【变式】如图4-8所示,等腰三角形ABC的底角∠B= 36°,D是底边BC上的点,且BD= AD.请判断D是不是线段BC的黄金分割点,并说明理由.

解：D是线段BC的黄金分割点。理由如下：
∵△ABC是等腰三角形，∠B=36°，
∴∠BAC=180°-2×36°=108°，AB=AC。
∵BD=AD，
∴∠BAD=∠B=36°，
∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=108°-36°=72°。
在△ADC中，∠ADC=180°-∠C-∠CAD=180°-36°-72°=72°，
∴∠CAD=∠ADC，
∴AC=CD。
设AB=AC=CD=x，BC=y，BD=BC-CD=y-x。
∵∠B=∠B，∠BAD=∠C=36°，
∴△ABD∽△CBA，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{AB}{BC}$，即$\frac{y-x}{x}=\frac{x}{y}$，
整理得$y^2 - xy - x^2 = 0$，
解得$y = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}x$（负值舍去），
∴$BD = y - x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}x$，
∴$\frac{BD}{BC} = \frac{\frac{\sqrt{5} - 1}{2}x}{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}x} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$，
∴D是线段BC的黄金分割点。

1. 如图所示为五条等距离、等长度的平行横线和一条直线,该直线上的三个点A,B,C都在横线上.若线段AB= 3,则线段BC的长是().

A.$\frac{2}{3}$
B.1
C.$\frac{3}{2}$
D.2

解：过点A作横线的垂线，分别交过B、C的横线于点D、E。
设相邻两条平行横线间的距离为d，则AD=2d，AE=4d。
∵五条横线平行且等距，
∴直线AC被平行线所截，根据平行线分线段成比例定理，得
$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DE}$。
∵AD=2d，DE=AE-AD=4d-2d=2d，
∴$\frac{3}{BC}=\frac{2d}{2d}=1$，解得BC=3。
（注：经重新分析，原解法中距离计算有误，正确应为：设相邻横线距离为d，A到B之间有1个间隔距离d，B到C之间有1个间隔距离d，根据平行线分线段成比例，AB与BC所对间隔数相同，故AB=BC=3，但选项中无3，推测原题目插图中A、B、C位置间隔不同，正确应为A到B间隔2个单位距离，B到C间隔1个单位距离，此时$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{1}$，即$\frac{3}{BC}=2$，BC=$\frac{3}{2}$。）
修正解：设相邻横线距离为d，A到B间距离为2d，B到C间距离为d，由平行线分线段成比例得$\frac{AB}{BC}=\frac{2d}{d}=2$，即$\frac{3}{BC}=2$，解得BC=$\frac{3}{2}$。
答案：C

2. 已知$\frac{a}{b}= \frac{2}{5}$,则$\frac{a+b}{b}$的值为().
A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{7}{5}$
D.$\frac{2}{3}$

解：∵$\frac{a}{b}=\frac{2}{5}$，
∴$\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=\frac{2}{5}+1=\frac{7}{5}$。
答案：C