26. 如图所示,已知点$M(x_1,y_1)$,$N(x_2,y_2)在二次函数y= a(x-2)^2-1(a＞0)$的图象上,且$x_2-x_1= 3$.
(1)若二次函数的图象经过点$(3,1)$.
①求这个二次函数的表达式.
②若$y_1= y_2$,求顶点到$MN$的距离.
(2)当$x_1\leq x\leq x_2$时,二次函数的最大值与最小值的差为1,点$M$,$N$在二次函数对称轴的异侧,求$a$的取值范围.

(1)①解：将点$(3,1)$代入$y=a(x-2)^2-1$，得$1=a(3-2)^2-1$，解得$a=2$，所以二次函数表达式为$y=2(x-2)^2-1$。
②解：二次函数对称轴为$x=2$，因为$y_1=y_2$，所以$M$，$N$关于对称轴对称，设$x_1=2-t$，$x_2=2+t$，由$x_2-x_1=3$，得$(2+t)-(2-t)=3$，解得$t=\frac{3}{2}$，则$x_1=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$，$y_1=2(\frac{1}{2}-2)^2-1=2×(\frac{9}{4})-1=\frac{9}{2}-1=\frac{7}{2}$，$MN$平行于$x$轴，顶点坐标为$(2,-1)$，顶点到$MN$的距离为$\frac{7}{2}-(-1)=\frac{9}{2}$。
(2)解：因为点$M$，$N$在对称轴异侧，设$x_1＜2＜x_2$，$x_2=x_1+3$，则$x_1+3＞2$，得$x_1＞-1$，又$x_1＜2$，所以$-1＜x_1＜2$。二次函数开口向上，当$x\in[x_1,x_2]$时，最小值为$-1$。
当$x_2-2\geq2-x_1$，即$x_1+3-2\geq2-x_1$，$2x_1\geq1$，$x_1\geq\frac{1}{2}$时，最大值为$y_2=a(x_2-2)^2-1=a(x_1+1)^2-1$，由最大值与最小值差为1，得$a(x_1+1)^2-1-(-1)=1$，$a(x_1+1)^2=1$，$x_1\in[\frac{1}{2},2)$，$x_1+1\in[\frac{3}{2},3)$，$(x_1+1)^2\in[\frac{9}{4},9)$，所以$a=\frac{1}{(x_1+1)^2}\in(\frac{1}{9},\frac{4}{9}]$。
当$x_2-2＜2-x_1$，即$x_1＜\frac{1}{2}$时，最大值为$y_1=a(x_1-2)^2-1$，同理得$a(x_1-2)^2=1$，$x_1\in(-1,\frac{1}{2})$，$x_1-2\in(-3,\frac{3}{2})$，$(x_1-2)^2\in(\frac{9}{4},9)$，所以$a=\frac{1}{(x_1-2)^2}\in(\frac{1}{9},\frac{4}{9})$。
综上，$a$的取值范围是$\frac{1}{9}＜a\leq\frac{4}{9}$。