1. 已知P为⊙O外一点,PT与⊙O相切于点T,OP= 10,∠OPT= 30°,则PT的长为 ()
A.$5\sqrt{3}$
B.5
C.8
D.9

A

连接$OT$，因为$PT$与圆$O$相切于点$T$，根据切线的性质，$OT\bot PT$。
在直角三角形$OPT$中，已知$OP = 10$，$\angle OPT = 30^{\circ}$。
根据正弦函数定义，$\sin\angle OPT=\frac{OT}{OP}$，$\cos\angle OPT=\frac{PT（邻边）}{OP}$（这里求$PT$也可根据$30^{\circ}$所对直角边是斜边一半的关系先求$OT$，再用勾股定理求$PT$），$\angle OPT = 30^{\circ}$，则$OT=\frac{1}{2}OP = 5$（$30^{\circ}$所对直角边等于斜边的一半）。
再根据勾股定理$PT=\sqrt{OP^{2}-OT^{2}}=\sqrt{10^{2}-5^{2}}=\sqrt{100 - 25}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$。

2. 如图,在⊙O中,AB切⊙O于点A,连接OB交⊙O于点C,过点A作AD//OB交⊙O于点D,连接CD.若∠B= 50°,则∠OCD的度数为 ()

A.15°
B.20°
C.25°
D.30°

B

连接$OA$，因为$AB$切$\odot O$于点$A$，所以$OA\perp AB$，则$\angle OAB = 90^{\circ}$。
已知$\angle B = 50^{\circ}$，在$Rt\triangle OAB$中，$\angle AOB = 90^{\circ}-\angle B = 40^{\circ}$。
因为$AD// OB$，所以$\angle DAB = 180^{\circ}-\angle OAB = 90^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补），且$\angle OAD=\angle AOB = 40^{\circ}$（两直线平行，内错角相等）。
因为$OA = OD$（同圆半径相等），所以$\angle D=\angle OAD = 40^{\circ}$。
$\angle AOD = 180^{\circ}-2×40^{\circ}=100^{\circ}$（三角形内角和为$180^{\circ}$）。
$\angle COD=\angle AOD - \angle AOB=100^{\circ}- 40^{\circ}=60^{\circ}$。
又因为$OC = OD$，在$\triangle OCD$中，设$\angle OCD=\angle ODC = x$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$x + x+60^{\circ}=180^{\circ}$，$2x = 120^{\circ}$，解得$x = 20^{\circ}$，即$\angle OCD = 20^{\circ}$。

3. 如图,AD是⊙O的直径,AB是⊙O的弦,BC与⊙O相切于点B,连接OB.若∠ABC= 65°,则∠BOD的度数为.

50°

∵BC与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，∠OBC=90°。∵∠ABC=65°，∴∠ABO=∠OBC - ∠ABC=90° - 65°=25°。∵OA=OB，∴∠OAB=∠ABO=25°。∴∠BOD=2∠OAB=50°。