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1. (2025·宿迁)如图,正五边形ABCDE内接于$\odot O$,连接AC,则$∠ ACD$的度数为 (
A.$54°$
B.$60°$
C.$72°$
D.$82°$
C
)A.$54°$
B.$60°$
C.$72°$
D.$82°$
答案
1. C
解析
【分析】
要计算∠ACD的度数，可结合正五边形的性质推导：首先正五边形各边相等、各内角相等，先求出正五边形每个内角的度数；再利用AB=BC得到等腰△ABC，求出∠ACB的度数；最后用正五边形内角∠BCD减去∠ACB，即可得到∠ACD的度数。
【解析】
解：
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴正五边形的内角和为$(5-2)×180°=540°$，
每个内角的度数为$540°÷5=108°$，即$∠ ABC=∠ BCD=108°$，且$AB=BC$，
∴△ABC是等腰三角形，
∴$∠ ACB=(180°-∠ ABC)÷2=(180°-108°)÷2=36°$，
∴$∠ ACD=∠ BCD-∠ ACB=108°-36°=72°$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的性质；多边形内角和；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于正多边形与圆结合的基础题，解题核心是掌握正多边形内角的计算方法，结合等腰三角形的角度运算即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要计算∠ACD的度数，可结合正五边形的性质推导：首先正五边形各边相等、各内角相等，先求出正五边形每个内角的度数；再利用AB=BC得到等腰△ABC，求出∠ACB的度数；最后用正五边形内角∠BCD减去∠ACB，即可得到∠ACD的度数。
【解析】
解：
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴正五边形的内角和为$(5-2)×180°=540°$，
每个内角的度数为$540°÷5=108°$，即$∠ ABC=∠ BCD=108°$，且$AB=BC$，
∴△ABC是等腰三角形，
∴$∠ ACB=(180°-∠ ABC)÷2=(180°-108°)÷2=36°$，
∴$∠ ACD=∠ BCD-∠ ACB=108°-36°=72°$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的性质；多边形内角和；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于正多边形与圆结合的基础题，解题核心是掌握正多边形内角的计算方法，结合等腰三角形的角度运算即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2. (2024·呼和浩特)如图,正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于$\odot O$,AD和EF相交于点M,则$∠ AMF$的度数为（
A.$26°$
B.$27°$
C.$28°$
D.$30°$
B
）A.$26°$
B.$27°$
C.$28°$
D.$30°$
答案
2. B
解析
【分析】
要计算∠AMF的度数，可利用正多边形与圆的性质结合圆内角的计算规律求解：第一步，先根据正n边形的中心角公式（中心角=360°÷n），分别算出正四边形、正五边形每条边对应的圆心角（即对应弧的度数）；第二步，确定∠AMF作为圆内角所夹的两段弧的度数；第三步，根据“圆内角的度数等于它所夹两段弧度数之和的一半”计算∠AMF的度数即可。
【解析】
解：
∵正四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴正四边形的中心角为$360° ÷ 4 = 90°$，即弧$CD$的度数为$90°$，正四边形的对角线为直径，故弧$AC$的度数为$180°$。
∵正五边形$CEFGH$内接于$\odot O$，
∴正五边形的中心角为$360° ÷ 5 =72°$，即弧$CE$、弧$EF$的度数均为$72°$。
∴弧$CF$的度数为$72° +72° =144°$，弧$AF$的度数为$180° - 144° =36°$；
弧$DE$的度数为$90° -72° =18°$。
∵$∠ AMF$是圆内角，其度数等于所夹两段弧度数之和的一半，
∴$∠ AMF = \frac{1}{2} × (36° +18°) = 27°$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆，圆心角计算，圆内角计算
【点评】
本题将正多边形的性质和圆的角度计算结合，解题的关键是熟练掌握正多边形中心角与对应弧的度数的关系，准确找到所求角对应的弧的度数，属于常规的综合类基础题。
【难度系数】
0.7
要计算∠AMF的度数，可利用正多边形与圆的性质结合圆内角的计算规律求解：第一步，先根据正n边形的中心角公式（中心角=360°÷n），分别算出正四边形、正五边形每条边对应的圆心角（即对应弧的度数）；第二步，确定∠AMF作为圆内角所夹的两段弧的度数；第三步，根据“圆内角的度数等于它所夹两段弧度数之和的一半”计算∠AMF的度数即可。
【解析】
解：
∵正四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴正四边形的中心角为$360° ÷ 4 = 90°$，即弧$CD$的度数为$90°$，正四边形的对角线为直径，故弧$AC$的度数为$180°$。
∵正五边形$CEFGH$内接于$\odot O$，
∴正五边形的中心角为$360° ÷ 5 =72°$，即弧$CE$、弧$EF$的度数均为$72°$。
∴弧$CF$的度数为$72° +72° =144°$，弧$AF$的度数为$180° - 144° =36°$；
弧$DE$的度数为$90° -72° =18°$。
∵$∠ AMF$是圆内角，其度数等于所夹两段弧度数之和的一半，
∴$∠ AMF = \frac{1}{2} × (36° +18°) = 27°$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆，圆心角计算，圆内角计算
【点评】
本题将正多边形的性质和圆的角度计算结合，解题的关键是熟练掌握正多边形中心角与对应弧的度数的关系，准确找到所求角对应的弧的度数，属于常规的综合类基础题。
【难度系数】
0.7
3. (2024·青岛)为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形ABCDE和正方形CDFG中，CF，DG的延长线分别交AE，AB于点M，N，则∠FME的度数是（
A.$90°$
B.$99°$
C.$108°$
D.$135°$
B
）A.$90°$
B.$99°$
C.$108°$
D.$135°$
答案
3. B
解析
【分析】
要计算∠FME的度数，首先需先求出正五边形的内角度数、正方形对角线与边的夹角度数，再借助四边形内角和为$360°$的性质代入计算即可。首先利用正$n$边形内角公式算出正五边形每个内角的度数，再根据正方形对角线平分内角的性质得到对角线与边的夹角为$45°$，最后找到包含∠FME的四边形，利用内角和公式求解。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数
正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角的度数为$\frac{540°}{5}=108°$，即$∠ CDE=∠ E=108°$。
2. 计算正方形对角线与边的夹角
正方形CDFG中，对角线CF平分直角$∠ FCD$，因此$∠ DCF=\frac{90°}{2}=45°$。
3. 利用四边形内角和计算∠FME
四边形CDEM的内角和为$360°$，其中$∠ CME$即所求的$∠ FME$，因此：
$∠ FME=360°-∠ DCF-∠ CDE-∠ E$
代入数值得：
$∠ FME=360°-45°-108°-108°=99°$
【答案】
B
【知识点】
正多边形的内角、正方形的性质、四边形内角和
【点评】
本题结合正五边形和正方形的性质考查角度计算，解题关键是熟练掌握正多边形内角的计算方法，以及正方形对角线的角度特征，结合多边形内角和公式即可求解。
【难度系数】
0.7
要计算∠FME的度数，首先需先求出正五边形的内角度数、正方形对角线与边的夹角度数，再借助四边形内角和为$360°$的性质代入计算即可。首先利用正$n$边形内角公式算出正五边形每个内角的度数，再根据正方形对角线平分内角的性质得到对角线与边的夹角为$45°$，最后找到包含∠FME的四边形，利用内角和公式求解。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数
正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角的度数为$\frac{540°}{5}=108°$，即$∠ CDE=∠ E=108°$。
2. 计算正方形对角线与边的夹角
正方形CDFG中，对角线CF平分直角$∠ FCD$，因此$∠ DCF=\frac{90°}{2}=45°$。
3. 利用四边形内角和计算∠FME
四边形CDEM的内角和为$360°$，其中$∠ CME$即所求的$∠ FME$，因此：
$∠ FME=360°-∠ DCF-∠ CDE-∠ E$
代入数值得：
$∠ FME=360°-45°-108°-108°=99°$
【答案】
B
【知识点】
正多边形的内角、正方形的性质、四边形内角和
【点评】
本题结合正五边形和正方形的性质考查角度计算，解题关键是熟练掌握正多边形内角的计算方法，以及正方形对角线的角度特征，结合多边形内角和公式即可求解。
【难度系数】
0.7
4. 如图，正五边形ABCDE内接于$\odot O$，点P为DE上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC，PD，$DG⊥ PC$，垂足为G，$∠ PDG$等于
54
°。答案
4. 54
解析
【分析】
解题思路可分三步：第一步，先根据正五边形内接于圆的性质，求出弧CD对应的度数；第二步，利用圆周角定理，求出∠CPD的度数；第三步，结合DG⊥PC得到直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠PDG的度数。
【解析】
∵正五边形ABCDE内接于$\odot O$，
∴$\odot O$被五边形的顶点平均分成5等份，每段弧的度数为$360°÷5=72°$，即$\overset{\frown}{CD}$的度数为$72°$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得$∠ CPD=\frac{1}{2}×72°=36°$。
∵$DG⊥ PC$，
∴$∠ DGP=90°$，
在$Rt△ DGP$中，$∠ PDG + ∠ CPD=90°$，
∴$∠ PDG=90° - 36°=54°$。
【答案】
54
【知识点】
正多边形与圆的性质、圆周角定理、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是正多边形与圆结合的基础题，解题的核心是利用正多边形等分圆周的性质得到对应弧的度数，再结合圆周角定理和直角三角形的性质计算，解题时需准确找到圆周角对应的弧。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步：第一步，先根据正五边形内接于圆的性质，求出弧CD对应的度数；第二步，利用圆周角定理，求出∠CPD的度数；第三步，结合DG⊥PC得到直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠PDG的度数。
【解析】
∵正五边形ABCDE内接于$\odot O$，
∴$\odot O$被五边形的顶点平均分成5等份，每段弧的度数为$360°÷5=72°$，即$\overset{\frown}{CD}$的度数为$72°$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得$∠ CPD=\frac{1}{2}×72°=36°$。
∵$DG⊥ PC$，
∴$∠ DGP=90°$，
在$Rt△ DGP$中，$∠ PDG + ∠ CPD=90°$，
∴$∠ PDG=90° - 36°=54°$。
【答案】
54
【知识点】
正多边形与圆的性质、圆周角定理、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是正多边形与圆结合的基础题，解题的核心是利用正多边形等分圆周的性质得到对应弧的度数，再结合圆周角定理和直角三角形的性质计算，解题时需准确找到圆周角对应的弧。
【难度系数】
0.7
5. (2024·广元)点F是正五边形ABCDE边DE的中点,连接BF并延长与CD延长线交于点G,则∠BGC的度数为
18°
.答案
5. 18°
解析
【分析】
要计算∠BGC的度数，可按以下思路逐步推导：第一步，先利用正多边形内角和公式求出正五边形每个内角的度数；第二步，结合F是DE中点的条件，通过角的等量关系证明△BEF和△GDF全等，得到边的等量关系；第三步，利用正五边形对角线相等的性质，得到等腰△BDG，再结合等腰△BCD的底角度数，利用三角形外角定理即可求出∠BGC的度数。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：
正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角的度数为$540°÷5=108°$，即$∠ A=∠ C=∠ CDE=∠ AED=108°$，且$AB=BC=CD=DE=EA$，正五边形对角线长度相等，即$BE=BD$。
2. 求$∠ BEF$和$∠ GDF$的度数：
在等腰$△ ABE$中，$AB=AE$，$∠ A=108°$，因此底角$∠ AEB=\frac{180°-108°}{2}=36°$，可得$∠ BEF=∠ AED-∠ AEB=108°-36°=72°$。
$∠ GDF$是$∠ CDE$的邻补角，因此$∠ GDF=180°-108°=72°$，即$∠ BEF=∠ GDF$。
3. 证明三角形全等：
因为F是DE中点，所以$EF=DF$，又$∠ BFE=∠ GFD$（对顶角相等），因此$△ BEF≌△ GDF$（ASA），可得$BE=DG$。
4. 结合等腰性质和外角定理求角度：
由$BE=BD$、$BE=DG$，得$BD=DG$，因此$△ BDG$是等腰三角形，$∠ DBG=∠ BGC$。
在等腰$△ BCD$中，$BC=CD$，$∠ C=108°$，因此底角$∠ CDB=\frac{180°-108°}{2}=36°$。
$∠ CDB$是$△ BDG$的外角，根据三角形外角定理，$∠ CDB=∠ DBG+∠ BGC=2∠ BGC$，因此$2∠ BGC=36°$，解得$∠ BGC=18°$。
【答案】
$18°$
【知识点】
正多边形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查了正五边形的基本性质、全等三角形的判定以及等腰三角形和三角形外角的相关知识，解题的关键是熟练掌握正五边形内角、对角线的性质，通过全等转化边的等量关系，再结合三角形外角定理求解。
【难度系数】
0.6
要计算∠BGC的度数，可按以下思路逐步推导：第一步，先利用正多边形内角和公式求出正五边形每个内角的度数；第二步，结合F是DE中点的条件，通过角的等量关系证明△BEF和△GDF全等，得到边的等量关系；第三步，利用正五边形对角线相等的性质，得到等腰△BDG，再结合等腰△BCD的底角度数，利用三角形外角定理即可求出∠BGC的度数。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：
正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角的度数为$540°÷5=108°$，即$∠ A=∠ C=∠ CDE=∠ AED=108°$，且$AB=BC=CD=DE=EA$，正五边形对角线长度相等，即$BE=BD$。
2. 求$∠ BEF$和$∠ GDF$的度数：
在等腰$△ ABE$中，$AB=AE$，$∠ A=108°$，因此底角$∠ AEB=\frac{180°-108°}{2}=36°$，可得$∠ BEF=∠ AED-∠ AEB=108°-36°=72°$。
$∠ GDF$是$∠ CDE$的邻补角，因此$∠ GDF=180°-108°=72°$，即$∠ BEF=∠ GDF$。
3. 证明三角形全等：
因为F是DE中点，所以$EF=DF$，又$∠ BFE=∠ GFD$（对顶角相等），因此$△ BEF≌△ GDF$（ASA），可得$BE=DG$。
4. 结合等腰性质和外角定理求角度：
由$BE=BD$、$BE=DG$，得$BD=DG$，因此$△ BDG$是等腰三角形，$∠ DBG=∠ BGC$。
在等腰$△ BCD$中，$BC=CD$，$∠ C=108°$，因此底角$∠ CDB=\frac{180°-108°}{2}=36°$。
$∠ CDB$是$△ BDG$的外角，根据三角形外角定理，$∠ CDB=∠ DBG+∠ BGC=2∠ BGC$，因此$2∠ BGC=36°$，解得$∠ BGC=18°$。
【答案】
$18°$
【知识点】
正多边形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查了正五边形的基本性质、全等三角形的判定以及等腰三角形和三角形外角的相关知识，解题的关键是熟练掌握正五边形内角、对角线的性质，通过全等转化边的等量关系，再结合三角形外角定理求解。
【难度系数】
0.6
6. 如图，$\odot O$与正六边形ABCDEF的边CD，EF分别相切于点C，F.若AB=2，则$\odot O$的半径长为
$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
.答案
6. $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
解析
【分析】
解题时我们按以下思路推导：1. 先利用切线的性质，连接切点与圆心OC、OF，可得OC⊥CD，OF⊥EF，OC、OF均为⊙O的半径；2. 结合正六边形的性质，正六边形各内角为120°、各边相等，先求出线段FC的长度；3. 再通过五边形内角和求出圆心角∠COF的度数，利用等腰三角形三线合一构造直角三角形，通过解直角三角形即可求出半径长度。
【解析】
设⊙O的半径为$r$，连接OC、OF、FC，过点O作$OH⊥ FC$于点H。
1. 由切线性质得：$OC⊥ CD$，$OF⊥ EF$，$OC=OF=r$。
2. 正六边形内角和为$(6-2)×180°=720°$，故每个内角为$720°÷6=120°$，且各边相等，已知$AB=2$，故$AF=AB=BC=2$。
3. 计算FC的长度：
连接AC，在$△ ABC$中，$AB=BC=2$，$∠ ABC=120°$，故$∠ BAC=\frac{180°-120°}{2}=30°$，过B作$BM⊥ AC$于M，由三角函数得$AM=AB·\cos30°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，故$AC=2AM=2\sqrt{3}$。
又$∠ FAB=120°$，故$∠ FAC=∠ FAB-∠ BAC=120°-30°=90°$，在$Rt△ FAC$中，由勾股定理得$FC=\sqrt{AF^2+AC^2}=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{16}=4$。
4. 计算$∠ COF$的度数：
五边形OCDEF的内角和为$(5-2)×180°=540°$，其中$∠ OCD=∠ OFE=90°$，$∠ D=∠ E=120°$，故$∠ COF=540°-90°-90°-120°-120°=120°$。
5. 解直角三角形求半径：
因为$OC=OF=r$，$OH⊥ FC$，由等腰三角形三线合一得$FH=\frac{FC}{2}=2$，$∠ FOH=\frac{120°}{2}=60°$。
在$Rt△ FOH$中，$\sin∠ FOH=\frac{FH}{OF}$，即$\sin60°=\frac{2}{r}$，解得$r=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
切线的性质，正多边形的性质，解直角三角形
【点评】
本题综合了正多边形、圆的切线和解直角三角形的相关知识，解题的关键是正确作出辅助线，通过正六边形的性质求出线段FC的长度，再结合圆心角与半径的关系建立等式求解。
【难度系数】
0.6
解题时我们按以下思路推导：1. 先利用切线的性质，连接切点与圆心OC、OF，可得OC⊥CD，OF⊥EF，OC、OF均为⊙O的半径；2. 结合正六边形的性质，正六边形各内角为120°、各边相等，先求出线段FC的长度；3. 再通过五边形内角和求出圆心角∠COF的度数，利用等腰三角形三线合一构造直角三角形，通过解直角三角形即可求出半径长度。
【解析】
设⊙O的半径为$r$，连接OC、OF、FC，过点O作$OH⊥ FC$于点H。
1. 由切线性质得：$OC⊥ CD$，$OF⊥ EF$，$OC=OF=r$。
2. 正六边形内角和为$(6-2)×180°=720°$，故每个内角为$720°÷6=120°$，且各边相等，已知$AB=2$，故$AF=AB=BC=2$。
3. 计算FC的长度：
连接AC，在$△ ABC$中，$AB=BC=2$，$∠ ABC=120°$，故$∠ BAC=\frac{180°-120°}{2}=30°$，过B作$BM⊥ AC$于M，由三角函数得$AM=AB·\cos30°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，故$AC=2AM=2\sqrt{3}$。
又$∠ FAB=120°$，故$∠ FAC=∠ FAB-∠ BAC=120°-30°=90°$，在$Rt△ FAC$中，由勾股定理得$FC=\sqrt{AF^2+AC^2}=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{16}=4$。
4. 计算$∠ COF$的度数：
五边形OCDEF的内角和为$(5-2)×180°=540°$，其中$∠ OCD=∠ OFE=90°$，$∠ D=∠ E=120°$，故$∠ COF=540°-90°-90°-120°-120°=120°$。
5. 解直角三角形求半径：
因为$OC=OF=r$，$OH⊥ FC$，由等腰三角形三线合一得$FH=\frac{FC}{2}=2$，$∠ FOH=\frac{120°}{2}=60°$。
在$Rt△ FOH$中，$\sin∠ FOH=\frac{FH}{OF}$，即$\sin60°=\frac{2}{r}$，解得$r=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
切线的性质，正多边形的性质，解直角三角形
【点评】
本题综合了正多边形、圆的切线和解直角三角形的相关知识，解题的关键是正确作出辅助线，通过正六边形的性质求出线段FC的长度，再结合圆心角与半径的关系建立等式求解。
【难度系数】
0.6
7.如图,正八边形的边长为2,对角线AB,CD相交于点E.则线段BE的长为
$2+\sqrt{2}$
.答案
7. $2+\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时首先根据正多边形内角和公式计算正八边形的每个内角度数，结合图形特征判断出△ACE为等腰直角三角形，利用特殊角的三角函数值求出AE的长度；再根据正八边形的对称性求出对角线AB的总长度，最后用AB的长度减去AE的长度即可得到BE的长。
【解析】
1. 计算正八边形的每个内角：
正八边形内角和为$(8-2)×180°=1080°$，因此每个内角的度数为$1080°÷8=135°$。
2. 分析△ACE的形状：
由图可知$AB⊥ CD$，因此$∠ CAE=∠ ACD=135°-90°=45°$，故△ACE是等腰直角三角形，且正八边形边长$AC=2$。
3. 求AE的长度：
在$Rt△ ACE$中，$AE=AC·\cos45°=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$。
4. 求AB的长度：
根据正八边形的对称性，AB的长度等于AE的长 + 正八边形边长 + 右侧与AE等长的线段，即$AB=\sqrt{2}+2+\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}$。
5. 计算BE的长：
$BE=AB-AE=(2+2\sqrt{2})-\sqrt{2}=2+\sqrt{2}$。
【答案】
$2+\sqrt{2}$
【知识点】
正多边形的性质，等腰直角三角形的性质，特殊角的三角函数值
【点评】
本题考查正多边形相关线段的计算，解题的关键是结合正八边形的内角特征识别出等腰直角三角形，再利用对称性和三角函数计算线段长度，是正多边形与圆章节的典型基础应用题型。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据正多边形内角和公式计算正八边形的每个内角度数，结合图形特征判断出△ACE为等腰直角三角形，利用特殊角的三角函数值求出AE的长度；再根据正八边形的对称性求出对角线AB的总长度，最后用AB的长度减去AE的长度即可得到BE的长。
【解析】
1. 计算正八边形的每个内角：
正八边形内角和为$(8-2)×180°=1080°$，因此每个内角的度数为$1080°÷8=135°$。
2. 分析△ACE的形状：
由图可知$AB⊥ CD$，因此$∠ CAE=∠ ACD=135°-90°=45°$，故△ACE是等腰直角三角形，且正八边形边长$AC=2$。
3. 求AE的长度：
在$Rt△ ACE$中，$AE=AC·\cos45°=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$。
4. 求AB的长度：
根据正八边形的对称性，AB的长度等于AE的长 + 正八边形边长 + 右侧与AE等长的线段，即$AB=\sqrt{2}+2+\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}$。
5. 计算BE的长：
$BE=AB-AE=(2+2\sqrt{2})-\sqrt{2}=2+\sqrt{2}$。
【答案】
$2+\sqrt{2}$
【知识点】
正多边形的性质，等腰直角三角形的性质，特殊角的三角函数值
【点评】
本题考查正多边形相关线段的计算，解题的关键是结合正八边形的内角特征识别出等腰直角三角形，再利用对称性和三角函数计算线段长度，是正多边形与圆章节的典型基础应用题型。
【难度系数】
0.6
8. 如图,在边长为2的正八边形中,把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD,则四边形ABCD的周长是
$8+8\sqrt{2}$
.答案
8. $8+8\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时首先明确正八边形的内角特征，判断截去的四个三角形的形状，再确定四边形ABCD的形状，最后结合勾股定理计算边长进而求周长：①先计算正八边形的内角度数，可得截去的三角形均为等腰直角三角形；②由正八边形边长为2，利用勾股定理求出等腰直角三角形的直角边长；③判断四边形ABCD是正方形，计算其边长后乘以4即可得到周长。
【解析】
1. 计算正八边形的内角：正多边形内角和公式为$(n-2)×180°$，正八边形的内角和为$(8-2)×180°=1080°$，因此每个内角为$1080°÷8=135°$。
2. 判断截去的三角形形状：正八边形相邻两个内角的外角为$180°-135°=45°$，因此四个角截去的三角形都是等腰直角三角形，且斜边长等于正八边形的边长2。
3. 求等腰直角三角形的直角边长：设直角边长为$x$，由勾股定理得$x^2+x^2=2^2$，解得$x=\sqrt{2}$（边长为正，舍去负解）。
4. 判断四边形ABCD的形状：四边形ABCD的四个内角均为$90°$，且四条边长度相等，是正方形，其边长为$\sqrt{2}+2+\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}$。
5. 计算周长：正方形周长$=4×$边长$=4×(2+2\sqrt{2})=8+8\sqrt{2}$。
【答案】
$8+8\sqrt{2}$
【知识点】
正多边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题核心是利用正八边形的内角特征推导边角关系，解题的突破口是判断出截去的图形为等腰直角三角形、外围四边形为正方形，能够很好地考查对正多边形性质和特殊三角形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
解题时首先明确正八边形的内角特征，判断截去的四个三角形的形状，再确定四边形ABCD的形状，最后结合勾股定理计算边长进而求周长：①先计算正八边形的内角度数，可得截去的三角形均为等腰直角三角形；②由正八边形边长为2，利用勾股定理求出等腰直角三角形的直角边长；③判断四边形ABCD是正方形，计算其边长后乘以4即可得到周长。
【解析】
1. 计算正八边形的内角：正多边形内角和公式为$(n-2)×180°$，正八边形的内角和为$(8-2)×180°=1080°$，因此每个内角为$1080°÷8=135°$。
2. 判断截去的三角形形状：正八边形相邻两个内角的外角为$180°-135°=45°$，因此四个角截去的三角形都是等腰直角三角形，且斜边长等于正八边形的边长2。
3. 求等腰直角三角形的直角边长：设直角边长为$x$，由勾股定理得$x^2+x^2=2^2$，解得$x=\sqrt{2}$（边长为正，舍去负解）。
4. 判断四边形ABCD的形状：四边形ABCD的四个内角均为$90°$，且四条边长度相等，是正方形，其边长为$\sqrt{2}+2+\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}$。
5. 计算周长：正方形周长$=4×$边长$=4×(2+2\sqrt{2})=8+8\sqrt{2}$。
【答案】
$8+8\sqrt{2}$
【知识点】
正多边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题核心是利用正八边形的内角特征推导边角关系，解题的突破口是判断出截去的图形为等腰直角三角形、外围四边形为正方形，能够很好地考查对正多边形性质和特殊三角形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
9. 如图，正方形ABCD的外接圆为$\odot O$，点P在劣弧$\overset{\frown}{CD}$上（不与C点重合）。
（1）求$∠ BPC$的度数；
（2）若$\odot O$的半径为8，求正方形ABCD的边长。
（1）求$∠ BPC$的度数；
（2）若$\odot O$的半径为8，求正方形ABCD的边长。
答案
9. (1) 连接OB,OC,
∵ 四边形ABCD为正方形,
∴∠BOC=90°,
∴∠BPC=$\frac{1}{2}$∠BOC=45°；(2) 过点O作OE⊥BC于点E,
∵ OB=OC,∠BOC=90°,
∴∠OBE=45°,
∴OE=BE,
∵OE²+BE²=OB²,
∴BE=$\sqrt{\frac{OB^2}{2}}$=$\sqrt{\frac{64}{2}}$=$4\sqrt{2}$,
∴BC=2BE=2×$4\sqrt{2}$=$8\sqrt{2}$.
∵ 四边形ABCD为正方形,
∴∠BOC=90°,
∴∠BPC=$\frac{1}{2}$∠BOC=45°；(2) 过点O作OE⊥BC于点E,
∵ OB=OC,∠BOC=90°,
∴∠OBE=45°,
∴OE=BE,
∵OE²+BE²=OB²,
∴BE=$\sqrt{\frac{OB^2}{2}}$=$\sqrt{\frac{64}{2}}$=$4\sqrt{2}$,
∴BC=2BE=2×$4\sqrt{2}$=$8\sqrt{2}$.
解析
【分析】
（1）要求∠BPC的度数，观察可知∠BPC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此只需要先求出$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角∠BOC的度数即可；已知ABCD是正方形，其外接圆的相邻顶点与圆心连线的夹角为$360°÷4=90°$，即可得到∠BOC的度数，进而算出∠BPC。
（2）求正方形的边长，已知外接圆半径为8，即OB=OC=8，△BOC是等腰直角三角形，可通过作垂线利用垂径定理结合勾股定理计算边长，也可直接在等腰直角△BOC中用勾股定理求解BC的长度。
【解析】
(1) 连接OB，OC，
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接正方形，
∴ $∠ BOC=\frac{360°}{4}=90°$，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ $∠ BPC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×90°=45°$。
(2) 过点O作$OE⊥ BC$于点E，
∵ OB=OC，$△ BOC$是等腰三角形，$OE⊥ BC$，
根据垂径定理，E为BC的中点，即$BC=2BE$，
又
∵ $∠ BOC=90°$，$OB=OC=8$，
∴ $∠ OBE=45°$，$△ OBE$为等腰直角三角形，即$OE=BE$，
在$Rt△ OBE$中，由勾股定理得：$OE^2+BE^2=OB^2$，
代入$OB=8$，$OE=BE$，得$2BE^2=8^2=64$，
解得$BE=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，
∴ $BC=2BE=2×4\sqrt{2}=8\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $∠ BPC=45°$；(2) 正方形ABCD的边长为$8\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题属于正多边形与圆结合的基础题，解题核心是利用正方形外接圆的性质得到特殊圆心角，再结合圆的相关定理和勾股定理求解，是圆章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.7
（1）要求∠BPC的度数，观察可知∠BPC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此只需要先求出$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角∠BOC的度数即可；已知ABCD是正方形，其外接圆的相邻顶点与圆心连线的夹角为$360°÷4=90°$，即可得到∠BOC的度数，进而算出∠BPC。
（2）求正方形的边长，已知外接圆半径为8，即OB=OC=8，△BOC是等腰直角三角形，可通过作垂线利用垂径定理结合勾股定理计算边长，也可直接在等腰直角△BOC中用勾股定理求解BC的长度。
【解析】
(1) 连接OB，OC，
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接正方形，
∴ $∠ BOC=\frac{360°}{4}=90°$，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ $∠ BPC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×90°=45°$。
(2) 过点O作$OE⊥ BC$于点E，
∵ OB=OC，$△ BOC$是等腰三角形，$OE⊥ BC$，
根据垂径定理，E为BC的中点，即$BC=2BE$，
又
∵ $∠ BOC=90°$，$OB=OC=8$，
∴ $∠ OBE=45°$，$△ OBE$为等腰直角三角形，即$OE=BE$，
在$Rt△ OBE$中，由勾股定理得：$OE^2+BE^2=OB^2$，
代入$OB=8$，$OE=BE$，得$2BE^2=8^2=64$，
解得$BE=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，
∴ $BC=2BE=2×4\sqrt{2}=8\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $∠ BPC=45°$；(2) 正方形ABCD的边长为$8\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题属于正多边形与圆结合的基础题，解题核心是利用正方形外接圆的性质得到特殊圆心角，再结合圆的相关定理和勾股定理求解，是圆章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.7
