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9. 记$x=(1+2)(1+2^{2})(1+2^{4})(1+2^{8})... (1+2^{256})$,则$x+1$是( )。
A. 一个奇数
B. 一个质数
C. 一个整数的平方
D. 一个整数的立方
A. 一个奇数
B. 一个质数
C. 一个整数的平方
D. 一个整数的立方
答案
C
10. (1)已知$x=\sqrt {3}+1$,求$x^{2}-2x-3$的值。
(2)已知$a^{2}+b^{2}=15,a-b=3$,求下列各式的值:
①$ab$;
②$(a+b)^{2}-5ab$。
(2)已知$a^{2}+b^{2}=15,a-b=3$,求下列各式的值:
①$ab$;
②$(a+b)^{2}-5ab$。
答案
【解析】：
(1)
先对$x^{2}-2x - 3$进行变形可得$x^{2}-2x - 3=(x^{2}-2x + 1)-4=(x - 1)^{2}-4$。
已知$x=\sqrt{3}+1$，将其代入$(x - 1)^{2}-4$中，$x-1=\sqrt{3}+1 - 1=\sqrt{3}$，则$(x - 1)^{2}-4=(\sqrt{3})^{2}-4=3 - 4=-1$。
(2)
①
已知$a - b = 3$，对$(a - b)^{2}$进行展开，根据完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$。
因为$(a - b)^{2}=3^{2}=9$，且$a^{2}+b^{2}=15$，所以$a^{2}-2ab + b^{2}=9$，即$15-2ab = 9$。
移项可得$-2ab=9 - 15=-6$，解得$ab = 3$。
②
先根据完全平方公式$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，已知$a^{2}+b^{2}=15$，$ab = 3$，则$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}=15+2\times3=15 + 6=21$。
把$(a + b)^{2}=21$，$ab = 3$代入$(a + b)^{2}-5ab$可得：$21-5\times3=21 - 15=6$。
【答案】：(1)$-1$；(2)①$3$；②$6$
(1)
先对$x^{2}-2x - 3$进行变形可得$x^{2}-2x - 3=(x^{2}-2x + 1)-4=(x - 1)^{2}-4$。
已知$x=\sqrt{3}+1$，将其代入$(x - 1)^{2}-4$中，$x-1=\sqrt{3}+1 - 1=\sqrt{3}$，则$(x - 1)^{2}-4=(\sqrt{3})^{2}-4=3 - 4=-1$。
(2)
①
已知$a - b = 3$，对$(a - b)^{2}$进行展开，根据完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$。
因为$(a - b)^{2}=3^{2}=9$，且$a^{2}+b^{2}=15$，所以$a^{2}-2ab + b^{2}=9$，即$15-2ab = 9$。
移项可得$-2ab=9 - 15=-6$，解得$ab = 3$。
②
先根据完全平方公式$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，已知$a^{2}+b^{2}=15$，$ab = 3$，则$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}=15+2\times3=15 + 6=21$。
把$(a + b)^{2}=21$，$ab = 3$代入$(a + b)^{2}-5ab$可得：$21-5\times3=21 - 15=6$。
【答案】：(1)$-1$；(2)①$3$；②$6$
11. 利用我们学过的知识,可以导出下面这个形式优美的等式:$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac=\frac {1}{2}[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}]$。该等式从左到右的变形,不仅保持了结构的对称性,还体现了数学的和谐、简洁美。
(1)请你验证这个等式的正确性。
(2)若$a=2020,b=2022,c=2024$,你能很快求出$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac$的值吗?
(1)请你验证这个等式的正确性。
(2)若$a=2020,b=2022,c=2024$,你能很快求出$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac$的值吗?
答案
【解析】：
(1) 验证等式的正确性，我们从等式右边开始化简：
$\begin{aligned}&\frac{1}{2}[(a - b)^{2}+(b - c)^{2}+(c - a)^{2}]\\=&\frac{1}{2}(a^{2}-2ab + b^{2}+b^{2}-2bc + c^{2}+c^{2}-2ac + a^{2})\\=&\frac{1}{2}(2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab - 2bc - 2ac)\\=&a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - bc - ac\end{aligned}$
所以等式$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - bc - ac=\frac{1}{2}[(a - b)^{2}+(b - c)^{2}+(c - a)^{2}]$是正确的。
(2) 已知$a = 2020$，$b = 2022$，$c = 2024$，则$a - b=2020 - 2022=-2$，$b - c=2022 - 2024=-2$，$c - a=2024 - 2020 = 4$。
将其代入$\frac{1}{2}[(a - b)^{2}+(b - c)^{2}+(c - a)^{2}]$可得：
$\begin{aligned}&\frac{1}{2}[(-2)^{2}+(-2)^{2}+4^{2}]\\=&\frac{1}{2}(4 + 4+16)\\=&\frac{1}{2}\times24\\=&12\end{aligned}$
【答案】：(1) 验证过程见解析；(2) 12
(1) 验证等式的正确性，我们从等式右边开始化简：
$\begin{aligned}&\frac{1}{2}[(a - b)^{2}+(b - c)^{2}+(c - a)^{2}]\\=&\frac{1}{2}(a^{2}-2ab + b^{2}+b^{2}-2bc + c^{2}+c^{2}-2ac + a^{2})\\=&\frac{1}{2}(2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab - 2bc - 2ac)\\=&a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - bc - ac\end{aligned}$
所以等式$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - bc - ac=\frac{1}{2}[(a - b)^{2}+(b - c)^{2}+(c - a)^{2}]$是正确的。
(2) 已知$a = 2020$，$b = 2022$，$c = 2024$，则$a - b=2020 - 2022=-2$，$b - c=2022 - 2024=-2$，$c - a=2024 - 2020 = 4$。
将其代入$\frac{1}{2}[(a - b)^{2}+(b - c)^{2}+(c - a)^{2}]$可得：
$\begin{aligned}&\frac{1}{2}[(-2)^{2}+(-2)^{2}+4^{2}]\\=&\frac{1}{2}(4 + 4+16)\\=&\frac{1}{2}\times24\\=&12\end{aligned}$
【答案】：(1) 验证过程见解析；(2) 12
李刚同学在计算$12^{2}$和$89^{2}$时,探究“两位数的平方”有无简捷的计算方法,他经过探索并用计算器验证,再用数学知识解释,得出“两位数的平方”可用“竖式计算法”进行计算,如右下图。
计算$12^{2}$时,第一行的“01”和“04”分别是十位数和个位数的平方,各占两个位置,其结果不够两位的就在“十位”位置上放上“0”,再把它们并排排列;第二行的“04”为十位数与个位数积的2倍,占两个位置,其结果不够两位的就在“十位”位置上放上“0”,再把它们按竖式相加就得到了$12^{2}=144$。
计算$89^{2}$时,其中第一行的“64”和“81”分别是十位数和个位数的平方,各占两个位置,再把它们并排排列;第二行的“144”为十位数和个位数积的2倍,再把它们按竖式相加就得到了$89^{2}=7921$。
(1)请用上述方法计算$75^{2}$和$68^{2}$(写出“竖式计算”过程);
(2)请你用数学知识解释这种“两位数平方的竖式计算法”的合理性。
$\begin{array}{r} 12^{2}=144\\ 0104\\ +04\\ \hline 144\end{array}$
$\begin{array}{r} 89^{2}=7921\\ 6481\\ +144\\ \hline 7921\end{array}$
计算$12^{2}$时,第一行的“01”和“04”分别是十位数和个位数的平方,各占两个位置,其结果不够两位的就在“十位”位置上放上“0”,再把它们并排排列;第二行的“04”为十位数与个位数积的2倍,占两个位置,其结果不够两位的就在“十位”位置上放上“0”,再把它们按竖式相加就得到了$12^{2}=144$。
计算$89^{2}$时,其中第一行的“64”和“81”分别是十位数和个位数的平方,各占两个位置,再把它们并排排列;第二行的“144”为十位数和个位数积的2倍,再把它们按竖式相加就得到了$89^{2}=7921$。
(1)请用上述方法计算$75^{2}$和$68^{2}$(写出“竖式计算”过程);
(2)请你用数学知识解释这种“两位数平方的竖式计算法”的合理性。
$\begin{array}{r} 12^{2}=144\\ 0104\\ +04\\ \hline 144\end{array}$
$\begin{array}{r} 89^{2}=7921\\ 6481\\ +144\\ \hline 7921\end{array}$
答案
【解析】：
### $(1)$ 计算$75^{2}$和$68^{2}$
计算$75^{2}$：
第一行：十位数$7$的平方是$49$，个位数$5$的平方是$25$，并排排列为$4925$；
第二行：十位数与个位数积的$2$倍，$7\times5\times2 = 70$，按竖式相加：
$\begin{array}{r}4925\\+70\\\hline5625\end{array}$
计算$68^{2}$：
第一行：十位数$6$的平方是$36$，个位数$8$的平方是$64$，并排排列为$3664$；
第二行：十位数与个位数积的$2$倍，$6\times8\times2 = 96$，按竖式相加：
$\begin{array}{r}3664\\+96\\\hline4624\end{array}$
### $(2)$ 解释“两位数平方的竖式计算法”的合理性
设一个两位数的十位数字为$a$，个位数字为$b$，则这个两位数为$(10a + b)$。
根据完全平方公式$(10a + b)^{2}=100a^{2}+20ab + b^{2}$。
其中$100a^{2}$表示$a^{2}$扩大$100$倍，即在$a^{2}$前面空出两个数位（相当于$a^{2}$占两个高位）；$b^{2}$占两个低位；$20ab$表示$ab$乘积的$2$倍后扩大$10$倍（相当于占两个数位），然后将这三部分相加，正好与上述“两位数平方的竖式计算法”相符。
【答案】：
$(1)$ $75^{2}$的竖式计算过程：
$\begin{array}{r}4925\\+70\\\hline5625\end{array}$
$68^{2}$的竖式计算过程：
$\begin{array}{r}3664\\+96\\\hline4624\end{array}$
$(2)$ 设一个两位数的十位数字为$a$，个位数字为$b$，则$(10a + b)^{2}=100a^{2}+20ab + b^{2}$，$100a^{2}$表示$a^{2}$占两个高位，$b^{2}$占两个低位，$20ab$占两个数位，三部分相加与“两位数平方的竖式计算法”相符，所以这种方法合理。
### $(1)$ 计算$75^{2}$和$68^{2}$
计算$75^{2}$：
第一行：十位数$7$的平方是$49$，个位数$5$的平方是$25$，并排排列为$4925$；
第二行：十位数与个位数积的$2$倍，$7\times5\times2 = 70$，按竖式相加：
$\begin{array}{r}4925\\+70\\\hline5625\end{array}$
计算$68^{2}$：
第一行：十位数$6$的平方是$36$，个位数$8$的平方是$64$，并排排列为$3664$；
第二行：十位数与个位数积的$2$倍，$6\times8\times2 = 96$，按竖式相加：
$\begin{array}{r}3664\\+96\\\hline4624\end{array}$
### $(2)$ 解释“两位数平方的竖式计算法”的合理性
设一个两位数的十位数字为$a$，个位数字为$b$，则这个两位数为$(10a + b)$。
根据完全平方公式$(10a + b)^{2}=100a^{2}+20ab + b^{2}$。
其中$100a^{2}$表示$a^{2}$扩大$100$倍，即在$a^{2}$前面空出两个数位（相当于$a^{2}$占两个高位）；$b^{2}$占两个低位；$20ab$表示$ab$乘积的$2$倍后扩大$10$倍（相当于占两个数位），然后将这三部分相加，正好与上述“两位数平方的竖式计算法”相符。
【答案】：
$(1)$ $75^{2}$的竖式计算过程：
$\begin{array}{r}4925\\+70\\\hline5625\end{array}$
$68^{2}$的竖式计算过程：
$\begin{array}{r}3664\\+96\\\hline4624\end{array}$
$(2)$ 设一个两位数的十位数字为$a$，个位数字为$b$，则$(10a + b)^{2}=100a^{2}+20ab + b^{2}$，$100a^{2}$表示$a^{2}$占两个高位，$b^{2}$占两个低位，$20ab$占两个数位，三部分相加与“两位数平方的竖式计算法”相符，所以这种方法合理。
