5. a 和 b 是直线上的两个点(如图),$ a × b = m $。下列图中能正确表示 m 点位置的是( )。
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
答案
B
6. 如下图,把一些长 3 厘米、宽 2 厘米的纸片按下图方式摆在桌面上,每增加 1 张纸片,盖住的桌面面积增加多少平方厘米？n 张纸片盖住的桌面面积是多少平方厘米？
答案
$2×(3 - 2)=2$（平方厘米） $3×2 + 2×(n - 1)=4 + 2n$ 每增加 $1$ 张纸片，盖住的桌面面积增加 $2$ 平方厘米。$n$ 张纸片盖住的桌面面积是 $(4 + 2n)$ 平方厘米。
解析
1张纸片盖住的面积：$3×2 = 6$（平方厘米）
2张纸片盖住的面积：$6 + 2×(3 - 2) = 6 + 2 = 8$（平方厘米）
每增加1张纸片增加的面积：$8 - 6 = 2$（平方厘米）
n张纸片盖住的面积：$6 + 2×(n - 1) = 2n + 4$（平方厘米）
每增加1张纸片，盖住的桌面面积增加2平方厘米。n张纸片盖住的桌面面积是$(2n + 4)$平方厘米。
2张纸片盖住的面积：$6 + 2×(3 - 2) = 6 + 2 = 8$（平方厘米）
每增加1张纸片增加的面积：$8 - 6 = 2$（平方厘米）
n张纸片盖住的面积：$6 + 2×(n - 1) = 2n + 4$（平方厘米）
每增加1张纸片，盖住的桌面面积增加2平方厘米。n张纸片盖住的桌面面积是$(2n + 4)$平方厘米。
7. $ 2 ^ { 2 } - 1 ^ { 2 } = 3 × 1 $ $ 3 ^ { 2 } - 2 ^ { 2 } = 5 × 1 $
$ 4 ^ { 2 } - 2 ^ { 2 } = 6 × 2 $ $ 6 ^ { 2 } - 3 ^ { 2 } = 9 × 3 $
……
(1)发现：$ a ^ { 2 } - b ^ { 2 } = $ 。
(2)可以怎样验证(1)中的发现？
$ 4 ^ { 2 } - 2 ^ { 2 } = 6 × 2 $ $ 6 ^ { 2 } - 3 ^ { 2 } = 9 × 3 $
……
(1)发现：$ a ^ { 2 } - b ^ { 2 } = $ 。
(2)可以怎样验证(1)中的发现？
答案
（1）$(a + b)(a - b)$ （2）如图，$a^{2}$ 表示边长是 $a$ 的正方形的面积，$b^{2}$ 表示边长是 $b$ 的小正方形的面积，则 $a^{2}-b^{2}$ 为涂色部分的面积。将③剪拼到②的右边，把涂色部分转化为一个长为 $(a + b)$，宽为 $(a - b)$ 的长方形，所以 $a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$。
8. 漏窗是中国传统园林建筑中一种装饰性的透空窗。下图是漏窗形成的图案。
(1)梳理：请补全表格。
|序号|第一种|第二种|第三种|第四种|第五种|…|
|灰色方格/个|5|8|11| | |…|
(2)应用：① 按照这样的规律排列,第十五种漏窗上使用了( )个灰色方格。
② 按照这样的规律排列,第 n 种漏窗上使用了( )个灰色方格。
(1)梳理：请补全表格。
|序号|第一种|第二种|第三种|第四种|第五种|…|
|灰色方格/个|5|8|11| | |…|
(2)应用：① 按照这样的规律排列,第十五种漏窗上使用了( )个灰色方格。
② 按照这样的规律排列,第 n 种漏窗上使用了( )个灰色方格。
答案
（1）$14$ $17$ （2）$47$ $3n + 2$
解析
(1)14；17
(2)①47
②3n+2
(2)①47
②3n+2
9. 如图,a,b,c,d,e 分别是 1～5 中的一个数,如果每个圆环内的数字之和都等于 k,那么 k 最大可以是( )。
A.5
B.6
C.7
D.8
A.5
B.6
C.7
D.8
答案
C 解析：根据题意可知，$3k=(a + b)+(b + c + d)+(d + e)=(a + b + c + d + e)+(b + d)$，因为 $a,b,c,d,e$ 分别是 $1～5$ 中的一个数，所以 $a + b + c + d + e=1 + 2 + 3 + 4 + 5=15$，$3k=b + d + 15$；因为 $3k$ 是 $3$ 的倍数，$15$ 是 $3$ 的倍数，所以 $b + d$ 也是 $3$ 的倍数；$1～5$ 中符合两个数相加为 $3$ 的倍数有 $3,6,9$；根据题意可知，$a + b=b + c + d=d + e$，如果 $b + d$ 最大为 $4 + 5=9$，则 $a + b$ 大于 $9$，$d + e$ 也大于 $9$，不符合 $a + b + c + d + e=15$；所以 $b + d$ 最大为 $6$，把 $6$ 代入 $b + d + 15$，可得 $3k$ 为 $21$，用 $21$ 除以 $3$ 即可求出 $k$。
10. 一个小数的整数部分和小数部分都是两位。十位上的数字是十分位上数字的 8 倍,百分位上的数字是四个数位上数字的平均数。这个小数可能是多少？
答案
这个小数可能是 $80.13$，$83.14$，$86.15$，$89.16$。
解析
解：设这个小数的十位数字为$a$，个位数字为$b$，十分位数字为$c$，百分位数字为$d$，则该小数表示为$10a + b + 0.1c + 0.01d$。
由题意得：
1. $a = 8c$（$a$、$c$为整数，且$a$是十位数字，$1 \leq a \leq 9$；$c$是十分位数字，$0 \leq c \leq 9$）
因为$a = 8c$，所以$c$只能为$1$（$c=0$时$a=0$不符合十位数字要求），则$a = 8$。
2. $d = \frac{a + b + c + d}{4}$，化简得$4d = a + b + c + d$，即$3d = a + b + c$。
把$a = 8$，$c = 1$代入得$3d = 8 + b + 1$，即$b = 3d - 9$。
因为$b$是个位数字（$0 \leq b \leq 9$），$d$是百分位数字（$0 \leq d \leq 9$），所以：
当$d = 3$时，$b = 3×3 - 9 = 0$，小数为$80.13$；
当$d = 4$时，$b = 3×4 - 9 = 3$，小数为$83.14$；
当$d = 5$时，$b = 3×5 - 9 = 6$，小数为$86.15$；
当$d = 6$时，$b = 3×6 - 9 = 9$，小数为$89.16$；
$d$取其他值时$b$不在$0 - 9$范围内，舍去。
答：这个小数可能是$80.13$，$83.14$，$86.15$，$89.16$。
由题意得：
1. $a = 8c$（$a$、$c$为整数，且$a$是十位数字，$1 \leq a \leq 9$；$c$是十分位数字，$0 \leq c \leq 9$）
因为$a = 8c$，所以$c$只能为$1$（$c=0$时$a=0$不符合十位数字要求），则$a = 8$。
2. $d = \frac{a + b + c + d}{4}$，化简得$4d = a + b + c + d$，即$3d = a + b + c$。
把$a = 8$，$c = 1$代入得$3d = 8 + b + 1$，即$b = 3d - 9$。
因为$b$是个位数字（$0 \leq b \leq 9$），$d$是百分位数字（$0 \leq d \leq 9$），所以：
当$d = 3$时，$b = 3×3 - 9 = 0$，小数为$80.13$；
当$d = 4$时，$b = 3×4 - 9 = 3$，小数为$83.14$；
当$d = 5$时，$b = 3×5 - 9 = 6$，小数为$86.15$；
当$d = 6$时，$b = 3×6 - 9 = 9$，小数为$89.16$；
$d$取其他值时$b$不在$0 - 9$范围内，舍去。
答：这个小数可能是$80.13$，$83.14$，$86.15$，$89.16$。
