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3. 甲、乙、丙三位同学各制作了一个矩形模型,尺寸如图所示,其中相似的是(
A.甲和乙
B.甲和丙
C.乙和丙
D.甲、乙和丙
B
)A.甲和乙
B.甲和丙
C.乙和丙
D.甲、乙和丙
答案
B
解析
两个矩形相似需要对应边成比例，
甲的长和宽分别为3和2，
所以长宽比为$3:2$，
乙的长和宽分别为$2.5$和$1.5$，
所以长宽比为$2.5:1.5=5:3$，
丙的长和宽分别为$1.5$和1，
所以长宽比为$1.5:1=3:2$，
所以甲和丙长宽比相同，
所以甲和丙相似。
甲的长和宽分别为3和2，
所以长宽比为$3:2$，
乙的长和宽分别为$2.5$和$1.5$，
所以长宽比为$2.5:1.5=5:3$，
丙的长和宽分别为$1.5$和1，
所以长宽比为$1.5:1=3:2$，
所以甲和丙长宽比相同，
所以甲和丙相似。
4. 如图,四边形ABCD与四边形$A_1B_1C_1D_1$相似,$AB= 12$,$CD= 15$,$A_1B_1= 9$,则边$C_1D_1$的长是
$\frac{45}{4}$
.答案
$\frac{45}{4}$
解析
∵四边形ABCD与四边形$A_1B_1C_1D_1$相似，∴$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{CD}{C_1D_1}$。∵$AB=12$，$CD=15$，$A_1B_1=9$，∴$\frac{12}{9}=\frac{15}{C_1D_1}$，解得$C_1D_1=\frac{45}{4}$。
5. 在一张比例尺为$1:20000$的地图上,量得A,B两地之间的距离是5cm,则A,B两地之间的实际距离为
1000
m.答案
1000。
解析
设$A$，$B$两地之间的实际距离为$x$ $cm$，
根据比例尺的定义，有：$\frac{1}{20000} = \frac{5}{x}$，
解这个方程，得到：$x = 5 × 20000 = 100000(cm)$，
由于$100cm = 1m$，
所以$100000cm = 1000m$。
根据比例尺的定义，有：$\frac{1}{20000} = \frac{5}{x}$，
解这个方程，得到：$x = 5 × 20000 = 100000(cm)$，
由于$100cm = 1m$，
所以$100000cm = 1000m$。
6. 若$\frac{y}{x}= \frac{3}{4}$,则$\frac{x+y}{x}$的值为
$\frac{7}{4}$
.答案
$\frac{7}{4}$
解析
因为$\frac{y}{x} = \frac{3}{4}$，所以$\frac{x + y}{x} = 1 + \frac{y}{x} = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$
7. 已知$\triangle ABC和\triangle A'B'C'$相似,且$AB:BC:CA= 7:8:12$.若$\triangle A'B'C'$的周长为54cm,则AB的对应边$A'B'$的长为
14
cm.答案
14
解析
已知$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$相似，且边长比为$AB:BC:CA = 7:8:12$。
设$\triangle ABC$的三边比例为$7k:8k:12k$，其中$k$为比例系数。
相似三角形的周长比等于相似比，$\triangle A'B'C'$的周长为$54cm$，
所以，$\triangle ABC$的周长为$7k + 8k + 12k = 27k$，
由相似三角形周长比的性质，$\frac{27k}{54} = \frac{1}{相似比中的对应比例（设为x）}$，但实际上相似比未知，但从反向看，$\triangle A'B'C'$的周长与$\triangle ABC$的周长之比为相似比的总量。
设相似比为$x$，则$\triangle A'B'C'$的三边为$7x, 8x, 12x$，
所以，$\triangle A'B'C'$的周长为$7x + 8x + 12x = 27x = 54$，
解得$x = 2$。
由于$AB$与$A'B'$是对应边，且$AB$在$\triangle ABC$中的比例为7，
所以，$A'B' = 7 × 2 = 14（cm）$，（根据相似三角形对应边成比例）。
设$\triangle ABC$的三边比例为$7k:8k:12k$，其中$k$为比例系数。
相似三角形的周长比等于相似比，$\triangle A'B'C'$的周长为$54cm$，
所以，$\triangle ABC$的周长为$7k + 8k + 12k = 27k$，
由相似三角形周长比的性质，$\frac{27k}{54} = \frac{1}{相似比中的对应比例（设为x）}$，但实际上相似比未知，但从反向看，$\triangle A'B'C'$的周长与$\triangle ABC$的周长之比为相似比的总量。
设相似比为$x$，则$\triangle A'B'C'$的三边为$7x, 8x, 12x$，
所以，$\triangle A'B'C'$的周长为$7x + 8x + 12x = 27x = 54$，
解得$x = 2$。
由于$AB$与$A'B'$是对应边，且$AB$在$\triangle ABC$中的比例为7，
所以，$A'B' = 7 × 2 = 14（cm）$，（根据相似三角形对应边成比例）。
8. 如图①,网格中有一个四边形.请在图②的网格中作出一个与该四边形相似的图形.(所作四边形的顶点都在格点上)
答案
设图①中每个小正方形的边长为1。
用坐标法确定图①中四边形的各顶点坐标（以左下角顶点为原点，水平方向为$x$轴，竖直方向为$y$轴）：
假设左下角顶点坐标为$(1,1)$，顺时针方向依次为$(4,1)$，$(4,3)$，$(2,4)$。
计算各边长度：
$AB$边：从$(1,1)$到$(4,1)$，长度为$4 - 1=3$。
$BC$边：从$(4,1)$到$(4,3)$，长度为$3 - 1 = 2$。
$CD$边：根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$，$C(4,3)$，$D(2,4)$，则$CD=\sqrt{(4 - 2)^2+(3 - 4)^2}=\sqrt{4 + 1}=\sqrt{5}$。
$DA$边：$D(2,4)$，$A(1,1)$，$DA=\sqrt{(2 - 1)^2+(4 - 1)^2}=\sqrt{1 + 9}=\sqrt{10}$。
选择相似比为$2:1$，则在图②中对应边的长度分别为$6$，$4$，$2\sqrt{5}$，$2\sqrt{10}$。
确定图②中四边形的顶点坐标：
可以取左下角顶点坐标为$(1,1)$，水平向右$6$个单位到$(7,1)$，再竖直向上$4$个单位到$(7,5)$，然后根据$CD$和$DA$的长度及方向关系，通过计算和尝试可得另一个顶点为$(3,9)$（答案不唯一，只要满足相似比例关系即可）。
在图②网格中描出顶点$(1,1)$，$(7,1)$，$(7,5)$，$(3,9)$，并顺次连接这四个点，得到与图①四边形相似的图形。
用坐标法确定图①中四边形的各顶点坐标（以左下角顶点为原点，水平方向为$x$轴，竖直方向为$y$轴）：
假设左下角顶点坐标为$(1,1)$，顺时针方向依次为$(4,1)$，$(4,3)$，$(2,4)$。
计算各边长度：
$AB$边：从$(1,1)$到$(4,1)$，长度为$4 - 1=3$。
$BC$边：从$(4,1)$到$(4,3)$，长度为$3 - 1 = 2$。
$CD$边：根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$，$C(4,3)$，$D(2,4)$，则$CD=\sqrt{(4 - 2)^2+(3 - 4)^2}=\sqrt{4 + 1}=\sqrt{5}$。
$DA$边：$D(2,4)$，$A(1,1)$，$DA=\sqrt{(2 - 1)^2+(4 - 1)^2}=\sqrt{1 + 9}=\sqrt{10}$。
选择相似比为$2:1$，则在图②中对应边的长度分别为$6$，$4$，$2\sqrt{5}$，$2\sqrt{10}$。
确定图②中四边形的顶点坐标：
可以取左下角顶点坐标为$(1,1)$，水平向右$6$个单位到$(7,1)$，再竖直向上$4$个单位到$(7,5)$，然后根据$CD$和$DA$的长度及方向关系，通过计算和尝试可得另一个顶点为$(3,9)$（答案不唯一，只要满足相似比例关系即可）。
在图②网格中描出顶点$(1,1)$，$(7,1)$，$(7,5)$，$(3,9)$，并顺次连接这四个点，得到与图①四边形相似的图形。
