积的乘方法则：$(ab)^{n}=$($n$为正整数)。
思考 ①公式中的$a,b$可以是多项式吗？
②公式中的底数可以是三个或三个以上的因数或因式的积吗？
填空 $(2x)^{3}=$；$(-\frac{1}{2}xy)^{3}=$。

积的乘方法则：$a^{n}b^{n}$；
思考答案（已体现在解析中，无需单独填答案）；
填空：$8x^{3}$；$-\frac{1}{8}x^{3}y^{3}$。

积的乘方法则：$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$（$n$为正整数）。
思考①：公式中的$a$，$b$可以是多项式，因为多项式也是整式的一种，该公式对于整式都适用。
思考②：公式中的底数可以是三个或三个以上的因数或因式的积，如$(abc)^n = a^n b^n c^n$。
对于$(2x)^{3}$，根据积的乘方法则可得$(2x)^{3}=2^{3}\cdot x^{3}=8x^{3}$；
对于$(-\frac{1}{2}xy)^{3}$，根据积的乘方法则可得$(-\frac{1}{2}xy)^{3}=(-\frac{1}{2})^{3}\cdot x^{3}\cdot y^{3}=-\frac{1}{8}x^{3}y^{3}$。

例1 计算：
(1)$(2x^{2})^{3}$；
(2)$(-3pq)^{2}$；
(3)$(3×10^{3})^{2}$；
(4)$[\frac{1}{2}x(x - 2y)^{2}]^{3}$。
名师导引 应用积的乘方法则时,要特别注意观察底数含有几个因式,并注意系数的符号。

(1)
根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$，对于$(2x^{2})^{3}$，可得：
$(2x^{2})^{3}=2^{3}×(x^{2})^{3}=8x^{6}$
(2)
根据积的乘方法则，对于$(-3pq)^{2}$，可得：
$(-3pq)^{2}=(-3)^{2}p^{2}q^{2}=9p^{2}q^{2}$
(3)
根据积的乘方法则，对于$(3×10^{3})^{2}$，可得：
$(3×10^{3})^{2}=3^{2}×(10^{3})^{2}=9×10^{6}$
(4)
根据积的乘方法则，对于$[\frac{1}{2}x(x - 2y)^{2}]^{3}$，可得：
$[\frac{1}{2}x(x - 2y)^{2}]^{3}=(\frac{1}{2})^{3}x^{3}[(x - 2y)^{2}]^{3}=\frac{1}{8}x^{3}(x - 2y)^{6}$
综上，答案依次为：(1)$8x^{6}$；(2)$9p^{2}q^{2}$；(3)$9×10^{6}$；(4)$\frac{1}{8}x^{3}(x - 2y)^{6}$。

变式训练 计算：
(1)$(-2×10^{3})^{3}$；
(2)$(\frac{1}{2}ab^{3})^{2}$。

(1)
$\begin{aligned} (-2×10^{3})^{3} \\ =(-2)^{3} × (10^{3})^{3} \\ = -8 × 10^{9} \end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned} (\frac{1}{2}ab^{3})^{2} \\ =(\frac{1}{2})^{2} × a^{2} × (b^{3})^{2} \\ = \frac{1}{4}a^{2}b^{6} \end{aligned}$

例2 (1)$(-2)^{2025}×(-\frac{1}{2})^{2026}=$。

$-\frac{1}{2}$

$(-2)^{2025}×(-\frac{1}{2})^{2026}=(-2)^{2025}×(-\frac{1}{2})^{2025}×(-\frac{1}{2})=[(-2)×(-\frac{1}{2})]^{2025}×(-\frac{1}{2})=1^{2025}×(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}$

(2)已知$4^{2x}·5^{2x + 1}-4^{2x + 1}·5^{2x}= 20^{3x - 4}$,求$x$的值。
名师导引 逆用积的乘方法则时,应先把各个因式的指数化成相等的数。对(2)题这类题目要注意观察,通过变形,逆用法则。

$4^{2x}·5^{2x + 1}-4^{2x + 1}·5^{2x}$
$=4^{2x}·5^{2x}·5 - 4^{2x}·4·5^{2x}$
$=4^{2x}·5^{2x}(5 - 4)$
$=4^{2x}·5^{2x}·1$
$=(4×5)^{2x}$
$=20^{2x}$
则原方程可化为$20^{2x}=20^{3x - 4}$，
因为底数相同，指数相等，所以$2x = 3x - 4$，
解得$x = 4$。
$x=4$

(1)计算：$(2\frac{2}{5})^{11}×(-\frac{5}{6})^{11}×(-\frac{1}{2})^{12}$。
(2)已知$9^{n + 1}-3^{2n}= 72$,求$n$的值。

(1)
$\begin{aligned}&(2\frac{2}{5})^{11}×(-\frac{5}{6})^{11}×(-\frac{1}{2})^{12}\\=&(\frac{12}{5})^{11}×(-\frac{5}{6})^{11}×(-\frac{1}{2})^{11}×(-\frac{1}{2})\\=&\left[\frac{12}{5}×(-\frac{5}{6})×(-\frac{1}{2})\right]^{11}×(-\frac{1}{2})\\=&\left[\frac{12}{5}×\frac{5}{6}×\frac{1}{2}\right]^{11}×(-\frac{1}{2})\\=&(1)^{11}×(-\frac{1}{2})\\=&-\frac{1}{2}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}9^{n + 1}-3^{2n}&=72\\(3^2)^{n+1}-3^{2n}&=72\\3^{2n+2}-3^{2n}&=72\\3^{2n}(3^2 - 1)&=72\\3^{2n}×8&=72\\3^{2n}&=9\\3^{2n}&=3^2\\2n&=2\\n&=1\end{aligned}$
(1) $-\frac{1}{2}$；(2) $n=1$

1. 计算$(-2a^{3})^{2}$的结果是()
A.$-4a^{5}$
B.$4a^{5}$
C.$-4a^{6}$
D.$4a^{6}$

D

根据幂的乘方与积的乘方运算法则，$( - 2a^{3})^{2}=(-2)^2×(a^{3})^{2}=4× a^{3×2}=4a^{6}$。

2. 下列各式计算正确的是()
A.$(a^{2})^{4}= a^{6}$
B.$(ab)^{3}= ab^{3}$
C.$a^{2}·a^{3}= a^{5}$
D.$3a^{2}+2a^{2}= 5a^{4}$

C

A. 根据幂的乘方运算法则，$(a^{m})^{n} = a^{m × n}$，所以$(a^{2})^{4} = a^{2 × 4} = a^{8}$，与选项A中的$a^{6}$不符，故A错误。
B. 根据积的乘方运算法则，$(ab)^{n} = a^{n}b^{n}$，所以$(ab)^{3} = a^{3}b^{3}$，与选项B中的$ab^{3}$不符，故B错误。
C. 根据同底数幂的乘法运算法则，$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$，所以$a^{2} \cdot a^{3} = a^{2+3} = a^{5}$，与选项C中的$a^{5}$相符，故C正确。
D. 合并同类项，$3a^{2} + 2a^{2} = 5a^{2}$，与选项D中的$5a^{4}$不符，故D错误。

3. 计算：(1)$(-x^{2}y)^{2}=$；
(2)$2x^{2}y·(-xy)^{3}=$。

(1)$x^{4}y^{2}$；(2)$-2x^{5}y^{4}$

(1) 根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$，对$(-x^{2}y)^{2}$进行计算，可得$(-x^{2}y)^{2}=(-1)^2×(x^{2})^{2}× y^{2}=x^{4}y^{2}$。
(2) 先根据积的乘方法则计算$(-xy)^{3}=(-1)^3× x^{3}× y^{3}=-x^{3}y^{3}$，再根据单项式乘单项式法则计算$2x^{2}y·(-xy)^{3}=2x^{2}y×(-x^{3}y^{3})=-2x^{2 + 3}y^{1+3}=-2x^{5}y^{4}$。