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5. 抛物线$y = x^2 - 4x + \frac{m}{2}与x轴的一个交点坐标为(1, 0)$,则此抛物线与$x$轴的另一个交点坐标为
$(3, 0)$
。答案
【解析】：
本题主要考查二次函数与$x$轴交点的性质。
首先，由于抛物线$y = x^2 - 4x + \frac{m}{2}$与$x$轴的一个交点坐标为$(1, 0)$，
根据二次函数与$x$轴交点的性质，这个交点的$x$坐标就是二次方程$x^2 - 4x + \frac{m}{2} = 0$的一个根。
设二次方程$x^2 - 4x + \frac{m}{2} = 0$的两个根为$x_1$和$x_2$，且已知$x_1 = 1$。
根据二次方程的根与系数的关系，有：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 4$ （其中$a = 1, b = -4$），
$x_1 × x_2 = \frac{c}{a} = \frac{m}{2}$，
由于已知$x_1 = 1$，可以求出$x_2$：
$x_2 = 4 - x_1 = 4 - 1 = 3$，
因此，抛物线与$x$轴的另一个交点坐标为$(3, 0)$。
【答案】：
$(3, 0)$。
本题主要考查二次函数与$x$轴交点的性质。
首先，由于抛物线$y = x^2 - 4x + \frac{m}{2}$与$x$轴的一个交点坐标为$(1, 0)$，
根据二次函数与$x$轴交点的性质，这个交点的$x$坐标就是二次方程$x^2 - 4x + \frac{m}{2} = 0$的一个根。
设二次方程$x^2 - 4x + \frac{m}{2} = 0$的两个根为$x_1$和$x_2$，且已知$x_1 = 1$。
根据二次方程的根与系数的关系，有：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 4$ （其中$a = 1, b = -4$），
$x_1 × x_2 = \frac{c}{a} = \frac{m}{2}$，
由于已知$x_1 = 1$，可以求出$x_2$：
$x_2 = 4 - x_1 = 4 - 1 = 3$，
因此，抛物线与$x$轴的另一个交点坐标为$(3, 0)$。
【答案】：
$(3, 0)$。
6. 如图,要修一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应为多高？
答案
解：以池中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立直角坐标系。
设抛物线解析式为$y=a(x - 1)^2+3$（$a\neq0$）。
因为水柱落地处离池中心3m，所以抛物线过点$(3,0)$，代入解析式得：
$0=a(3 - 1)^2+3$
$0=4a + 3$
解得$a=-\frac{3}{4}$
所以抛物线解析式为$y=-\frac{3}{4}(x - 1)^2+3$
当$x=0$时，$y=-\frac{3}{4}(0 - 1)^2+3=-\frac{3}{4}+3=\frac{9}{4}=2.25$
答：水管应为2.25m。
设抛物线解析式为$y=a(x - 1)^2+3$（$a\neq0$）。
因为水柱落地处离池中心3m，所以抛物线过点$(3,0)$，代入解析式得：
$0=a(3 - 1)^2+3$
$0=4a + 3$
解得$a=-\frac{3}{4}$
所以抛物线解析式为$y=-\frac{3}{4}(x - 1)^2+3$
当$x=0$时，$y=-\frac{3}{4}(0 - 1)^2+3=-\frac{3}{4}+3=\frac{9}{4}=2.25$
答：水管应为2.25m。
7. 如图,一小球沿与地面成一定角度的方向飞出,小球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度$y$(单位：m)与飞行时间$x$(单位：s)之间具有函数关系$y = -5x^2 + 20x$。请根据要求解答下列问题。
(1)在飞行过程中,当小球的飞行高度为15m时,飞行时间是多少？
(2)在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是多少？
(3)在飞行过程中,小球的飞行高度何时最大？最大高度是多少？
(1)在飞行过程中,当小球的飞行高度为15m时,飞行时间是多少？
(2)在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是多少？
(3)在飞行过程中,小球的飞行高度何时最大？最大高度是多少？
答案
【解析】：本题主要考查二次函数在实际问题中的应用，需要根据给定的函数关系式，通过代入求解、因式分解等方法来解答问题。
（1）已知小球飞行高度$y$与飞行时间$x$的函数关系为$y = -5x^2 + 20x$，当$y = 15$时，代入函数关系式得到方程$-5x^2 + 20x = 15$，通过移项、因式分解求解该方程，得到飞行时间$x$的值。
（2）小球从飞出到落地，即飞行高度$y = 0$时，代入函数关系式$y = -5x^2 + 20x$，得到方程$-5x^2 + 20x = 0$，通过提取公因式、因式分解求解该方程，得到飞行时间$x$的值，其中较大的值即为从飞出到落地所用的时间。
（3）对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$（$a\neq0$），其顶点横坐标为$-\frac{b}{2a}$，将函数$y = -5x^2 + 20x$化为顶点式$y = -5(x - 2)^2 + 20$，可得出顶点坐标，从而确定飞行高度何时最大以及最大高度。
【答案】：
（1）解：当$y = 15$时，$-5x^2 + 20x = 15$，
移项可得$-5x^2 + 20x - 15 = 0$，
两边同时除以$-5$得$x^2 - 4x + 3 = 0$，
因式分解得$(x - 1)(x - 3) = 0$，
则$x - 1 = 0$或$x - 3 = 0$，
解得$x_1 = 1$，$x_2 = 3$。
所以在飞行过程中，当小球的飞行高度为$15m$时，飞行时间是$1s$或$3s$。
（2）解：当$y = 0$时，$-5x^2 + 20x = 0$，
提取公因式$-5x$得$-5x(x - 4) = 0$，
则$-5x = 0$或$x - 4 = 0$，
解得$x_1 = 0$（此时为小球飞出时刻，舍去），$x_2 = 4$。
所以在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是$4s$。
（3）解：$y = -5x^2 + 20x = -5(x^2 - 4x) = -5(x^2 - 4x + 4 - 4) = -5((x - 2)^2 - 4) = -5(x - 2)^2 + 20$，
因为$-5\lt0$，所以二次函数图象开口向下，当$x = 2$时，$y$有最大值$20$。
所以在飞行过程中，小球的飞行高度在$2s$时最大，最大高度是$20m$。
（1）已知小球飞行高度$y$与飞行时间$x$的函数关系为$y = -5x^2 + 20x$，当$y = 15$时，代入函数关系式得到方程$-5x^2 + 20x = 15$，通过移项、因式分解求解该方程，得到飞行时间$x$的值。
（2）小球从飞出到落地，即飞行高度$y = 0$时，代入函数关系式$y = -5x^2 + 20x$，得到方程$-5x^2 + 20x = 0$，通过提取公因式、因式分解求解该方程，得到飞行时间$x$的值，其中较大的值即为从飞出到落地所用的时间。
（3）对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$（$a\neq0$），其顶点横坐标为$-\frac{b}{2a}$，将函数$y = -5x^2 + 20x$化为顶点式$y = -5(x - 2)^2 + 20$，可得出顶点坐标，从而确定飞行高度何时最大以及最大高度。
【答案】：
（1）解：当$y = 15$时，$-5x^2 + 20x = 15$，
移项可得$-5x^2 + 20x - 15 = 0$，
两边同时除以$-5$得$x^2 - 4x + 3 = 0$，
因式分解得$(x - 1)(x - 3) = 0$，
则$x - 1 = 0$或$x - 3 = 0$，
解得$x_1 = 1$，$x_2 = 3$。
所以在飞行过程中，当小球的飞行高度为$15m$时，飞行时间是$1s$或$3s$。
（2）解：当$y = 0$时，$-5x^2 + 20x = 0$，
提取公因式$-5x$得$-5x(x - 4) = 0$，
则$-5x = 0$或$x - 4 = 0$，
解得$x_1 = 0$（此时为小球飞出时刻，舍去），$x_2 = 4$。
所以在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是$4s$。
（3）解：$y = -5x^2 + 20x = -5(x^2 - 4x) = -5(x^2 - 4x + 4 - 4) = -5((x - 2)^2 - 4) = -5(x - 2)^2 + 20$，
因为$-5\lt0$，所以二次函数图象开口向下，当$x = 2$时，$y$有最大值$20$。
所以在飞行过程中，小球的飞行高度在$2s$时最大，最大高度是$20m$。
