7. 如图,AB 是⊙O 的直径,F 为⊙O 上一点,AC 平分∠FAB 且交⊙O 于点 C. 过点 C 作 CD⊥AF 交 AF 的延长线于点 D.
(1)求证:CD 是⊙O 的切线；
(2)若 CD= 3,AD= 9,求⊙O 的半径.

(1)证明：连接 $OC$，
∵ $OA=OC$，
∴ $\angle OAC=\angle OCA$，
∵ $AC$ 平分 $\angle FAB$，
∴ $\angle DAC=\angle OAC$，
∴ $\angle DAC=\angle OCA$，
∴ $AD// OC$，
∵ $CD\perp AF$，
∴ $\angle ADC=90^\circ$，
∴ $\angle OCD=\angle ADC=90^\circ$，即 $OC\perp CD$，
∵ $OC$ 是 $\odot O$ 的半径，
∴ $CD$ 是 $\odot O$ 的切线.
(2)过点 $C$ 作 $CE\perp AB$ 于点 $E$，
∵ $AC$ 平分 $\angle FAB$，$CD\perp AF$，$CE\perp AB$，
∴ $CE=CD=3$，
∵ $CD=3$，$AD=9$，$\angle ADC=90^\circ$，
∴ $AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{9^2+3^2}=3\sqrt{10}$，
在 $Rt\triangle AEC$ 中，$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{(3\sqrt{10})^2-3^2}=9$，
设 $\odot O$ 的半径为 $r$，则 $OE=|AE-OA|=|9-r|$，
在 $Rt\triangle OEC$ 中，$OC^2=OE^2+CE^2$，即 $r^2=(9-r)^2+3^2$，
解得 $r=5$，即 $\odot O$ 的半径为 $5$.

8. 如图,已知 AB 是⊙O 的直径,AC,BC 是⊙O 的弦,OE//AC 交 BC 于点 E,过点 B 作⊙O 切线交 OE 的延长线于点 D,连接 DC 并延长交 BA 的延长线于点 F.
(1)求证:DC 是⊙O 的切线；
(2)若∠ABC= 30°,AB= 8,求线段 CF 的长.

(1) 证明见解析；(2) $4\sqrt{3}$。

(1) 连接OC，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°。∵OE//AC，∴∠OEB=∠ACB=90°，即OE⊥BC。∵OB=OC，∴OE垂直平分BC，∴DB=DC。
∵BD是⊙O切线，∴OB⊥BD，∠OBD=90°。
在△OCD和△OBD中，$\left\{\begin{array}{l}OC=OB\\ DC=DB\\ OD=OD\end{array}\right.$，∴△OCD≌△OBD(SSS)，∴∠OCD=∠OBD=90°，即OC⊥DC，∴DC是⊙O切线。
(2) ∵∠ABC=30°，AB=8，∴OA=OB=OC=4。
在Rt△ABC中，BC=AB·cos30°=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$。
∵∠ABC=30°，OB=OC，∴∠OCB=30°，∠COB=120°，则∠FOC=60°。
在Rt△FCO中，∠FCO=90°，∠FOC=60°，OC=4，∴FC=OC·tan60°=4×$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$。

9. 如图,△ABD 是⊙O 的内接三角形,E 是弦 BD 的中点,C 是⊙O 外一点,且∠DBC= ∠A,连接 OE 并延长与圆相交于点 F,与 BC 相交于点 C.
(1)求证:BC 是⊙O 的切线；
(2)若⊙O 的半径为 3,BC= 4,求弦 BD 的长.

(1)证明见上；(2)24/5。

(1)证明：连接OB。
∵E是弦BD的中点，
∴OE⊥BD，即∠OEB=90°。
∵OB=OD，
∴∠BOE=∠A（同弧所对圆心角是圆周角的两倍）。
∵∠DBC=∠A，
∴∠BOE=∠DBC。
在△BOE中，∠OBC=180°-∠BOE-∠OEB=180°-∠DBC-90°=90°-∠DBC。
又∠OBD=90°-∠BOE=90°-∠DBC，
∴∠OBC=∠OBD+∠DBC=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线。
(2)在Rt△OBC中，OB=3，BC=4，
∴OC=√(OB²+BC²)=√(3²+4²)=5。
∵S△OBC=1/2·OB·BC=1/2·OC·BE，
∴3×4=5·BE，
∴BE=12/5。
∵E是BD中点，
∴BD=2BE=24/5。