8. 代数式$5m + \frac{1}{4}与5(m - \frac{1}{4})$的值互为相反数,则$m$的值等于。

$\frac{1}{10}$

因为代数式$5m + \frac{1}{4}$与$5(m - \frac{1}{4})$互为相反数，所以$5m + \frac{1}{4} + 5(m - \frac{1}{4}) = 0$。
去括号得：$5m + \frac{1}{4} + 5m - \frac{5}{4} = 0$。
合并同类项得：$10m - 1 = 0$。
移项得：$10m = 1$。
解得：$m = \frac{1}{10}$。

9. 在梯形面积公式$s = \frac{1}{2}(a + b)h$中,若$s = 24$,$b = 5$,$h = 4$,则$a = $。

$7$

已知梯形面积公式为$s = \frac{1}{2}(a + b)h$，将$s=24$，$b=5$，$h=4$代入公式得：
$24=\frac{1}{2}(a + 5)×4$
先化简方程右边：$\frac{1}{2}(a + 5)×4 = 2(a + 5)=2a+10$
则$2a + 10 = 24$，
移项可得$2a=24 - 10$，
即$2a = 14$，
两边同时除以$2$，解得$a = 7$。

10. 设$k$为整数,方程$kx = 4 - x的解x$为自然数,则$k$的值为。

0，1，3

方程$kx=4-x$，移项得$kx+x=4$，合并同类项得$(k+1)x=4$。因为$x$为自然数，$k$为整数，所以$k+1$是4的正因数。4的正因数有1、2、4，所以$k+1=1$时，$k=0$；$k+1=2$时，$k=1$；$k+1=4$时，$k=3$。又因为当$k+1=-1$时，$x=-4$不是自然数；$k+1=-2$时，$x=-2$不是自然数；$k+1=-4$时，$x=-1$不是自然数，所以舍去负数因数。综上，$k$的值为0，1，3。

11. 已知$x = 3是关于x的方程2mx = nx - 3$的解,则$2n - 4m$的值是()
A.$2$
B.$-2$
C.$1$
D.$-1$

A

将$x=3$代入方程$2mx=nx-3$，得$2m×3=3n-3$，即$6m=3n-3$，移项可得$3n-6m=3$，两边同时除以3得$n-2m=1$，则$2n-4m=2(n-2m)=2×1=2$。

12. 当$x = 3$时,代数式$5(x + 4a)的值比4(x - a)的值的2倍多1$,求$a$的值。

当$x = 3$时，
$5(x + 4a)=5×(3 + 4a)=15 + 20a$，
$4(x - a)=4×(3 - a)=12 - 4a$，
由题意得：$15 + 20a = 2×(12 - 4a)+1$，
$15 + 20a = 24 - 8a + 1$，
$20a + 8a = 25 - 15$，
$28a = 10$，
$a=\frac{10}{28}=\frac{5}{14}$。
$\frac{5}{14}$

13. 解方程：$\frac{3}{4}[\frac{4}{3}(\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}) - 8] - \frac{3}{2}x = 1$。

$x = -\frac{29}{4}$

去括号：
$\frac{3}{4} × \frac{4}{3}\left(\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\right) - \frac{3}{4} × 8 - \frac{3}{2}x = 1$
化简得：$\left(\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\right) - 6 - \frac{3}{2}x = 1$
合并同类项：
$\left(\frac{1}{2}x - \frac{3}{2}x\right) + \left(-\frac{1}{4} - 6\right) = 1$
即：$-x - \frac{25}{4} = 1$
移项：
$-x = 1 + \frac{25}{4}$
$-x = \frac{29}{4}$
系数化为1：
$x = -\frac{29}{4}$

14. 数学家欧拉最先把关于$x的多项式记作f(x)$。例如：$f(x) = x^{2} + x - 1$,当$x = a$时,多项式的值用$f(a)$来表示,即$f(a) = a^{2} + a - 1$；当$x = 3$时,$f(3) = 3^{2} + 3 - 1 = 11$。
(1)已知$f(x) = x^{2} - 2x + 3$,求$f(1)$的值。
(2)已知$f(x) = mx^{2} - 2x - m$,当$f(-3) = m - 1$时,求$m$的值。
(3)已知$f(x) = kx^{2} - ax - bk$($a,b$为常数),对于任意有理数$k$,总有$f(-2) = -2$,求$a,b$的值。

(1)
已知$f(x)=x^{2}-2x + 3$，将$x = 1$代入可得：
$f(1)=1^{2}-2×1 + 3=1 - 2 + 3=2$
(2)
已知$f(x)=mx^{2}-2x - m$，将$x=-3$代入得：
$f(-3)=m×(-3)^{2}-2×(-3)-m=9m + 6 - m=8m + 6$
因为$f(-3)=m - 1$，所以$8m+6=m - 1$
移项可得：$8m - m=-1 - 6$
即$7m=-7$
解得$m=-1$
(3)
已知$f(x)=kx^{2}-ax - bk$，将$x = - 2$代入得：
$f(-2)=k×(-2)^{2}-a×(-2)-bk=4k + 2a - bk$
因为对于任意有理数$k$，总有$f(-2)=-2$，所以$4k + 2a - bk=-2$
整理得$(4 - b)k+2a=-2$
由于对于任意有理数$k$等式成立，则$\begin{cases}4 - b = 0\\2a=-2\end{cases}$
由$4 - b = 0$得$b = 4$，由$2a=-2$得$a=-1$
综上，答案依次为：(1)$2$；(2)$-1$；(3)$a = - 1$，$b = 4$。