(4a+5 - 3)$
$=(4a+8)(4a+2)$
$=4(a+2) \cdot 2(2a+1)$
$=8(a+2)(2a+1)$
$=(4a+5)^2 - 3^2$
$=(4a+5 + 3)(4a+5 - 3)$
$=(4a+8)(4a+2)$
$=4(a+2) \cdot 2(2a+1)$
$=8(a+2)(2a+1)$
11. 如图所示,学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛,品味劳动成果的喜悦,满足学生劳动教育实践需要.某校劳动实践基地有两块边长分别为$a$,$b$的正方形土地A,B,其中不能使用的面积为$M$.
(1)用含$b$,$M$的代数式表示B中能使用的面积：
(2)若$a+b= 15$,$a-b= 5$,求A比B多出的使用面积.
(1)用含$b$,$M$的代数式表示B中能使用的面积：
$b^{2}-M$
；(2)若$a+b= 15$,$a-b= 5$,求A比B多出的使用面积.
A比B多出的使用面积为75。
答案
A比B多出的使用面积为75。
解析
(1) $b^2 - M$
(2) A的使用面积为$a^2 - M$，B的使用面积为$b^2 - M$，
A比B多出的使用面积为：
$a^2 - M - (b^2 - M)$
$ = a^2 - b^2 $
$=(a + b)(a - b) $
因为$a + b = 15$，$a - b = 5$，
所以$ (a + b)(a - b)=15 × 5 = 75$。
(2) A的使用面积为$a^2 - M$，B的使用面积为$b^2 - M$，
A比B多出的使用面积为：
$a^2 - M - (b^2 - M)$
$ = a^2 - b^2 $
$=(a + b)(a - b) $
因为$a + b = 15$，$a - b = 5$，
所以$ (a + b)(a - b)=15 × 5 = 75$。
