登录
13. (每小题4分,共12分)计算:
(1)$-5\frac{3}{4}+7.4+4.75+2\frac{3}{5}$;
(2)$(-60)×(\frac{3}{4}+\frac{1}{10}-\frac{5}{6})$;
(3)$-1^{2}-3×(-1)^{3}÷(-\frac{1}{2})^{2}$.
(1)$-5\frac{3}{4}+7.4+4.75+2\frac{3}{5}$;
(2)$(-60)×(\frac{3}{4}+\frac{1}{10}-\frac{5}{6})$;
(3)$-1^{2}-3×(-1)^{3}÷(-\frac{1}{2})^{2}$.
答案
【解析】：
本题主要考察的是有理数的加减混合运算，乘法分配律以及有理数的乘方运算。
(1) 对于第一小题，我们需要将带分数转化为小数，然后进行加减运算。
(2) 对于第二小题，我们需要运用乘法分配律，将-60分别与括号内的各项相乘，再进行加减运算。
(3) 对于第三小题，我们需要先计算乘方，然后进行乘除运算，最后进行加减运算。
【答案】：
(1) 解：
原式 = $-5\frac{3}{4} + 7.4 + 4.75 + 2\frac{3}{5}$
= $-5.75 + 7.4 + 4.75 + 2.6$ （将带分数转化为小数）
= $(-5.75 + 4.75) + (7.4 + 2.6)$ （利用加法交换律和结合律）
= $-1 + 10$
= $9$
(2) 解：
原式 = $(-60) × (\frac{3}{4} + \frac{1}{10} - \frac{5}{6})$
= $(-60) × \frac{3}{4} + (-60) × \frac{1}{10} - (-60) × \frac{5}{6}$ （运用乘法分配律）
= $-45 - 6 + 50$
= $-51 + 50$
= $-1$
(3) 解：
原式 = $-1^2 - 3 × (-1)^3 ÷ (-\frac{1}{2})^2$
= $-1 - 3 × (-1) ÷ \frac{1}{4}$ （先计算乘方）
= $-1 + 3 × 4$ （进行乘除运算）
= $-1 + 12$
= $11$
本题主要考察的是有理数的加减混合运算，乘法分配律以及有理数的乘方运算。
(1) 对于第一小题，我们需要将带分数转化为小数，然后进行加减运算。
(2) 对于第二小题，我们需要运用乘法分配律，将-60分别与括号内的各项相乘，再进行加减运算。
(3) 对于第三小题，我们需要先计算乘方，然后进行乘除运算，最后进行加减运算。
【答案】：
(1) 解：
原式 = $-5\frac{3}{4} + 7.4 + 4.75 + 2\frac{3}{5}$
= $-5.75 + 7.4 + 4.75 + 2.6$ （将带分数转化为小数）
= $(-5.75 + 4.75) + (7.4 + 2.6)$ （利用加法交换律和结合律）
= $-1 + 10$
= $9$
(2) 解：
原式 = $(-60) × (\frac{3}{4} + \frac{1}{10} - \frac{5}{6})$
= $(-60) × \frac{3}{4} + (-60) × \frac{1}{10} - (-60) × \frac{5}{6}$ （运用乘法分配律）
= $-45 - 6 + 50$
= $-51 + 50$
= $-1$
(3) 解：
原式 = $-1^2 - 3 × (-1)^3 ÷ (-\frac{1}{2})^2$
= $-1 - 3 × (-1) ÷ \frac{1}{4}$ （先计算乘方）
= $-1 + 3 × 4$ （进行乘除运算）
= $-1 + 12$
= $11$
14. (每小题3分,共6分)当$x= -2,y= 3$时,求下列代数式的值:
(1)$x^{3}+y^{3}$;
(2)$(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$.
(1)$x^{3}+y^{3}$;
(2)$(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$.
答案
【解析】：
本题主要考查代数式的求值问题。
对于第一小题，我们需要将给定的$x$和$y$的值代入到$x^{3}+y^{3}$中进行计算。
对于第二小题，我们注意到$(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$可以看作是立方和公式的展开形式，即$(x+y)(x^{2}-xy+y^{2}) = x^{3}+y^{3}$，因此可以直接利用第一小题的结果，或者将$x$和$y$的值代入进行计算。
【答案】：
(1)解：
当$x = -2$，$y = 3$时，
$x^{3} + y^{3} = (-2)^{3} + 3^{3} = -8 + 27 = 19$
(2)解：
首先，我们可以利用立方和公式：
$(x+y)(x^{2}-xy+y^{2}) = x^{3}+y^{3}$
代入$x = -2$，$y = 3$，得到：
$(x+y)(x^{2}-xy+y^{2}) = (-2)^{3} + 3^{3} = -8 + 27 = 19$
或者，我们也可以直接将$x$和$y$的值代入$(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$中进行计算：
$(x+y)(x^{2}-xy+y^{2}) = (-2+3)[(-2)^{2}-(-2) × 3+3^{2}] = 1 × (4+6+9) = 19$
本题主要考查代数式的求值问题。
对于第一小题，我们需要将给定的$x$和$y$的值代入到$x^{3}+y^{3}$中进行计算。
对于第二小题，我们注意到$(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$可以看作是立方和公式的展开形式，即$(x+y)(x^{2}-xy+y^{2}) = x^{3}+y^{3}$，因此可以直接利用第一小题的结果，或者将$x$和$y$的值代入进行计算。
【答案】：
(1)解：
当$x = -2$，$y = 3$时，
$x^{3} + y^{3} = (-2)^{3} + 3^{3} = -8 + 27 = 19$
(2)解：
首先，我们可以利用立方和公式：
$(x+y)(x^{2}-xy+y^{2}) = x^{3}+y^{3}$
代入$x = -2$，$y = 3$，得到：
$(x+y)(x^{2}-xy+y^{2}) = (-2)^{3} + 3^{3} = -8 + 27 = 19$
或者，我们也可以直接将$x$和$y$的值代入$(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$中进行计算：
$(x+y)(x^{2}-xy+y^{2}) = (-2+3)[(-2)^{2}-(-2) × 3+3^{2}] = 1 × (4+6+9) = 19$
15. (3分)如图,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形,把余下的部分拼成一个长方形(无重叠部分),通过计算两个图形中阴影部分的面积,可以发现a,b之间具有怎样的关系?
答案
【解析】：
本题可通过分别计算两个图形中阴影部分的面积，再根据面积相等建立等式，从而发现$a$、$b$之间的关系。
步骤一：计算第一个图形中阴影部分的面积
第一个图形是一个边长为$a$的正方形，在其中挖掉一个边长为$b$的小正方形，那么阴影部分的面积就等于大正方形的面积减去小正方形的面积。
根据正方形面积公式$S = 边长×边长$，可得大正方形面积为$a× a = a^{2}$，小正方形面积为$b× b = b^{2}$，所以第一个图形中阴影部分的面积为$a^{2}-b^{2}$。
步骤二：计算第二个图形中阴影部分的面积
第二个图形是一个长方形，长方形的长为$(a + b)$，宽为$(a - b)$。
根据长方形面积公式$S = 长×宽$，可得该长方形面积为$(a + b)(a - b)$，即第二个图形中阴影部分的面积为$(a + b)(a - b)$。
步骤三：发现$a$、$b$之间的关系
由于两个图形中的阴影部分是由同一个图形分割后重新拼接而成的，所以它们的面积相等，即$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$。
【答案】：
$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$
本题可通过分别计算两个图形中阴影部分的面积，再根据面积相等建立等式，从而发现$a$、$b$之间的关系。
步骤一：计算第一个图形中阴影部分的面积
第一个图形是一个边长为$a$的正方形，在其中挖掉一个边长为$b$的小正方形，那么阴影部分的面积就等于大正方形的面积减去小正方形的面积。
根据正方形面积公式$S = 边长×边长$，可得大正方形面积为$a× a = a^{2}$，小正方形面积为$b× b = b^{2}$，所以第一个图形中阴影部分的面积为$a^{2}-b^{2}$。
步骤二：计算第二个图形中阴影部分的面积
第二个图形是一个长方形，长方形的长为$(a + b)$，宽为$(a - b)$。
根据长方形面积公式$S = 长×宽$，可得该长方形面积为$(a + b)(a - b)$，即第二个图形中阴影部分的面积为$(a + b)(a - b)$。
步骤三：发现$a$、$b$之间的关系
由于两个图形中的阴影部分是由同一个图形分割后重新拼接而成的，所以它们的面积相等，即$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$。
【答案】：
$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$
16. (5分)已知$A= 2a^{2}+3ab-2a-1$,$B= -a^{2}+ab+1$.
(1)当$a= -1,b= 2$时,求$A+2B$的值;
(2)若(1)中代数式的值与a的取值无关,求b的值.
(1)当$a= -1,b= 2$时,求$A+2B$的值;
(2)若(1)中代数式的值与a的取值无关,求b的值.
答案
(1)解：因为$A = 2a^{2}+3ab - 2a - 1$，$B=-a^{2}+ab + 1$，所以$A + 2B=(2a^{2}+3ab - 2a - 1)+2(-a^{2}+ab + 1)$
$=2a^{2}+3ab - 2a - 1 - 2a^{2}+2ab + 2$
$=(2a^{2}-2a^{2})+(3ab + 2ab)-2a+(-1 + 2)$
$=5ab - 2a + 1$
当$a=-1$，$b = 2$时，原式$=5×(-1)×2-2×(-1)+1=-10 + 2 + 1=-7$
(2)解：由(1)知$A + 2B=(5b - 2)a+1$，因为代数式的值与$a$的取值无关，所以$5b-2 = 0$，解得$b=\frac{2}{5}$
$=2a^{2}+3ab - 2a - 1 - 2a^{2}+2ab + 2$
$=(2a^{2}-2a^{2})+(3ab + 2ab)-2a+(-1 + 2)$
$=5ab - 2a + 1$
当$a=-1$，$b = 2$时，原式$=5×(-1)×2-2×(-1)+1=-10 + 2 + 1=-7$
(2)解：由(1)知$A + 2B=(5b - 2)a+1$，因为代数式的值与$a$的取值无关，所以$5b-2 = 0$，解得$b=\frac{2}{5}$
