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3. 如图,在$\odot O$中,若$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC}$,$\angle A = 40^\circ$,则$\angle B$的度数为
70°
。答案
解：∵在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC}$
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
∴∠B=∠C
∵∠A=40°，∠A+∠B+∠C=180°
∴∠B=(180°-∠A)/2=(180°-40°)/2=70°
70°
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
∴∠B=∠C
∵∠A=40°，∠A+∠B+∠C=180°
∴∠B=(180°-∠A)/2=(180°-40°)/2=70°
70°
4. 在$\odot O$中,弦$AB = 2 cm$,圆心角$\angle AOB = 60^\circ$,则$\odot O$的直径为
4
$cm$。答案
解：在$\odot O$中，$OA$、$OB$为半径，所以$OA = OB$。
因为$\angle AOB = 60^\circ$，所以$\triangle AOB$是等边三角形。
所以$OA = AB = 2\ cm$。
则$\odot O$的直径为$2OA = 4\ cm$。
答案：4
因为$\angle AOB = 60^\circ$，所以$\triangle AOB$是等边三角形。
所以$OA = AB = 2\ cm$。
则$\odot O$的直径为$2OA = 4\ cm$。
答案：4
5. 如图,$AB$,$CD是\odot O$的两条弦,且$AB = CD$。$OM \perp AB$,$ON \perp CD$,垂足分别为$M$,$N$。$BA$,$DC的延长线交于点P$,连接$OP$。下列结论中,正确的是______。(填序号)
①$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}$；②$OM = ON$；③$PA = PC$；④$\angle BPO = \angle DPO$。
①$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}$；②$OM = ON$；③$PA = PC$；④$\angle BPO = \angle DPO$。
①②③④
答案
解：①②③④
证明：
①∵AB=CD，∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$（在同圆中，相等的弦所对的弧相等）。
②∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM=$\frac{1}{2}$AB，CN=$\frac{1}{2}$CD（垂径定理）。
∵AB=CD，∴AM=CN。
∵OA=OC（同圆半径相等），∠OMA=∠ONC=90°，
∴Rt△OMA≌Rt△ONC（HL），∴OM=ON。
③∵OM=ON，OP=OP，∠OMP=∠ONP=90°，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），∴PM=PN。
∵AM=CN，∴PM-AM=PN-CN，即PA=PC。
④由③中Rt△OMP≌Rt△ONP，得∠BPO=∠DPO。
综上，①②③④均正确。
证明：
①∵AB=CD，∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$（在同圆中，相等的弦所对的弧相等）。
②∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM=$\frac{1}{2}$AB，CN=$\frac{1}{2}$CD（垂径定理）。
∵AB=CD，∴AM=CN。
∵OA=OC（同圆半径相等），∠OMA=∠ONC=90°，
∴Rt△OMA≌Rt△ONC（HL），∴OM=ON。
③∵OM=ON，OP=OP，∠OMP=∠ONP=90°，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），∴PM=PN。
∵AM=CN，∴PM-AM=PN-CN，即PA=PC。
④由③中Rt△OMP≌Rt△ONP，得∠BPO=∠DPO。
综上，①②③④均正确。
6. 如图,以$\odot O的直径BC为一边作等边三角形ABC$。$AB$,$AC分别交\odot O于D$,$E$两点。求证：$BD = DE = EC$。
答案
证明：连接OD，OE。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，BC为⊙O直径，
∴OB=OD=OE=OC（半径相等），
∴△OBD和△OCE为等腰三角形，
∴∠ODB=∠ABC=60°，∠OEC=∠ACB=60°，
∴△OBD和△OCE为等边三角形，
∴∠BOD=∠COE=60°，
∵∠BOC=180°（平角），
∴∠DOE=∠BOC-∠BOD-∠COE=60°，
∴∠BOD=∠DOE=∠COE=60°，
∴BD=DE=EC（在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等）。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，BC为⊙O直径，
∴OB=OD=OE=OC（半径相等），
∴△OBD和△OCE为等腰三角形，
∴∠ODB=∠ABC=60°，∠OEC=∠ACB=60°，
∴△OBD和△OCE为等边三角形，
∴∠BOD=∠COE=60°，
∵∠BOC=180°（平角），
∴∠DOE=∠BOC-∠BOD-∠COE=60°，
∴∠BOD=∠DOE=∠COE=60°，
∴BD=DE=EC（在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等）。
7. 如图,已知$AB是\odot O$的直径,$CM \perp AB$,$DN \perp AB$,垂足分别为$M$,$N$,且$AM = BN$。
求证：$\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BC}$。
求证：$\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BC}$。
答案
【解析】：本题主要考查圆的性质，特别是垂径定理和圆心角、弧、弦之间的关系。
首先，根据题目条件，我们知道$AB$是$\odot O$的直径，$CM \perp AB$，$DN \perp AB$，且$AM = BN$。
我们可以连接$OD$和$OC$，由于$OA = OB = OD = OC$（因为$AB$是直径，所以$O$是圆心，且$OA$，$OB$，$OD$，$OC$都是半径），
我们可以利用HL全等条件来证明$\triangle ODM \cong \triangle OCN$，由于$AM = BN$，且$OM = ON$（因为$O$是$AB$的中点），我们可以得出$OA-AM=OB-BN$，即$OM = ON$。
又因为$OD = OC$，且$\angle OMD = \angle ONC = 90^\circ$，所以根据HL全等条件，我们可以得出$\triangle ODM \cong \triangle OCN$。
由于$\triangle ODM \cong \triangle OCN$，所以$\angle DOM = \angle CON$，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理的推论，即在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，我们可以得出$\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BC}$。
【答案】：证明：
连接$OD$，$OC$。
$\because OA = OB = OD = OC$，$AM = BN$，
$\therefore OA-AM=OB-BN$，即$OM = ON$，
$\because\angle OMD = \angle ONC = 90^\circ$，
$\therefore\triangle ODM\cong \triangle OCN(HL)$，
$\therefore\angle DOM = \angle CON$，
$\therefore \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BC}$。
首先，根据题目条件，我们知道$AB$是$\odot O$的直径，$CM \perp AB$，$DN \perp AB$，且$AM = BN$。
我们可以连接$OD$和$OC$，由于$OA = OB = OD = OC$（因为$AB$是直径，所以$O$是圆心，且$OA$，$OB$，$OD$，$OC$都是半径），
我们可以利用HL全等条件来证明$\triangle ODM \cong \triangle OCN$，由于$AM = BN$，且$OM = ON$（因为$O$是$AB$的中点），我们可以得出$OA-AM=OB-BN$，即$OM = ON$。
又因为$OD = OC$，且$\angle OMD = \angle ONC = 90^\circ$，所以根据HL全等条件，我们可以得出$\triangle ODM \cong \triangle OCN$。
由于$\triangle ODM \cong \triangle OCN$，所以$\angle DOM = \angle CON$，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理的推论，即在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，我们可以得出$\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BC}$。
【答案】：证明：
连接$OD$，$OC$。
$\because OA = OB = OD = OC$，$AM = BN$，
$\therefore OA-AM=OB-BN$，即$OM = ON$，
$\because\angle OMD = \angle ONC = 90^\circ$，
$\therefore\triangle ODM\cong \triangle OCN(HL)$，
$\therefore\angle DOM = \angle CON$，
$\therefore \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BC}$。
8. 如图,$MN为\odot O$的直径。已知$A$是半圆上一个三等分点,$B是\overset{\frown}{AN}$的中点,$P是半径ON$上的动点。若$\odot O$的半径为1,求$AP + BP$的最小值。
答案
解：作点A关于直径MN的对称点A'，连接A'B，交MN于点P，此时AP + BP的值最小，最小值为A'B的长。
连接OA，OA'，OB。
∵A是半圆上一个三等分点，
∴∠AON = 180°÷3 = 60°。
∵A与A'关于MN对称，
∴∠A'ON = ∠AON = 60°。
∵B是$\overset{\frown}{AN}$的中点，
∴∠BON = $\frac{1}{2}$∠AON = 30°。
∴∠A'OB = ∠A'ON + ∠BON = 60° + 30° = 90°。
∵OA' = OB = 1，
∴A'B = $\sqrt{OA'^2 + OB^2}$ = $\sqrt{1^2 + 1^2}$ = $\sqrt{2}$。
即AP + BP的最小值为$\sqrt{2}$。
连接OA，OA'，OB。
∵A是半圆上一个三等分点，
∴∠AON = 180°÷3 = 60°。
∵A与A'关于MN对称，
∴∠A'ON = ∠AON = 60°。
∵B是$\overset{\frown}{AN}$的中点，
∴∠BON = $\frac{1}{2}$∠AON = 30°。
∴∠A'OB = ∠A'ON + ∠BON = 60° + 30° = 90°。
∵OA' = OB = 1，
∴A'B = $\sqrt{OA'^2 + OB^2}$ = $\sqrt{1^2 + 1^2}$ = $\sqrt{2}$。
即AP + BP的最小值为$\sqrt{2}$。
