7. 如图,正方形 ABCD 内接于$\odot O$,P 为$\widehat{BC}$上的一点,连接 DP,CP.
(1) 求$\angle CPD$的大小;
(2) 当 P 为$\widehat{BC}$的中点时,CP 是$\odot O$的内接正n边形的一边,求n的值.

(1) 45°；(2) 8。

(1) 连接OD,OC。
∵正方形ABCD内接于$\odot O$，
∴$\angle COD=\frac{360^\circ}{4}=90^\circ$。
∵P为$\widehat{BC}$上一点，
∴$\angle CPD=\frac{1}{2}\angle COD=\frac{1}{2}×90^\circ=45^\circ$。
(2) 连接OB。
∵P为$\widehat{BC}$中点，
∴$\widehat{BP}=\widehat{PC}$。
∵正方形ABCD内接于$\odot O$，
∴$\angle BOC=90^\circ$，即$\widehat{BC}=90^\circ$，
∴$\widehat{PC}=\frac{1}{2}\widehat{BC}=45^\circ$。
∴CP所对圆心角为$45^\circ$，
∴$n=\frac{360^\circ}{45^\circ}=8$。

8. 如图,在正五边形 ABCDE 中,$\angle EAB= \angle B= 108^\circ$,$EA= AB= BC$,M,N 分别是 AB,BC 的中点,连接 AN,EM,相交于点 O.
(1) 求证:$AN= EM$;
(2) 求$\angle EON$的大小.

(1) 见证明过程；(2) 108°

(1) 证明：
∵M,N分别是AB,BC的中点，
∴AM=BM=BN=CN。
∵EA=AB=BC，
∴EA=AB=BC，AM=BN。
在△EAM和△ABN中，
$\begin{cases}EA=AB \\\angle EAM=\angle ABN=108^\circ \\AM=BN\end{cases}$
∴△EAM≌△ABN(SAS)，
∴AN=EM。
(2)
∵△EAM≌△ABN，
∴∠AEM=∠BAN。
∵∠EAB=108°，
∴∠AEM+∠AOM=180°-∠EAB=72°。
∵∠AOM=∠EON，∠AEM=∠BAN，
∴∠BAN+∠EON=72°。
∵∠BAN+∠EAB+∠EON=180°，
∴∠EON=180°-∠EAB-(∠BAN)=180°-108°-72°+∠EON，
解得∠EON=108°。

9. (1) 如图①,$\triangle ABC是\odot O$的内接正三角形,P 为劣弧 BC 上一动点.求证:$PA= PB+PC$;
(2) 如图②,四边形 ABCD 是$\odot O$的内接正方形,P 为劣弧 BC 上一动点.求证:$PA= PC+\sqrt{2}PB$.

(1) 证明：在PA上截取PD=PB，连接BD。
∵△ABC是正三角形，∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°。
∵P在劣弧BC上，∴∠BPA=∠ACB=60°。
∵PD=PB，∴△PBD是等边三角形，∴BD=PB，∠PBD=60°。
∵∠ABD=∠ABC-∠DBC=60°-∠DBC，∠CBP=∠PBD-∠DBC=60°-∠DBC，∴∠ABD=∠CBP。
在△ABD和△CBP中，$\left\{\begin{array}{l}AB=CB\\∠ABD=∠CBP\\BD=BP\end{array}\right.$，∴△ABD≌△CBP(SAS)，∴AD=PC。
∵PA=PD+AD，PD=PB，AD=PC，∴PA=PB+PC。
(2) 证明：将△CBP绕点B顺时针旋转90°至△BAQ，使BC与BA重合，连接QP。
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，AC为直径。
由旋转性质得：△BCP≌△BAQ，∴AQ=PC，BQ=BP，∠ABQ=∠CBP，∠AQB=∠CPB。
∵∠QBP=∠ABQ+∠ABP=∠CBP+∠ABP=∠ABC=90°，∴△QBP是等腰直角三角形，∴QP=√2 PB。
∵P在劣弧BC上，弧BC所对圆心角为90°，∴∠CPB=45°，则∠AQB=45°。
又∠APB=∠ACB=45°(同弧AB所对圆周角)，∴∠QPB=∠APB=45°，故Q、P、A三点共线。
∵PA=PQ+AQ，PQ=√2 PB，AQ=PC，∴PA=PC+√2 PB。