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19. 如图所示,正方形$ABCD内接于\odot O$,$P为\overset{\frown}{BC}$上一点,连结$PD$,$PC$.
(1)求$\angle CPD$的度数.
(2)若$DC= 4$,$CP= 2\sqrt{2}$,求$DP$的长.
(1)求$\angle CPD$的度数.
(2)若$DC= 4$,$CP= 2\sqrt{2}$,求$DP$的长.
答案
(1)解：连接OD，OC。
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴OD=OC，∠DOC=90°。
∵∠CPD是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，∠DOC是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角，
∴∠CPD=$\frac{1}{2}$∠DOC=45°。
(2)解：过点C作CQ⊥DP于点Q。
∵∠CPD=45°，CQ⊥DP，CP=2$\sqrt{2}$，
∴CQ=PQ=CP·sin45°=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2。
∵四边形ABCD是正方形，DC=4，
∴∠CDA=90°，AD=DC=4。
∵∠CQD=90°，
∴DQ=$\sqrt{DC^{2}-CQ^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=2\sqrt{3}$。
∴DP=DQ+PQ=2$\sqrt{3}$+2。
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴OD=OC，∠DOC=90°。
∵∠CPD是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，∠DOC是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角，
∴∠CPD=$\frac{1}{2}$∠DOC=45°。
(2)解：过点C作CQ⊥DP于点Q。
∵∠CPD=45°，CQ⊥DP，CP=2$\sqrt{2}$，
∴CQ=PQ=CP·sin45°=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2。
∵四边形ABCD是正方形，DC=4，
∴∠CDA=90°，AD=DC=4。
∵∠CQD=90°，
∴DQ=$\sqrt{DC^{2}-CQ^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=2\sqrt{3}$。
∴DP=DQ+PQ=2$\sqrt{3}$+2。
20. 如图所示,$AE是\odot O$的直径,半径$OC\perp弦AB$,点$D$为垂足,连结$BE$,$EC$.
(1)若$\angle BEC= 26^\circ$,求$\angle AOC$的度数.
(2)若$\angle CEA= \angle A$,$EC= 6$,求$\odot O$的半径.
(1)若$\angle BEC= 26^\circ$,求$\angle AOC$的度数.
(2)若$\angle CEA= \angle A$,$EC= 6$,求$\odot O$的半径.
答案
1. （1）
因为$AE$是$\odot O$的直径，所以$\angle ABE = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
又因为$OC\perp AB$，所以$OC// BE$（垂直于同一条直线的两条直线平行）。
则$\angle AOC=\angle AEB$（两直线平行，同位角相等）。
同弧所对的圆周角相等，$\angle AEB = 2\angle BEC$（圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的$2$倍）。
已知$\angle BEC = 26^{\circ}$，所以$\angle AEB=2×26^{\circ}=52^{\circ}$，即$\angle AOC = 52^{\circ}$。
2. （2）
解：因为$OC = OA$，所以$\angle A=\angle OCA$。
已知$\angle CEA=\angle A$，所以$\angle CEA=\angle OCA$。
因为$OC// BE$，所以$\angle CEB=\angle OCE$。
又因为$\angle AEB = 2\angle CEB$，$\angle AOC=\angle AEB$，$\angle AOC = 2\angle OCA$，$\angle CEA=\angle OCA$，所以$\angle AEB = 2\angle CEA$。
因为$\angle ABE = 90^{\circ}$，所以$\angle AEB+\angle A = 90^{\circ}$，设$\angle CEA=\angle A = x$，则$\angle AEB = 2x$，可得$2x + x=90^{\circ}$，解得$x = 30^{\circ}$，即$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle AEB = 60^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABE$中，$\angle A = 30^{\circ}$，$AE$为斜边，$BE=\frac{1}{2}AE$（在直角三角形中，如果一个锐角等于$30^{\circ}$，那么它所对的直角边等于斜边的一半）。
因为$OC// BE$，$OA = OE$，所以$AD = BD$，则$OC$是$\triangle ABE$的中位线，所以$BE = 2OD$，$AE = 2BE$。
又因为$\angle CEA=\angle A$，$\angle ABE=\angle EDC = 90^{\circ}$，所以$\triangle ABE\sim\triangle CDE$（两角分别相等的两个三角形相似）。
因为$OC// BE$，所以$\frac{CD}{OD}=\frac{CE}{BE}$，且$OC = OE$，设$\odot O$半径为$r$，则$AE = 2r$，$BE = r$。
在$Rt\triangle CDE$中，$\angle CEA = 30^{\circ}$，$EC = 6$，所以$CD=\frac{1}{2}EC = 3$（在直角三角形中，如果一个锐角等于$30^{\circ}$，那么它所对的直角边等于斜边的一半）。
根据勾股定理$DE=\sqrt{EC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}} = 3\sqrt{3}$。
因为$\triangle ABE\sim\triangle CDE$，$\frac{AE}{CE}=\frac{BE}{DE}$，即$\frac{2r}{6}=\frac{r}{3\sqrt{3}}$（此方法较复杂，换一种方法）。
因为$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle ABE = 90^{\circ}$，$BE = EC = 6$（等角对等边，$\angle CEB=\angle CEA = 30^{\circ}$），所以$AE = 2BE=12$。
则$\odot O$的半径$r=\frac{AE}{2}=6$。
综上，（1）$\angle AOC$的度数为$52^{\circ}$；（2）$\odot O$的半径为$6$。
因为$AE$是$\odot O$的直径，所以$\angle ABE = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
又因为$OC\perp AB$，所以$OC// BE$（垂直于同一条直线的两条直线平行）。
则$\angle AOC=\angle AEB$（两直线平行，同位角相等）。
同弧所对的圆周角相等，$\angle AEB = 2\angle BEC$（圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的$2$倍）。
已知$\angle BEC = 26^{\circ}$，所以$\angle AEB=2×26^{\circ}=52^{\circ}$，即$\angle AOC = 52^{\circ}$。
2. （2）
解：因为$OC = OA$，所以$\angle A=\angle OCA$。
已知$\angle CEA=\angle A$，所以$\angle CEA=\angle OCA$。
因为$OC// BE$，所以$\angle CEB=\angle OCE$。
又因为$\angle AEB = 2\angle CEB$，$\angle AOC=\angle AEB$，$\angle AOC = 2\angle OCA$，$\angle CEA=\angle OCA$，所以$\angle AEB = 2\angle CEA$。
因为$\angle ABE = 90^{\circ}$，所以$\angle AEB+\angle A = 90^{\circ}$，设$\angle CEA=\angle A = x$，则$\angle AEB = 2x$，可得$2x + x=90^{\circ}$，解得$x = 30^{\circ}$，即$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle AEB = 60^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABE$中，$\angle A = 30^{\circ}$，$AE$为斜边，$BE=\frac{1}{2}AE$（在直角三角形中，如果一个锐角等于$30^{\circ}$，那么它所对的直角边等于斜边的一半）。
因为$OC// BE$，$OA = OE$，所以$AD = BD$，则$OC$是$\triangle ABE$的中位线，所以$BE = 2OD$，$AE = 2BE$。
又因为$\angle CEA=\angle A$，$\angle ABE=\angle EDC = 90^{\circ}$，所以$\triangle ABE\sim\triangle CDE$（两角分别相等的两个三角形相似）。
因为$OC// BE$，所以$\frac{CD}{OD}=\frac{CE}{BE}$，且$OC = OE$，设$\odot O$半径为$r$，则$AE = 2r$，$BE = r$。
在$Rt\triangle CDE$中，$\angle CEA = 30^{\circ}$，$EC = 6$，所以$CD=\frac{1}{2}EC = 3$（在直角三角形中，如果一个锐角等于$30^{\circ}$，那么它所对的直角边等于斜边的一半）。
根据勾股定理$DE=\sqrt{EC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}} = 3\sqrt{3}$。
因为$\triangle ABE\sim\triangle CDE$，$\frac{AE}{CE}=\frac{BE}{DE}$，即$\frac{2r}{6}=\frac{r}{3\sqrt{3}}$（此方法较复杂，换一种方法）。
因为$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle ABE = 90^{\circ}$，$BE = EC = 6$（等角对等边，$\angle CEB=\angle CEA = 30^{\circ}$），所以$AE = 2BE=12$。
则$\odot O$的半径$r=\frac{AE}{2}=6$。
综上，（1）$\angle AOC$的度数为$52^{\circ}$；（2）$\odot O$的半径为$6$。
