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1. 如图,阴影部分的长方形的面积是 （
A.$9\ \mathrm{cm}^2$
B.$24\ \mathrm{cm}^2$
C.$45\ \mathrm{cm}^2$
D.$51\ \mathrm{cm}^2$
C
）A.$9\ \mathrm{cm}^2$
B.$24\ \mathrm{cm}^2$
C.$45\ \mathrm{cm}^2$
D.$51\ \mathrm{cm}^2$
答案
1.C
解析
【分析】
要求阴影部分长方形的面积，已知长方形的宽为3cm，只需求出长方形的长AB的长度即可。观察图形可知AB是直角三角形ABC的直角边，该三角形斜边BC=17cm，另一条直角边AC=8cm，可先利用勾股定理求出AB的长，再根据长方形面积公式计算阴影面积。
【解析】
由图可知△ABC是直角三角形，∠A=90°，根据勾股定理：
$AB^2 + AC^2 = BC^2$
代入已知$AC=8\ \mathrm{cm}$，$BC=17\ \mathrm{cm}$，得：
$AB=\sqrt{BC^2 - AC^2}=\sqrt{17^2 - 8^2}=\sqrt{289 - 64}=\sqrt{225}=15\ \mathrm{cm}$
阴影部分为长方形，宽为$3\ \mathrm{cm}$，长为$AB=15\ \mathrm{cm}$，因此面积为：
$S=15×3=45\ \mathrm{cm}^2$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；长方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题目，解题的核心是将求长方形的长转化为求直角三角形的未知直角边，结合面积公式即可得出结果，考查学生对基础公式的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
要求阴影部分长方形的面积，已知长方形的宽为3cm，只需求出长方形的长AB的长度即可。观察图形可知AB是直角三角形ABC的直角边，该三角形斜边BC=17cm，另一条直角边AC=8cm，可先利用勾股定理求出AB的长，再根据长方形面积公式计算阴影面积。
【解析】
由图可知△ABC是直角三角形，∠A=90°，根据勾股定理：
$AB^2 + AC^2 = BC^2$
代入已知$AC=8\ \mathrm{cm}$，$BC=17\ \mathrm{cm}$，得：
$AB=\sqrt{BC^2 - AC^2}=\sqrt{17^2 - 8^2}=\sqrt{289 - 64}=\sqrt{225}=15\ \mathrm{cm}$
阴影部分为长方形，宽为$3\ \mathrm{cm}$，长为$AB=15\ \mathrm{cm}$，因此面积为：
$S=15×3=45\ \mathrm{cm}^2$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；长方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题目，解题的核心是将求长方形的长转化为求直角三角形的未知直角边，结合面积公式即可得出结果，考查学生对基础公式的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
2.勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理.下面四幅图中不能证明勾股定理的是（
D
）答案
2.D
解析
【分析】
要判断哪个图形不能证明勾股定理，需明确勾股定理证明的核心思路是面积法：通过对同一图形面积的两种不同表示方法，列出等式后化简，若能得到$a^2+b^2=c^2$则可证明勾股定理，反之则不能。我们逐一分析四个选项的图形面积即可得出结论。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
1. 选项A：该图形为梯形，梯形面积可表示为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a+b)^2$；同时梯形可拆分为2个直角边为$a、b$的直角三角形和1个直角边为$c$的等腰直角三角形，总面积为$\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=ab+\frac{1}{2}c^2$。
联立等式：$\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)=ab+\frac{1}{2}c^2$，化简后可得$a^2+b^2=c^2$，可证明勾股定理。
2. 选项B：大正方形边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；同时大正方形可拆分为1个边长为$c$的正方形和4个直角边为$a、b$的直角三角形，总面积为$c^2+4×\frac{1}{2}ab=c^2+2ab$。
联立等式：$a^2+2ab+b^2=c^2+2ab$，化简后可得$a^2+b^2=c^2$，可证明勾股定理。
3. 选项C：大正方形边长为$c$，面积为$c^2$；同时大正方形可拆分为1个边长为$(b-a)$的小正方形和4个直角边为$a、b$的直角三角形，总面积为$(b-a)^2+4×\frac{1}{2}ab=a^2-2ab+b^2+2ab=a^2+b^2$。
联立等式：$c^2=a^2+b^2$，可证明勾股定理。
4. 选项D：大正方形边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；同时大正方形可拆分为2个边长为$a、b$的小正方形和2个长为$a$宽为$b$的长方形，总面积为$a^2+b^2+2ab$。
联立后得到的是完全平方和公式，全程未涉及斜边$c$，无法推导出$a^2+b^2=c^2$，不能证明勾股定理。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的证明，面积法求面积，完全平方公式
【点评】
本题考查勾股定理的证明思路，解题关键是掌握面积法的应用，熟悉常见的勾股定理证明模型，注意区分勾股定理和完全平方公式的证明图形。
【难度系数】
0.7
要判断哪个图形不能证明勾股定理，需明确勾股定理证明的核心思路是面积法：通过对同一图形面积的两种不同表示方法，列出等式后化简，若能得到$a^2+b^2=c^2$则可证明勾股定理，反之则不能。我们逐一分析四个选项的图形面积即可得出结论。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
1. 选项A：该图形为梯形，梯形面积可表示为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a+b)^2$；同时梯形可拆分为2个直角边为$a、b$的直角三角形和1个直角边为$c$的等腰直角三角形，总面积为$\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=ab+\frac{1}{2}c^2$。
联立等式：$\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)=ab+\frac{1}{2}c^2$，化简后可得$a^2+b^2=c^2$，可证明勾股定理。
2. 选项B：大正方形边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；同时大正方形可拆分为1个边长为$c$的正方形和4个直角边为$a、b$的直角三角形，总面积为$c^2+4×\frac{1}{2}ab=c^2+2ab$。
联立等式：$a^2+2ab+b^2=c^2+2ab$，化简后可得$a^2+b^2=c^2$，可证明勾股定理。
3. 选项C：大正方形边长为$c$，面积为$c^2$；同时大正方形可拆分为1个边长为$(b-a)$的小正方形和4个直角边为$a、b$的直角三角形，总面积为$(b-a)^2+4×\frac{1}{2}ab=a^2-2ab+b^2+2ab=a^2+b^2$。
联立等式：$c^2=a^2+b^2$，可证明勾股定理。
4. 选项D：大正方形边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；同时大正方形可拆分为2个边长为$a、b$的小正方形和2个长为$a$宽为$b$的长方形，总面积为$a^2+b^2+2ab$。
联立后得到的是完全平方和公式，全程未涉及斜边$c$，无法推导出$a^2+b^2=c^2$，不能证明勾股定理。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的证明，面积法求面积，完全平方公式
【点评】
本题考查勾股定理的证明思路，解题关键是掌握面积法的应用，熟悉常见的勾股定理证明模型，注意区分勾股定理和完全平方公式的证明图形。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在$8×8$的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,$AD⊥BC$于点D,则AD的长为________.
答案
3.4
解析
【分析】
要求AD的长度，AD是BC边上的高，可采用面积法求解：第一步用割补法计算△ABC的面积，第二步用勾股定理求出BC的长度，第三步根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入面积和BC的长度即可求出AD。
【解析】
1. 计算$△ ABC$的面积：采用割补法，用包围$△ ABC$的矩形面积减去周围三个直角三角形的面积。
矩形的长为8、宽为6，面积为$8×6=48$；
周围三个直角三角形的面积分别为：$\frac{1}{2}×8×3=12$，$\frac{1}{2}×4×3=6$，$\frac{1}{2}×6×4=12$；
因此$S_{△ ABC}=48-12-6-12=20$。
2. 用勾股定理计算$BC$的长度：
观察网格可知，BC横向间隔6个单位，纵向间隔8个单位，因此$BC=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$。
3. 求AD的长度：
因为$AD⊥ BC$，所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD$，代入数值：
$20=\frac{1}{2}×10×AD$，解得$AD=4$。
【答案】
$\boxed{4}$
【知识点】
勾股定理，割补法求面积，三角形面积公式
【点评】
本题是网格类几何的典型题型，核心是掌握割补法求网格中图形面积的技巧，结合勾股定理和面积法求高，解题思路清晰，属于基础方法的综合应用。
【难度系数】
0.7
要求AD的长度，AD是BC边上的高，可采用面积法求解：第一步用割补法计算△ABC的面积，第二步用勾股定理求出BC的长度，第三步根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入面积和BC的长度即可求出AD。
【解析】
1. 计算$△ ABC$的面积：采用割补法，用包围$△ ABC$的矩形面积减去周围三个直角三角形的面积。
矩形的长为8、宽为6，面积为$8×6=48$；
周围三个直角三角形的面积分别为：$\frac{1}{2}×8×3=12$，$\frac{1}{2}×4×3=6$，$\frac{1}{2}×6×4=12$；
因此$S_{△ ABC}=48-12-6-12=20$。
2. 用勾股定理计算$BC$的长度：
观察网格可知，BC横向间隔6个单位，纵向间隔8个单位，因此$BC=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$。
3. 求AD的长度：
因为$AD⊥ BC$，所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD$，代入数值：
$20=\frac{1}{2}×10×AD$，解得$AD=4$。
【答案】
$\boxed{4}$
【知识点】
勾股定理，割补法求面积，三角形面积公式
【点评】
本题是网格类几何的典型题型，核心是掌握割补法求网格中图形面积的技巧，结合勾股定理和面积法求高，解题思路清晰，属于基础方法的综合应用。
【难度系数】
0.7
4. 如图,将等腰直角三角形$ABC(∠B=90°)$沿$EF$所在直线折叠,使点$A$落在$BC$边的中点$A_1$处,$BC=8$,那么线段$AE$的长为________.
答案
4.5
5. 如图,设直角三角形的较短直角边长为a,较长直角边长为b,斜边长为c.
(1)若$a=6,b=8$,则图①中大正方形的面积为
(2)猜想图①中$a^2,b^2,c^2$之间的数量关系,并按给出的格式说明理由.
$\because S_{\mathrm{大正方形}}=\_\_\_\_\_\_,S_{\mathrm{大正方形}}=\_\_\_\_\_\_=$
$\therefore$
(3)若图①中大正方形的面积是15,小正方形的面积是1,现将四个直角三角形按图②的形式重新摆放,那么图②中最大的正方形的面积为
(1)若$a=6,b=8$,则图①中大正方形的面积为
100
.(2)猜想图①中$a^2,b^2,c^2$之间的数量关系,并按给出的格式说明理由.
$\because S_{\mathrm{大正方形}}=\_\_\_\_\_\_,S_{\mathrm{大正方形}}=\_\_\_\_\_\_=$
$a^2+b^2$
,$\therefore$
$a^2+b^2=c^2$
.(3)若图①中大正方形的面积是15,小正方形的面积是1,现将四个直角三角形按图②的形式重新摆放,那么图②中最大的正方形的面积为
29
.答案
5.(1)100
(2)$c^2$ $4×\dfrac{1}{2}ab+(b-a)^2$ $a^2+b^2$ $a^2+b^2=c^2$
(3)29
(2)$c^2$ $4×\dfrac{1}{2}ab+(b-a)^2$ $a^2+b^2$ $a^2+b^2=c^2$
(3)29
解析
【分析】
(1) 求图①大正方形面积，可先利用勾股定理算出斜边c的长度，大正方形边长等于c，面积为c²；也可通过“4个直角三角形面积+中间小正方形面积”计算，均能得到结果。
(2) 本问为勾股定理的面积法证明，分别用两种方式表示大正方形面积：一是直接用边长c求面积，二是用分割法将大正方形拆分为4个全等直角三角形加中间小正方形，分别求面积求和，令两个表达式相等即可推导出三者的数量关系。
(3) 先根据图①的已知条件得到c²和$(b-a)^2$的值，推导求出ab的值；再观察图②可知最大正方形边长为$a+b$，其面积为$(a+b)^2$，展开后代入已知的$a^2+b^2$（即$c^2$）和ab的值即可计算结果。
【解析】
(1) 已知$a=6,b=8$，直角三角形中由勾股定理得$c^2=a^2+b^2=6^2+8^2=100$，图①中大正方形边长为c，因此面积为$c^2=100$。
(2) 推导过程：
大正方形边长为c，因此面积可直接表示为$c^2$；
大正方形由4个全等直角三角形和1个小正方形组成，每个直角三角形面积为$\frac{1}{2}ab$，小正方形边长为$b-a$，面积为$(b-a)^2$，因此大正方形面积也可表示为$4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2$，展开计算得：
$4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2=2ab+b^2-2ab+a^2=a^2+b^2$
两种表达式均表示大正方形面积，因此相等，可得$a^2+b^2=c^2$。
(3) 已知图①中大正方形面积为15，即$c^2=15$，也就是$a^2+b^2=15$；小正方形面积为1，即$(b-a)^2=1$，展开得$a^2-2ab+b^2=1$，将$a^2+b^2=15$代入得$15-2ab=1$，解得$ab=7$。
图②中最大正方形边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入$a^2+b^2=15$、$ab=7$，得面积为$15+2×7=29$。
【答案】
(1)100
(2)$c^2$；$4×\dfrac{1}{2}ab+(b-a)^2$；$a^2+b^2$；$a^2+b^2=c^2$
(3)29
【知识点】
勾股定理的证明，完全平方公式，面积法求面积
【点评】
本题以赵爽弦图及变形为背景，考查勾股定理的推导和应用，解题关键是掌握面积法的运用，能通过不同方式表示同一图形的面积建立等量关系，同时需熟练运用完全平方公式进行变形计算。
【难度系数】
0.7
(1) 求图①大正方形面积，可先利用勾股定理算出斜边c的长度，大正方形边长等于c，面积为c²；也可通过“4个直角三角形面积+中间小正方形面积”计算，均能得到结果。
(2) 本问为勾股定理的面积法证明，分别用两种方式表示大正方形面积：一是直接用边长c求面积，二是用分割法将大正方形拆分为4个全等直角三角形加中间小正方形，分别求面积求和，令两个表达式相等即可推导出三者的数量关系。
(3) 先根据图①的已知条件得到c²和$(b-a)^2$的值，推导求出ab的值；再观察图②可知最大正方形边长为$a+b$，其面积为$(a+b)^2$，展开后代入已知的$a^2+b^2$（即$c^2$）和ab的值即可计算结果。
【解析】
(1) 已知$a=6,b=8$，直角三角形中由勾股定理得$c^2=a^2+b^2=6^2+8^2=100$，图①中大正方形边长为c，因此面积为$c^2=100$。
(2) 推导过程：
大正方形边长为c，因此面积可直接表示为$c^2$；
大正方形由4个全等直角三角形和1个小正方形组成，每个直角三角形面积为$\frac{1}{2}ab$，小正方形边长为$b-a$，面积为$(b-a)^2$，因此大正方形面积也可表示为$4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2$，展开计算得：
$4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2=2ab+b^2-2ab+a^2=a^2+b^2$
两种表达式均表示大正方形面积，因此相等，可得$a^2+b^2=c^2$。
(3) 已知图①中大正方形面积为15，即$c^2=15$，也就是$a^2+b^2=15$；小正方形面积为1，即$(b-a)^2=1$，展开得$a^2-2ab+b^2=1$，将$a^2+b^2=15$代入得$15-2ab=1$，解得$ab=7$。
图②中最大正方形边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入$a^2+b^2=15$、$ab=7$，得面积为$15+2×7=29$。
【答案】
(1)100
(2)$c^2$；$4×\dfrac{1}{2}ab+(b-a)^2$；$a^2+b^2$；$a^2+b^2=c^2$
(3)29
【知识点】
勾股定理的证明，完全平方公式，面积法求面积
【点评】
本题以赵爽弦图及变形为背景，考查勾股定理的推导和应用，解题关键是掌握面积法的运用，能通过不同方式表示同一图形的面积建立等量关系，同时需熟练运用完全平方公式进行变形计算。
【难度系数】
0.7
