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1.小明房间的地面是一个正方形,现在要给这个房间铺地砖。无论选择边长是50厘米的正方形地砖,还是选择边长是60厘米的正方形地砖,都正好可以铺满。小明房间的地面面积至少是多少平方米?
答案
【解析】：本题可先求出$50$和$60$的最小公倍数，从而得到房间地面正方形的边长，再根据正方形面积公式求出房间地面面积。
- **步骤一：求$50$和$60$的最小公倍数**
求两个数的最小公倍数可以使用分解质因数的方法，先把这两个数分解质因数，再把它们公有的质因数和各自独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。
将$50$分解质因数可得$50 = 2×5×5$；将$60$分解质因数可得$60 = 2×2×3×5$。
$50$和$60$公有的质因数是$2$和$5$，$50$独有的质因数是$5$，$60$独有的质因数是$2$和$3$，所以$50$和$60$的最小公倍数为$2×2×3×5×5 = 300$，即房间地面正方形的边长至少是$300$厘米。
- **步骤二：计算房间地面的面积**
根据正方形的面积公式$S = a^2$（其中$S$表示正方形的面积，$a$表示正方形的边长），可得房间地面的面积为$300×300 = 90000$平方厘米。
因为$1$平方米$ = 10000$平方厘米，所以将$90000$平方厘米换算成平方米为$90000÷10000 = 9$平方米。
【答案】：$9$平方米
- **步骤一：求$50$和$60$的最小公倍数**
求两个数的最小公倍数可以使用分解质因数的方法，先把这两个数分解质因数，再把它们公有的质因数和各自独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。
将$50$分解质因数可得$50 = 2×5×5$；将$60$分解质因数可得$60 = 2×2×3×5$。
$50$和$60$公有的质因数是$2$和$5$，$50$独有的质因数是$5$，$60$独有的质因数是$2$和$3$，所以$50$和$60$的最小公倍数为$2×2×3×5×5 = 300$，即房间地面正方形的边长至少是$300$厘米。
- **步骤二：计算房间地面的面积**
根据正方形的面积公式$S = a^2$（其中$S$表示正方形的面积，$a$表示正方形的边长），可得房间地面的面积为$300×300 = 90000$平方厘米。
因为$1$平方米$ = 10000$平方厘米，所以将$90000$平方厘米换算成平方米为$90000÷10000 = 9$平方米。
【答案】：$9$平方米
2.活动课上,琪琪要用长是3厘米、宽是2厘米、高是2厘米的长方体木块拼搭一个正方体,她至少需要多少块这样的木块?拼搭成的正方体的表面积是多少平方厘米?
答案
【解析】：本题可先求出拼成正方体的棱长，再根据正方体棱长与长方体木块长、宽、高的关系求出所需木块的数量，最后根据正方体表面积公式求出拼搭成的正方体的表面积。
- **步骤一：求出拼成正方体的棱长**
要用长是$3$厘米、宽是$2$厘米、高是$2$厘米的长方体木块拼搭一个正方体，则正方体的棱长应是长方体长、宽、高的最小公倍数。
因为$2$和$3$互质，所以$2$、$2$、$3$的最小公倍数为$2×3 = 6$，即拼搭成的正方体的棱长是$6$厘米。
- **步骤二：计算至少需要多少块这样的木块**
分别用正方体的棱长除以长方体的长、宽、高，再将所得的商相乘，即可求出所需木块的数量。
正方体棱长是$6$厘米，长方体木块长是$3$厘米，则沿长需要的木块数为：$6÷3 = 2$（块）
正方体棱长是$6$厘米，长方体木块宽是$2$厘米，则沿宽需要的木块数为：$6÷2 = 3$（块）
正方体棱长是$6$厘米，长方体木块高是$2$厘米，则沿高需要的木块数为：$6÷2 = 3$（块）
所以至少需要的木块数为：$2×3×3 = 18$（块）
- **步骤三：计算拼搭成的正方体的表面积**
根据正方体表面积公式$S = 6a^2$（其中$S$为正方体表面积，$a$为正方体棱长），可得拼搭成的正方体的表面积为：
$6×6^2 = 6×36 = 216$（平方厘米）
【答案】：$18$块；$216$平方厘米
- **步骤一：求出拼成正方体的棱长**
要用长是$3$厘米、宽是$2$厘米、高是$2$厘米的长方体木块拼搭一个正方体，则正方体的棱长应是长方体长、宽、高的最小公倍数。
因为$2$和$3$互质，所以$2$、$2$、$3$的最小公倍数为$2×3 = 6$，即拼搭成的正方体的棱长是$6$厘米。
- **步骤二：计算至少需要多少块这样的木块**
分别用正方体的棱长除以长方体的长、宽、高，再将所得的商相乘，即可求出所需木块的数量。
正方体棱长是$6$厘米，长方体木块长是$3$厘米，则沿长需要的木块数为：$6÷3 = 2$（块）
正方体棱长是$6$厘米，长方体木块宽是$2$厘米，则沿宽需要的木块数为：$6÷2 = 3$（块）
正方体棱长是$6$厘米，长方体木块高是$2$厘米，则沿高需要的木块数为：$6÷2 = 3$（块）
所以至少需要的木块数为：$2×3×3 = 18$（块）
- **步骤三：计算拼搭成的正方体的表面积**
根据正方体表面积公式$S = 6a^2$（其中$S$为正方体表面积，$a$为正方体棱长），可得拼搭成的正方体的表面积为：
$6×6^2 = 6×36 = 216$（平方厘米）
【答案】：$18$块；$216$平方厘米
3.一块正方形铁板(如右图),从四个角分别剪下边长为2分米的正方形后,剩下的部分正好可以翻折焊接成一个正方体铁皮盒。(铁皮厚度忽略不计)
(1)这个铁皮盒的容积是多少立方分米?
(2)这个铁皮盒的表面积是多少平方分米?
(1)这个铁皮盒的容积是多少立方分米?
(2)这个铁皮盒的表面积是多少平方分米?
答案
【解析】：
(1) 因为从正方形铁板四个角剪下边长为$2$分米的正方形后能翻折焊接成正方体铁皮盒，所以这个正方体铁皮盒的棱长就是$2$分米。
根据正方体容积公式$V = a^{3}$（$a$为棱长），可得容积$V=2×2×2 = 8$（立方分米）。
(2) 这个铁皮盒是无盖的正方体（因为是从大正方形剪角后焊接而成），正方体表面积公式$S = 6a^{2}$（这里是$5$个面）。
则表面积$S = 2×2×5= 20$（平方分米）。
【答案】：
(1) $8$立方分米
(2) $20$平方分米
(1) 因为从正方形铁板四个角剪下边长为$2$分米的正方形后能翻折焊接成正方体铁皮盒，所以这个正方体铁皮盒的棱长就是$2$分米。
根据正方体容积公式$V = a^{3}$（$a$为棱长），可得容积$V=2×2×2 = 8$（立方分米）。
(2) 这个铁皮盒是无盖的正方体（因为是从大正方形剪角后焊接而成），正方体表面积公式$S = 6a^{2}$（这里是$5$个面）。
则表面积$S = 2×2×5= 20$（平方分米）。
【答案】：
(1) $8$立方分米
(2) $20$平方分米
李师傅有一块长方体木块,他只知道这个长方体木块的高、长、宽分别相差1分米,且体积为990立方分米。先求出这个长方体木块的高、长、宽各是多少分米,再求出它的表面积。
答案
【解析】：
设长方体木块的高为$x$分米，因为高、长、宽分别相差$1$分米，那么宽为$(x + 1)$分米，长为$(x + 2)$分米。
根据长方体的体积公式$V=长×宽×高$，可列出方程$x(x + 1)(x + 2)=990$。
因为$990=9×10×11$，所以$x = 9$，即高是$9$分米，那么宽是$9 + 1 = 10$分米，长是$9+2 = 11$分米。
再根据长方体表面积公式$S=(ab + ah+bh)×2$（其中$a$为长，$b$为宽，$h$为高），可得表面积为$(11×10 + 11×9+10×9)×2=(110 + 99 + 90)×2=(209+90)×2 = 299×2=598$平方分米。
【答案】：高是$9$分米，长是$11$分米，宽是$10$分米，表面积是$598$平方分米。
设长方体木块的高为$x$分米，因为高、长、宽分别相差$1$分米，那么宽为$(x + 1)$分米，长为$(x + 2)$分米。
根据长方体的体积公式$V=长×宽×高$，可列出方程$x(x + 1)(x + 2)=990$。
因为$990=9×10×11$，所以$x = 9$，即高是$9$分米，那么宽是$9 + 1 = 10$分米，长是$9+2 = 11$分米。
再根据长方体表面积公式$S=(ab + ah+bh)×2$（其中$a$为长，$b$为宽，$h$为高），可得表面积为$(11×10 + 11×9+10×9)×2=(110 + 99 + 90)×2=(209+90)×2 = 299×2=598$平方分米。
【答案】：高是$9$分米，长是$11$分米，宽是$10$分米，表面积是$598$平方分米。
