7. 已知关于x的方程$ (m-3)x^{m^{2}-7}+(m-2)x+5= 0 $.
(1)当m为何值时,方程是一元二次方程？
(2)当m为何值时,方程是一元一次方程？

(1) 要使方程为一元二次方程，需满足：
$\begin{cases}m^2 - 7 = 2 \\m - 3 \neq 0\end{cases}$
由$m^2 - 7 = 2$得$m^2 = 9$，$m = \pm 3$。又$m - 3 \neq 0$，即$m \neq 3$，故$m = -3$。
(2) 要使方程为一元一次方程，分以下情况：
情况1：$\begin{cases}m^2 - 7 = 1 \\ m - 3 \neq 0\end{cases}$，解得$m^2 = 8$，$m = \pm 2\sqrt{2}$；
情况2：$\begin{cases}m^2 - 7 = 0 \\ m - 2 \neq 0\end{cases}$，解得$m^2 = 7$，$m = \pm \sqrt{7}$；
情况3：$\begin{cases}m - 3 = 0 \\ m - 2 \neq 0\end{cases}$，解得$m = 3$。
综上，$m = 3$或$m = \pm \sqrt{7}$或$m = \pm 2\sqrt{2}$。
(1) $m=-3$
(2) $m=3$或$m=\pm\sqrt{7}$或$m=\pm2\sqrt{2}$

8. 已知a是方程$ x^{2}-2023x+1= 0 $的一个根.求：
(1)$ 2a^{2}-4046a-3 $的值；
(2)$ a^{2}-2022a+\frac{2023}{a^{2}+1} $的值.

(1)∵a是方程$x^{2}-2023x + 1=0$的根，$\therefore a^{2}-2023a + 1=0$，即$a^{2}-2023a=-1$。
$2a^{2}-4046a - 3=2(a^{2}-2023a)-3=2×(-1)-3=-2 - 3=-5$。
(2)由$a^{2}-2023a + 1=0$，得$a^{2}=2023a - 1$，$a^{2}+1=2023a$。
$a^{2}-2022a=2023a - 1 - 2022a=a - 1$。
$\frac{2023}{a^{2}+1}=\frac{2023}{2023a}=\frac{1}{a}$。
原式$=a - 1+\frac{1}{a}$。
又$a^{2}-2023a + 1=0$，两边同除以$a(a\neq0)$，得$a - 2023+\frac{1}{a}=0$，即$a+\frac{1}{a}=2023$。
$\therefore$原式$=2023 - 1=2022$。
(1)-5；(2)2022。

9. 阅读理解：
定义：如果关于x的方程$ a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1}= 0(a_{1}\neq0,a_{1},b_{1},c_{1} $是常数)与$ a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2}= 0(a_{2}\neq0,a_{2},b_{2},c_{2} $是常数),其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足$ a_{1}+a_{2}= 0,b_{1}= b_{2},c_{1}+c_{2}= 0 $,则这两个方程互为“对称方程”,例如,求方程$ 2x^{2}-3x+1= 0 $的“对称方程”,这样思考：由方程$ 2x^{2}-3x+1= 0 $可知,$ a_{1}= 2,b_{1}= -3,c_{1}= 1 $,根据$ a_{1}+a_{2}= 0,b_{1}= b_{2},c_{1}+c_{2}= 0 $,求出$ a_{2},b_{2},c_{2} $就能确定这个方程的“对称方程”.
请用以上方法解决下面问题：
(1)填空：写出方程$ x^{2}-4x+3= 0 $的“对称方程”是______；
(2)若关于x的方程$ 5x^{2}+(m-1)x-n= 0 与 -5x^{2}-x= 1 $互为“对称方程”,求$ (m+n)^{2} $的值.

(1) 对于方程 $x^{2} - 4x + 3 = 0$，其二次项系数 $a_1 = 1$，一次项系数 $b_1 = -4$，常数项 $c_1 = 3$。
根据“对称方程”的定义，有：
$a_2 = -a_1 = -1$，
$b_2 = b_1 = -4$，
$c_2 = -c_1 = -3$，
因此，方程 $x^{2} - 4x + 3 = 0$ 的“对称方程”是 $-x^{2} - 4x - 3 = 0$，或写作 $x^{2} + 4x + 3 = 0$（两边同时乘以-1）。
(2) 对于方程 $-5x^{2} - x = 1$，改写为标准形式得 $-5x^{2} - x - 1 = 0$。
其二次项系数 $a_2 = -5$，一次项系数 $b_2 = -1$，常数项 $c_2 = -1$。
因为方程 $5x^{2} + (m-1)x - n = 0$ 与 $-5x^{2} - x - 1 = 0$ 互为“对称方程”，根据定义有：
$a_1 = -a_2 = 5$，
$b_1 = b_2 = -1$，
$c_1 = -c_2 = 1$，
其中，$a_1 = 5$（已知），$b_1 = m-1$，$c_1 = -n$。
解得：
$m-1 = -1 \Rightarrow m = 0$，
$-n = 1 \Rightarrow n = -1$，
因此，$(m+n)^{2} = (0 - 1)^{2} = 1$。