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9 如图,两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上.已知左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等. 若 $DF=6\ \mathrm{m},DE=8\ \mathrm{m},AD=4\ \mathrm{m}$, 则 $BF=$
18
m.答案
9. 18
解析
【分析】要解决本题，首先根据滑梯长度相等、左边滑梯高度与右边滑梯水平长度相等，结合直角三角形的判定定理得到两个直角三角形全等，进而求出对应边AB的长度，再通过线段的和差关系计算BF的长度。
【解析】
∵ AC⊥AB，ED⊥DF，
∴ ∠CAB = ∠EDF = 90°，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
$\{\begin{array}{l}BC = EF \\AC = DF\end{array} $
∴ Rt△ABC ≌ Rt△DEF（HL），
∴ AB = DE = 8 m，
又
∵ AD = 4 m，DF = 6 m，
∴ BF = AB + AD + DF = 8 + 4 + 6 = 18 m。
【答案】18
【知识点】直角三角形全等判定(HL)、线段和差计算
【点评】本题结合实际场景考查直角三角形全等的应用，核心是利用HL定理推导对应边相等，再通过线段和差求解，属于基础几何题，侧重对定理的理解与简单应用。
【难度系数】0.6
【解析】
∵ AC⊥AB，ED⊥DF，
∴ ∠CAB = ∠EDF = 90°，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
$\{\begin{array}{l}BC = EF \\AC = DF\end{array} $
∴ Rt△ABC ≌ Rt△DEF（HL），
∴ AB = DE = 8 m，
又
∵ AD = 4 m，DF = 6 m，
∴ BF = AB + AD + DF = 8 + 4 + 6 = 18 m。
【答案】18
【知识点】直角三角形全等判定(HL)、线段和差计算
【点评】本题结合实际场景考查直角三角形全等的应用，核心是利用HL定理推导对应边相等，再通过线段和差求解，属于基础几何题，侧重对定理的理解与简单应用。
【难度系数】0.6
10 如图,点 A,C,B,D 在同一条直线上,$BE// DF,∠ A=∠ F,AB=FD$.若$∠ FCD=30^{\circ },∠ A=$$80^{\circ }$,则$∠ DBE$的度数为
110°
.答案
10. 110°
解析
【分析】
要解决本题，需先利用平行线性质得到角的关系，再结合已知条件证明三角形全等，进而推导角的度数，最终根据平角定义计算目标角。步骤如下：
1. 由BE//DF，根据平行线同位角相等得到∠D=∠ABE；
2. 结合已知∠A=∠F、AB=FD，用ASA判定△ABE与△FDB全等；
3. 由全等三角形对应角相等，得∠E=∠FCD；
4. 在△ABE中用内角和求∠ABE，再根据平角定义计算∠DBE。
【解析】
∵ BE//DF，
∴ ∠D=∠ABE（两直线平行，同位角相等）。
在△ABE和△FDB中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠F \\AB=FD \\∠ABE=∠D\end{array} $
∴ △ABE≌△FDB（ASA）。
∴ ∠E=∠FCD=30°（全等三角形对应角相等）。
在△ABE中，根据三角形内角和为180°：
∠ABE=180°-∠A-∠E=180°-80°-30°=70°。
∵ 点D、B、A共线，∠DBE+∠ABE=180°（平角定义），
∴ ∠DBE=180°-70°=110°。
【答案】
110°
【知识点】
平行线性质、全等三角形判定与性质、三角形内角和
【点评】
本题综合考查平行线、全等三角形及三角形内角和的应用，关键是通过平行线和已知条件证明全等，进而推导角的关系，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.4
要解决本题，需先利用平行线性质得到角的关系，再结合已知条件证明三角形全等，进而推导角的度数，最终根据平角定义计算目标角。步骤如下：
1. 由BE//DF，根据平行线同位角相等得到∠D=∠ABE；
2. 结合已知∠A=∠F、AB=FD，用ASA判定△ABE与△FDB全等；
3. 由全等三角形对应角相等，得∠E=∠FCD；
4. 在△ABE中用内角和求∠ABE，再根据平角定义计算∠DBE。
【解析】
∵ BE//DF，
∴ ∠D=∠ABE（两直线平行，同位角相等）。
在△ABE和△FDB中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠F \\AB=FD \\∠ABE=∠D\end{array} $
∴ △ABE≌△FDB（ASA）。
∴ ∠E=∠FCD=30°（全等三角形对应角相等）。
在△ABE中，根据三角形内角和为180°：
∠ABE=180°-∠A-∠E=180°-80°-30°=70°。
∵ 点D、B、A共线，∠DBE+∠ABE=180°（平角定义），
∴ ∠DBE=180°-70°=110°。
【答案】
110°
【知识点】
平行线性质、全等三角形判定与性质、三角形内角和
【点评】
本题综合考查平行线、全等三角形及三角形内角和的应用，关键是通过平行线和已知条件证明全等，进而推导角的关系，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.4
11 如图,在四边形$ABCD$中,$AB // DC$,$E$为$BC$的中点,连接$DE$,$AE$,$AE ⊥ DE$,延长$DE$交$AB$的延长线于点$F$.若$AB=5$,$CD=3$,则$AD$的长为
8
.答案
11. 8
解析
【分析】
要解决本题，需结合平行线性质、全等三角形判定及垂直平分线性质逐步推导：首先利用AB//DC得到内错角相等，结合E是BC中点的条件证明△BEF与△CED全等，得到对应边相等；再根据AE⊥DE且E为DF中点，利用垂直平分线性质转化线段，最终计算出AD的长度。
【解析】
1. 证明三角形全等：
∵ AB//DC，
∴ ∠F=∠CDE，
∵ E为BC中点，
∴ BE=CE，
又
∵ ∠BEF=∠CED（对顶角相等），
∴ △BEF≌△CED（AAS），
∴ EF=ED，BF=CD=3。
2. 利用垂直平分线性质：
∵ AE⊥DE，即AE⊥DF，且EF=ED，
∴ AE是线段DF的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，得AD=AF。
3. 计算线段长度：
AF=AB + BF=5 + 3=8，
∴ AD=8。
【答案】
8
【知识点】
全等三角形判定与性质、垂直平分线性质、平行线性质
【点评】
本题通过构造全等三角形，结合垂直平分线的性质求解线段，核心是利用全等转化边，再借助垂直平分线简化计算，难度适中，需熟练掌握相关几何性质。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合平行线性质、全等三角形判定及垂直平分线性质逐步推导：首先利用AB//DC得到内错角相等，结合E是BC中点的条件证明△BEF与△CED全等，得到对应边相等；再根据AE⊥DE且E为DF中点，利用垂直平分线性质转化线段，最终计算出AD的长度。
【解析】
1. 证明三角形全等：
∵ AB//DC，
∴ ∠F=∠CDE，
∵ E为BC中点，
∴ BE=CE，
又
∵ ∠BEF=∠CED（对顶角相等），
∴ △BEF≌△CED（AAS），
∴ EF=ED，BF=CD=3。
2. 利用垂直平分线性质：
∵ AE⊥DE，即AE⊥DF，且EF=ED，
∴ AE是线段DF的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，得AD=AF。
3. 计算线段长度：
AF=AB + BF=5 + 3=8，
∴ AD=8。
【答案】
8
【知识点】
全等三角形判定与性质、垂直平分线性质、平行线性质
【点评】
本题通过构造全等三角形，结合垂直平分线的性质求解线段，核心是利用全等转化边，再借助垂直平分线简化计算，难度适中，需熟练掌握相关几何性质。
【难度系数】
0.5
12 如图,在$△ ABC$中,$S_{△ ABC}=21$,$∠ BAC$的平分线$AD$交$BC$于点$D$,$E$为$AD$的中点. 连接$BE$,$F$为$BE$上一点,且$BF=2EF$,连接$DF$. 若$S_{△ DEF}=2$,则$AB:AC=$
4:3
.答案
12. 4:3 【解析】
∵ BF=2EF,$S_{△DEF}=2$,
∴ 易得$S_{△BDE}=3S_{DEF}=3×2=6$.
∵ E 为 AD 的中点,
∴ 易得$S_{△ABD}=2S_{△BDE}=2×6=12$.
∵ $S_{△ABC}=21$,
∴ $S_{△ACD}=21-12=9$. 如图,过点 D 作 DM⊥AB 于点 M,DN⊥AC 于点 N.
∵ AD 是∠BAC 的平分线,
∴ DM=DN.
∴ $\dfrac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AB·DM}{\dfrac{1}{2}AC·DN}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{12}{9}=\dfrac{4}{3}$,即 AB:AC=4:3.
解析
【分析】
要解决本题，需逐步利用三角形面积的比例关系和角平分线的性质：首先根据BF与EF的长度比例，求出△BDE的面积；再由E是AD中点，推导得到△ABD的面积；接着用△ABC的总面积减去△ABD的面积，算出△ACD的面积；最后利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），结合同高三角形面积比等于对应底的比，求出AB与AC的比值。
【解析】
1. 已知$BF=2EF$，且△BDF与△DEF同高，根据“同高三角形的面积比等于底的比”，可得$S_{△BDF}=2S_{△DEF}=2×2=4$，因此$S_{△BDE}=S_{△BDF}+S_{△DEF}=4+2=6$。
2. 因为E为AD的中点，△ABE与△BDE等底同高，所以$S_{△ABD}=2S_{△BDE}=2×6=12$。
3. 已知$S_{△ABC}=21$，则$S_{△ACD}=S_{△ABC}-S_{△ABD}=21-12=9$。
4. 过点D作$DM⊥AB$于M，$DN⊥AC$于N，由于AD是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质，得$DM=DN$。
5. 对于△ABD和△ACD，它们的面积分别为$\frac{1}{2}AB·DM$和$\frac{1}{2}AC·DN$，因为$DM=DN$，所以$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{AB}{AC}$，代入面积得$\frac{AB}{AC}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$，即$AB:AC=4:3$。
【答案】
4:3
【知识点】
三角形面积比例、角平分线性质
【点评】
本题综合考查三角形面积与线段比例的关系，以及角平分线的性质，解题关键是逐步推导各三角形的面积，利用同高三角形面积比等于底之比，结合角平分线的距离相等性质求解，逻辑清晰，需掌握相关性质的应用。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需逐步利用三角形面积的比例关系和角平分线的性质：首先根据BF与EF的长度比例，求出△BDE的面积；再由E是AD中点，推导得到△ABD的面积；接着用△ABC的总面积减去△ABD的面积，算出△ACD的面积；最后利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），结合同高三角形面积比等于对应底的比，求出AB与AC的比值。
【解析】
1. 已知$BF=2EF$，且△BDF与△DEF同高，根据“同高三角形的面积比等于底的比”，可得$S_{△BDF}=2S_{△DEF}=2×2=4$，因此$S_{△BDE}=S_{△BDF}+S_{△DEF}=4+2=6$。
2. 因为E为AD的中点，△ABE与△BDE等底同高，所以$S_{△ABD}=2S_{△BDE}=2×6=12$。
3. 已知$S_{△ABC}=21$，则$S_{△ACD}=S_{△ABC}-S_{△ABD}=21-12=9$。
4. 过点D作$DM⊥AB$于M，$DN⊥AC$于N，由于AD是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质，得$DM=DN$。
5. 对于△ABD和△ACD，它们的面积分别为$\frac{1}{2}AB·DM$和$\frac{1}{2}AC·DN$，因为$DM=DN$，所以$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{AB}{AC}$，代入面积得$\frac{AB}{AC}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$，即$AB:AC=4:3$。
【答案】
4:3
【知识点】
三角形面积比例、角平分线性质
【点评】
本题综合考查三角形面积与线段比例的关系，以及角平分线的性质，解题关键是逐步推导各三角形的面积，利用同高三角形面积比等于底之比，结合角平分线的距离相等性质求解，逻辑清晰，需掌握相关性质的应用。
【难度系数】
0.5
13 如图，$∠ C=∠ D=90°$，$AC=BD$，$OH⊥ AB$，垂足为$H$。求证：
(1) $△ ABC≌△ BAD$；
(2) $H$ 为 $AB$ 的中点。
(1) $△ ABC≌△ BAD$；
(2) $H$ 为 $AB$ 的中点。
答案
13. (1) 在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中,$\begin{cases} AB=BA,\\ AC=BD, \end{cases}$
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD
(2) 由(1),得∠OAB=∠OBA.
∵ OH⊥AB,
∴ ∠OHA=∠OHB=90°.在△OAH 和△OBH中,$\begin{cases} ∠OAB=∠OBA,\\ ∠OHA=∠OHB,\\ OH=OH, \end{cases}$
∴ △OAH≌△OBH.
∴ AH=BH,即 H 为AB 的中点
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD
(2) 由(1),得∠OAB=∠OBA.
∵ OH⊥AB,
∴ ∠OHA=∠OHB=90°.在△OAH 和△OBH中,$\begin{cases} ∠OAB=∠OBA,\\ ∠OHA=∠OHB,\\ OH=OH, \end{cases}$
∴ △OAH≌△OBH.
∴ AH=BH,即 H 为AB 的中点
解析
【分析】
要完成这两个证明，首先看(1)，已知∠C和∠D都是直角，所以△ABC和△BAD都是直角三角形，根据直角三角形全等的HL定理，需要斜边和一条直角边对应相等，这里公共斜边AB相等，又已知AC=BD，满足HL的条件，可直接证明全等；对于(2)，由(1)的全等能得到∠OAB=∠OBA，说明△OAB是等腰三角形，再结合OH垂直AB，利用等腰三角形三线合一，或者通过AAS证明△OAH和△OBH全等，就能得到AH=BH，即H是AB中点。
【解析】
(1) 因为∠C=∠D=90°，所以△ABC和△BAD均为直角三角形。在Rt△ABC和Rt△BAD中，
$\begin{cases} AB=BA, \\ AC=BD, \end{cases}$
根据直角三角形全等的HL判定定理，可得Rt△ABC≌Rt△BAD。
(2) 由(1)中Rt△ABC≌Rt△BAD，得对应角∠OAB=∠OBA，因此△OAB是等腰三角形。因为OH⊥AB，所以∠OHA=∠OHB=90°。在△OAH和△OBH中，
$\begin{cases} ∠OAB=∠OBA, \\ ∠OHA=∠OHB, \\ OH=OH, \end{cases}$
根据全等三角形的AAS判定定理，可得△OAH≌△OBH，所以AH=BH，即H为AB的中点。
【答案】
(1) Rt△ABC≌Rt△BAD；(2) H为AB的中点。
【知识点】
直角三角形全等判定、全等三角形判定、等腰三角形性质
【点评】
本题考查直角三角形全等和等腰三角形的性质，是几何证明的基础题型，需掌握HL和AAS的全等判定，以及等腰三角形三线合一的应用，步骤逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.5
要完成这两个证明，首先看(1)，已知∠C和∠D都是直角，所以△ABC和△BAD都是直角三角形，根据直角三角形全等的HL定理，需要斜边和一条直角边对应相等，这里公共斜边AB相等，又已知AC=BD，满足HL的条件，可直接证明全等；对于(2)，由(1)的全等能得到∠OAB=∠OBA，说明△OAB是等腰三角形，再结合OH垂直AB，利用等腰三角形三线合一，或者通过AAS证明△OAH和△OBH全等，就能得到AH=BH，即H是AB中点。
【解析】
(1) 因为∠C=∠D=90°，所以△ABC和△BAD均为直角三角形。在Rt△ABC和Rt△BAD中，
$\begin{cases} AB=BA, \\ AC=BD, \end{cases}$
根据直角三角形全等的HL判定定理，可得Rt△ABC≌Rt△BAD。
(2) 由(1)中Rt△ABC≌Rt△BAD，得对应角∠OAB=∠OBA，因此△OAB是等腰三角形。因为OH⊥AB，所以∠OHA=∠OHB=90°。在△OAH和△OBH中，
$\begin{cases} ∠OAB=∠OBA, \\ ∠OHA=∠OHB, \\ OH=OH, \end{cases}$
根据全等三角形的AAS判定定理，可得△OAH≌△OBH，所以AH=BH，即H为AB的中点。
【答案】
(1) Rt△ABC≌Rt△BAD；(2) H为AB的中点。
【知识点】
直角三角形全等判定、全等三角形判定、等腰三角形性质
【点评】
本题考查直角三角形全等和等腰三角形的性质，是几何证明的基础题型，需掌握HL和AAS的全等判定，以及等腰三角形三线合一的应用，步骤逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.5
14 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=AC$,$∠ ABC$的平分线交$AC$于点$D$,过点$C$作$BD$的垂线,交$BD$的延长线于点$E$,交$BA$的延长线于点$F$.求证:
(1)$BF=BC$;
(2)$BD=2CE$.
(1)$BF=BC$;
(2)$BD=2CE$.
答案
14. (1)
∵ BE 平分∠ABC,
∴ ∠FBE=∠CBE.
∵ CE⊥BE,
∴ ∠FEB=∠CEB = 90°. 在 △FBE 和 △CBE 中,$\begin{cases} ∠FBE=∠CBE,\\ BE=BE,\\ ∠FEB=∠CEB, \end{cases}$
∴ △FBE ≌ △CBE.
∴ BF = BC
(2)
∵ ∠BAC=∠BEF = 90°,
∴ ∠CAF = 90°, ∠ABD+∠F=∠ACF+∠F=90°.
∴ ∠ABD=∠ACF. 在△BDA 和△CFA 中,$\begin{cases} ∠ABD=∠ACF,\\ AB=AC,\\ ∠BAD=∠CAF=90°, \end{cases}$
∴ △BDA ≌ △CFA.
∴ BD=CF. 又
∵ △FBE≌△CBE,
∴ EF = EC,即 CF=2CE.
∴ BD=2CE
∵ BE 平分∠ABC,
∴ ∠FBE=∠CBE.
∵ CE⊥BE,
∴ ∠FEB=∠CEB = 90°. 在 △FBE 和 △CBE 中,$\begin{cases} ∠FBE=∠CBE,\\ BE=BE,\\ ∠FEB=∠CEB, \end{cases}$
∴ △FBE ≌ △CBE.
∴ BF = BC
(2)
∵ ∠BAC=∠BEF = 90°,
∴ ∠CAF = 90°, ∠ABD+∠F=∠ACF+∠F=90°.
∴ ∠ABD=∠ACF. 在△BDA 和△CFA 中,$\begin{cases} ∠ABD=∠ACF,\\ AB=AC,\\ ∠BAD=∠CAF=90°, \end{cases}$
∴ △BDA ≌ △CFA.
∴ BD=CF. 又
∵ △FBE≌△CBE,
∴ EF = EC,即 CF=2CE.
∴ BD=2CE
解析
【分析】
要证明(1)BF=BC，可利用角平分线的性质和垂直条件，通过证明△FBE与△CBE全等来得到对应边相等；要证明(2)BD=2CE，需先证明△BDA与△CFA全等得到BD=CF，再结合(1)中全等三角形的对应边相等得到CE=EF，进而推出CF=2CE，即可证得结论。
【解析】
(1) 证明BF=BC：
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠FBE=∠CBE。
∵ CE⊥BE，
∴ ∠FEB=∠CEB=90°。
在△FBE和△CBE中：
$\{\begin{array}{l}∠FBE=∠CBE, \\BE=BE, \\∠FEB=∠CEB,\end{array} $
∴ △FBE ≌ △CBE（ASA），
∴ BF=BC。
(2) 证明BD=2CE：
∵ ∠BAC=90°，CE⊥BE，
∴ ∠BAD=∠CAF=90°，
且 ∠ABD + ∠F = 90°，∠ACF + ∠F = 90°，
∴ ∠ABD=∠ACF。
在△BDA和△CFA中：
$\{\begin{array}{l}∠ABD=∠ACF, \\AB=AC, \\∠BAD=∠CAF,\end{array} $
∴ △BDA ≌ △CFA（ASA），
∴ BD=CF。
由(1)中△FBE≌△CBE，得EF=EC，即 CF=CE+EF=2CE，
∴ BD=2CE。
【答案】
(1) BF=BC；(2) BD=2CE
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，直角三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形的综合应用题型，需两次运用全等三角形的判定与性质推导结论，结合角平分线和垂直的几何条件，考察学生的逻辑推理能力，属于中等难度的几何证明题。
【难度系数】
0.5
要证明(1)BF=BC，可利用角平分线的性质和垂直条件，通过证明△FBE与△CBE全等来得到对应边相等；要证明(2)BD=2CE，需先证明△BDA与△CFA全等得到BD=CF，再结合(1)中全等三角形的对应边相等得到CE=EF，进而推出CF=2CE，即可证得结论。
【解析】
(1) 证明BF=BC：
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠FBE=∠CBE。
∵ CE⊥BE，
∴ ∠FEB=∠CEB=90°。
在△FBE和△CBE中：
$\{\begin{array}{l}∠FBE=∠CBE, \\BE=BE, \\∠FEB=∠CEB,\end{array} $
∴ △FBE ≌ △CBE（ASA），
∴ BF=BC。
(2) 证明BD=2CE：
∵ ∠BAC=90°，CE⊥BE，
∴ ∠BAD=∠CAF=90°，
且 ∠ABD + ∠F = 90°，∠ACF + ∠F = 90°，
∴ ∠ABD=∠ACF。
在△BDA和△CFA中：
$\{\begin{array}{l}∠ABD=∠ACF, \\AB=AC, \\∠BAD=∠CAF,\end{array} $
∴ △BDA ≌ △CFA（ASA），
∴ BD=CF。
由(1)中△FBE≌△CBE，得EF=EC，即 CF=CE+EF=2CE，
∴ BD=2CE。
【答案】
(1) BF=BC；(2) BD=2CE
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，直角三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形的综合应用题型，需两次运用全等三角形的判定与性质推导结论，结合角平分线和垂直的几何条件，考察学生的逻辑推理能力，属于中等难度的几何证明题。
【难度系数】
0.5
