6. 如图,在矩形 ABCD 中,E 是 CB 延长线上的点,且$ EB= AB $,DE 与 AB 相交于点 F,$ AD= 2 $,$ CD= 1 $,求 AE 及 DF 的长.

$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore \angle ABE= \angle BAD= 90^\circ,AD// BC,AD=BC=2,CD=AB=1$。
$\because EB=AB$，
$\therefore \triangle ABE$是等腰直角三角形，
$\therefore AE= \sqrt{2} AB= \sqrt{2}$。
$\because AD// BC$，
$\therefore \triangle DAF\sim \triangle BEF$，
$\therefore \frac{DF}{EF}= \frac{AD}{BE}$。
$\because EB=AB=1,AD=2$，
$\therefore \frac{DF}{EF}=2$，
$\therefore DF= \frac{2}{3} DE$。
在$Rt\triangle DCE$中，
$DE= \sqrt{CD^2+EC^2}= \sqrt{10}$。
$\therefore DF= \frac{2}{3} \sqrt{10}= \frac{2\sqrt{10}}{3}$。
综上，$AE$的长为$\sqrt{2}$，$DF$的长为$\frac{2\sqrt{10}}{3}$。

7. 如图,F 是$ □ ABCD $的边 CD 上一点,直线 BF 交 AD 的延长线于点 E,则下列结论正确的有()
①$ \frac{ED}{EA}= \frac{DF}{AB} $,②$ \frac{DE}{BC}= \frac{EF}{FB} $,③$ \frac{BC}{DE}= \frac{BF}{BE} $,④$ \frac{BF}{BE}= \frac{BC}{AE} $.

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

C

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AD//BC，AB=CD，AD=BC．
结论①：∵AB//CD，即DF//AB，∴△EDF∽△EAB（AA相似），∴$\frac{ED}{EA}=\frac{DF}{AB}$，①正确．
结论②：∵AD//BC，即AE//BC，∴△EDF∽△BCF（AA相似），∴$\frac{DE}{BC}=\frac{EF}{FB}$，②正确．
结论③：由②得$\frac{DE}{BC}=\frac{EF}{FB}$，则$\frac{BC}{DE}=\frac{FB}{EF}$．∵$BE=EF+FB$，∴$\frac{FB}{BE}=\frac{FB}{EF+FB}\neq\frac{FB}{EF}$，即$\frac{BC}{DE}\neq\frac{BF}{BE}$，③错误．
结论④：设$\frac{EF}{FB}=k$，则$EF=k\cdot FB$，$BE=EF+FB=(k+1)FB$，$\frac{BF}{BE}=\frac{1}{k+1}$．由②得$\frac{DE}{BC}=k$，$DE=k\cdot BC$，$AE=AD+DE=BC+DE=(k+1)BC$，∴$\frac{BC}{AE}=\frac{1}{k+1}=\frac{BF}{BE}$，④正确．
综上，①②④正确，共3个．

8. 如图,AD,BC 相交于点 O,点 E,F 分别在 BC,AD 上,$ AB// CD// EF $,如果$ CE= 2 $,$ EB= 5 $,$ AF= 3 $,那么$ AD= $.

$\frac{21}{5}$

因为 $AB // CD // EF$，所以 $\frac{AF}{FD} = \frac{BE}{EC}$。
已知 $CE = 2$，$EB = 5$，$AF = 3$，设 $FD = x$，则 $\frac{3}{x} = \frac{5}{2}$，解得 $x = \frac{6}{5}$。
所以 $AD = AF + FD = 3 + \frac{6}{5} = \frac{21}{5}$。
$\frac{21}{5}$

9. 如图,在$ \triangle ABC $中,D 为 AC 上一点,且$ \frac{CD}{AD}= \frac{1}{2} $,过点 D 作$ DE// BC $交 AB 于点 E,连结 CE,过点 D 作$ DF// CE $交 AB 于点 F.若$ AB= 15 $,则$ EF= $.

$\frac{10}{3}$

$\because \frac{CD}{AD} = \frac{1}{2}$，$\therefore \frac{AD}{AC} = \frac{2}{3}$。
$\because DE // BC$，$\therefore \frac{AE}{AB} = \frac{AD}{AC} = \frac{2}{3}$。
$\because AB = 15$，$\therefore AE = \frac{2}{3} × 15 = 10$。
$\because DF // CE$，$\therefore \frac{AF}{AE} = \frac{AD}{AC} = \frac{2}{3}$。
$\therefore AF = \frac{2}{3} × AE = \frac{2}{3} × 10 = \frac{20}{3}$。
$\therefore EF = AE - AF = 10 - \frac{20}{3} = \frac{10}{3}$。
$\frac{10}{3}$

10. 在6×6的方格图中,点 A,B,C 都在格点上,按要求画图:
(1)在图1中找一个格点 D,使以点 A,B,C,D 为顶点的四边形是平行四边形.
(2)仅用无刻度的直尺,在图2中把线段 AB 三等分(保留画图痕迹,不写画法).

(1) 图1中符合条件的格点D有3个，分别为D₁、D₂、D₃（图略，位置分别通过平移AB至C得D₁，平移AC至B得D₂，平移BC至A得D₃）。
(2) 图2中，过点A作射线AM（方向任意，利用方格格点），在AM上依次取格点P₁、P₂、P₃，使AP₁=P₁P₂=P₂P₃（利用方格边长相等）；连接P₃B，过P₁、P₂分别作P₃B的平行线，交AB于点M、N，则M、N为线段AB的三等分点（保留射线AM、点P₁、P₂、P₃及平行线痕迹）。