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22. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B= 90^{\circ}$,$AB= 5$cm,$BC= 8$cm. 点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动,同时点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动,当其中一点到达终点时,另外一点也随之停止运动.
(1)几秒后,四边形APQC的面积等于16$cm^{2}$？
(2)$\triangle PQB$的面积能否等于9$cm^{2}$？请说明理由.
(1)几秒后,四边形APQC的面积等于16$cm^{2}$？
(2)$\triangle PQB$的面积能否等于9$cm^{2}$？请说明理由.
答案
（1）$ 1 $秒或$ 4 $秒；（2）不能，理由见上述推导。
解析
（1）设$t$秒后，四边形$APQC$的面积等于$16\,cm^2$。
由题意得，$AP = t\,cm$，$BP=(5 - t)\,cm$，$BQ = 2t\,cm$。
$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2} × AB × BC=\frac{1}{2} × 5 × 8 = 20\,cm^2$。
$\triangle PBQ$的面积为$\frac{1}{2} × BP × BQ=\frac{1}{2}(5 - t)(2t)=t(5 - t)$。
因为四边形$APQC$的面积$=\triangle ABC$的面积$-\triangle PBQ$的面积，所以$20 - t(5 - t)=16$，即$t^2 - 5t + 4 = 0$，解得$t_1 = 1$，$t_2 = 4$。
又因为点$P$到达$B$点需$5$秒，点$Q$到达$C$点需$4$秒，所以$t$的取值范围是$0 \leq t \leq 4$，$t = 1$和$t = 4$均符合题意。
故$1$秒或$4$秒后，四边形$APQC$的面积等于$16\,cm^2$。
（2）不能。
理由如下：设$t$秒后，$\triangle PQB$的面积等于$9\,cm^2$，则$\frac{1}{2}(5 - t)(2t)=9$，即$t(5 - t)=9$，整理得$t^2 - 5t + 9 = 0$。
$\Delta=(-5)^2 - 4 × 1 × 9 = 25 - 36=-11 ＜ 0$，此方程无实数根，所以$\triangle PQB$的面积不能等于$9\,cm^2$。
由题意得，$AP = t\,cm$，$BP=(5 - t)\,cm$，$BQ = 2t\,cm$。
$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2} × AB × BC=\frac{1}{2} × 5 × 8 = 20\,cm^2$。
$\triangle PBQ$的面积为$\frac{1}{2} × BP × BQ=\frac{1}{2}(5 - t)(2t)=t(5 - t)$。
因为四边形$APQC$的面积$=\triangle ABC$的面积$-\triangle PBQ$的面积，所以$20 - t(5 - t)=16$，即$t^2 - 5t + 4 = 0$，解得$t_1 = 1$，$t_2 = 4$。
又因为点$P$到达$B$点需$5$秒，点$Q$到达$C$点需$4$秒，所以$t$的取值范围是$0 \leq t \leq 4$，$t = 1$和$t = 4$均符合题意。
故$1$秒或$4$秒后，四边形$APQC$的面积等于$16\,cm^2$。
（2）不能。
理由如下：设$t$秒后，$\triangle PQB$的面积等于$9\,cm^2$，则$\frac{1}{2}(5 - t)(2t)=9$，即$t(5 - t)=9$，整理得$t^2 - 5t + 9 = 0$。
$\Delta=(-5)^2 - 4 × 1 × 9 = 25 - 36=-11 ＜ 0$，此方程无实数根，所以$\triangle PQB$的面积不能等于$9\,cm^2$。
23. 定义：如果一个一元二次方程有两个解,其中一个是一元一次不等式组的解,而另一个不是,那么称该一元二次方程为该不等式组的“半隐二次方程”. 例如：方程$x^{2}= 4的解为x_{1}= 2$,$x_{2}= -2$,不等式组$\left\{\begin{array}{l} x-4＜0,\\ 3x＞3\end{array} \right.的解集为1＜x＜4$,因为$-2＜1＜2＜4$,所以称方程$x^{2}= 4是不等式组\left\{\begin{array}{l} x-4＜0,\\ 3x＞3\end{array} \right.$的半隐二次方程.
(1)方程$x^{2}-3x+2= 0是不是不等式组\left\{\begin{array}{l} x+2＞3,\\ x-2\leq0\end{array} \right.$的半隐二次方程？请说明理由.
(2)若关于x的一元二次方程$x^{2}-ax= 2x是不等式组\left\{\begin{array}{l} x+2\geq2x-1,\\ x＞a\end{array} \right.$的半隐二次方程,求a的取值范围.
(1)方程$x^{2}-3x+2= 0是不是不等式组\left\{\begin{array}{l} x+2＞3,\\ x-2\leq0\end{array} \right.$的半隐二次方程？请说明理由.
(2)若关于x的一元二次方程$x^{2}-ax= 2x是不等式组\left\{\begin{array}{l} x+2\geq2x-1,\\ x＞a\end{array} \right.$的半隐二次方程,求a的取值范围.
答案
(1) 是；(2)$0 \leq a \leq 1$
解析
(1)解方程$x^{2}-3x+2=0$，得$x_{1}=1$，$x_{2}=2$。解不等式组$\left\{\begin{array}{l} x+2＞3\\ x-2\leq0\end{array}\right.$，得$1＜x\leq2$。因为$1$不是该不等式组的解，$2$是该不等式组的解，所以方程$x^{2}-3x+2=0$是不等式组$\left\{\begin{array}{l} x+2＞3\\ x-2\leq0\end{array}\right.$的半隐二次方程。
(2)方程$x^{2}-ax=2x$整理为$x^{2}-(a+2)x=0$，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=a+2$。解不等式组$\left\{\begin{array}{l} x+2\geq2x-1\\ x＞a\end{array}\right.$，得$a＜x\leq3$。分两种情况：
当$0$是不等式组的解，$a+2$不是时，$\left\{\begin{array}{l} a＜0\leq3\\ a+2\leq a\end{array}\right.$，无解。
当$a+2$是不等式组的解，$0$不是时，$\left\{\begin{array}{l} a＜a+2\leq3\\ 0\leq a\end{array}\right.$，解得$0\leq a\leq1$。
综上，$a$的取值范围是$0\leq a\leq1$。
