4. 野营训练
下面的折线统计图表示的是李明骑自行车从甲地到乙地参加野营训练时行驶的路程与时间的关系。


(1)李明是( )时从甲地出发,( )时到达乙地的。甲、乙两地间的路程是( )千米。
(2)李明在中途停留了( )小时。
(3)李明在骑车行驶的最后30分钟走了多少千米？比他第一个30分钟走的路程多多少千米？
(4)李明从甲地到乙地的平均速度是多少？

【解析】：
(1) 观察折线统计图，起点对应的时间是7时，此时路程为0千米，所以李明7时从甲地出发；终点对应的时间是9时，路程为30千米，所以9时到达乙地，甲、乙两地间的路程是30千米。
(2) 折线水平的部分表示停留，从图中可以看出8时到8时30分（即8.5时）路程没有变化，停留时间为8.5 - 8 = 0.5小时。
(3) 最后30分钟即从8时30分到9时，这段时间路程从15千米增加到30千米，行驶的路程为30 - 15 = 15千米；第一个30分钟即从7时到7时30分，路程从0千米增加到10千米，行驶了10千米，所以最后30分钟比第一个30分钟多走15 - 10 = 5千米。
(4) 从甲地到乙地所用的总时间为9时 - 7时 = 2小时，总路程为30千米，根据平均速度 = 总路程÷总时间，可得平均速度为30÷2 = 15千米/小时。
【答案】：7，9，30；0.5；15，5；15千米/小时

把一张纸对折1次，可以得到2层；对折2次，可以得到4层；对折3次，可以得到8层。照这样下去：
1. 对折5次可以得到多少层？
2. 对折8次可以得到多少层？
3. 你发现层数与对折次数有什么关系？

【解析】：根据题意可知，对折1次得到2层，即$2^1$层；对折2次得到4层，即$2^2$层；对折3次得到8层，即$2^3$层。由此可发现规律：对折$n$次得到的层数为$2^n$层。
1. 对折5次时，层数为$2^5 = 32$层。
2. 对折8次时，层数为$2^8 = 256$层。
3. 层数与对折次数的关系是：对折$n$次，得到的层数是$2$的$n$次方层。
【答案】：1. 32；2. 256；3. 对折$n$次，层数是$2^n$层。

1. 一只蚂蚁,从正方体的A点沿着棱爬到B点,最近的路线有几条？

【解析】：
将正方体展开，使A点和B点在同一平面上，通过观察可以发现，从A点到B点的最短路径是沿着展开后的平面上的直线爬行。
正方体有3组相对的面，每组面都可以展开成平面。
对于每一组面，从A点到B点的最短路径都有2条（一条路径和它的对称路径）。
因此，总共有$3×2=6$（条）不同的最短路径。
【答案】：6

2. 奇怪的遗嘱
相传在非常遥远的古代,一位老人临终前,将3个儿子叫到床前立了一份遗嘱。遗嘱规定3个儿子分掉他的17头牛,但又规定：老大应得总数的$\frac{1}{2}$,老二应得总数的$\frac{1}{3}$,而老三只能得总数的$\frac{1}{9}$。
按照遗嘱的分法即使活活杀死2头牛,也无法将17头牛分完。怎么办呢？3个儿子请教了很多有学问的人,都想不出好方法。
一天,一个老农牵着一头牛,告诉3个儿子说：“这事其实很容易,我把这头牛借给你们,你们按总数的$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{3}$、$\frac{1}{9}$去分,分完后再把牛还给我。”
同学们,你们知道这里面的数学秘密吗？

【解析】：老人遗嘱中三个儿子分得的比例之和为$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9}$，计算可得$\frac{9}{18} + \frac{6}{18} + \frac{2}{18} = \frac{17}{18}$，并非整体“1”。老农借出1头牛后，牛的总数变为18头，此时按比例分配：老大分得$18×\frac{1}{2} = 9$头，老二分得$18×\frac{1}{3} = 6$头，老三分得$18×\frac{1}{9} = 2$头，三人共分得$9 + 6 + 2 = 17$头，恰好是老人留下的牛的总数，剩余1头牛归还老农。这里的秘密在于利用比例之和不为1的特点，借牛后凑成比例分母的公倍数（18是2、3、9的公倍数），使得分配后总数仍为17头，巧妙解决了无法整除的问题。
【答案】：遗嘱中三个儿子分得的比例之和为$\frac{17}{18}$，借1头牛后总数为18头，按比例分完17头牛后归还借的牛，利用比例和不为1及公倍数凑整解决了分配问题。