9 分类讨论思想 [2025 海门段测]若$|x|=9$，$|y|=4$，且$x+y＜0$，则$x-y$的值是 （）

A.5或13
B.5或−13
C.−5或13
D.−5或−13

D

【分析】
解题时首先根据绝对值的性质得到x、y的所有可能取值，再结合限制条件x+y＜0筛选出符合要求的x、y的取值组合，最后分别代入计算x-y的值即可。思考时要注意分类讨论所有可能的取值，不能遗漏，同时要根据附加条件排除不符合的情况，避免多解。
【解析】
第一步：根据绝对值的性质求x、y的可能取值
∵|x|=9，
∴x=9或x=-9；
∵|y|=4，
∴y=4或y=-4。
第二步：根据x+y＜0筛选符合条件的取值
当x=9时，若y=4，x+y=9+4=13＞0，不符合要求；若y=-4，x+y=9+(-4)=5＞0，也不符合要求，因此x不能取9，只能取x=-9。
第三步：计算符合条件的x-y的值
①当x=-9，y=4时，x-y=-9-4=-13；
②当x=-9，y=-4时，x-y=-9-(-4)=-9+4=-5。
综上，x-y的值是-5或-13，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.绝对值的性质
2.有理数减法运算
3.分类讨论思想
【点评】
本题考查绝对值相关的有理数运算，解题关键是先根据绝对值的性质得到未知数的所有可能值，再结合限制条件筛选出有效取值，代入计算即可，要注意不要忽略限制条件导致选错。
【难度系数】
0.7

10 有理数$a$，$b$在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论不正确的是 （）

A.$a - (-b) ＜ 0$
B.$a - b ＜ 0$
C.$-a - b ＞ 0$
D.$b - a ＜ 0$

B

【分析】
首先观察数轴可得a＞0，b＜0，且b离原点的距离更远，即|b|＞|a|。解题时可先根据有理数减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”，把每个选项的减法转化为加法，再结合a、b的正负和绝对值大小判断运算结果的正负，也可以代入符合条件的特殊值计算，更直观判断选项正误。
【解析】
由数轴可知：a＞0，b＜0，且|b|＞|a|，举符合条件的例子：令a=2，b=-3，代入各选项验证：
A选项：$a - (-b)=a+b=2+(-3)=-1＜0$，结论正确，不符合题意；
B选项：$a - b=2 - (-3)=2+3=5＞0$，所以“$a - b ＜ 0$”的结论错误，符合题意；
C选项：$-a - b=-2 - (-3)=-2+3=1＞0$，结论正确，不符合题意；
D选项：$b - a=-3 - 2=-5＜0$，结论正确，不符合题意。
因此结论不正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用，有理数减法运算，绝对值的性质
【点评】
本题是有理数运算结合数轴的基础题型，解题核心是先从数轴提取出a、b的符号、绝对值大小关系，再通过运算法则或特殊值法判断选项，特殊值法能有效降低解题难度，减少运算失误。
【难度系数】
0.7

11（1）比2小10的数是；（2）比-24小6的数是；

(1) -8 (2) -30

【分析】
解决此类求“比一个数小几的数是多少”的问题，核心思路是用减法计算：比a小b的数 = a - b。接下来按照有理数减法法则计算即可，计算时先把减法转化为加法（减去一个数等于加上这个数的相反数），再按照有理数加法的规则算出结果。
【解析】
（1）求比2小10的数，列式为：
$2 - 10 = 2 + (-10) = -8$
（2）求比-24小6的数，列式为：
$-24 - 6 = (-24) + (-6) = -30$
【答案】
(1) -8；(2) -30
【知识点】
1. 有理数减法意义 2. 有理数减法法则
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对有理数减法含义的理解和减法法则的应用，掌握运算逻辑、熟练减法转加法的计算规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9

（3）比9的相反数小11的数是.

-20

【分析】
解题时需要分两步思考：第一步先确定9的相反数是多少，根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，可得9的相反数；第二步，求比这个数小11的数，“比一个数小几”就用这个数减去几，列出减法算式后，再根据有理数的减法法则计算即可得到结果。
【解析】
1. 先求9的相反数：根据相反数的定义，9的相反数是$-9$；
2. 求比$-9$小11的数，可列算式：$\boldsymbol{-9 - 11}$；
3. 根据有理数减法法则计算：$-9 - 11 = -(9+11) = -20$。
【答案】
-20
【知识点】
相反数的定义；有理数的减法运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题的关键是准确理解相反数的概念，根据题意正确列出运算式子，计算时注意符号的处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.85

12 若家用电冰箱冷藏室的温度是$4\ °\mathrm{C}$，冷冻室的温度要比冷藏室的低$22\ °\mathrm{C}$，则冷冻室的温度是.

$-18\ ℃$

【分析】
解题时首先要明确温度高低的数量关系：冷冻室温度比冷藏室低22℃，即冷冻室温度=冷藏室温度-22℃。我们先根据题意列出对应的减法算式，再运用有理数的减法法则计算即可得到结果。
【解析】
已知冷藏室温度为$4\ °\mathrm{C}$，冷冻室比冷藏室低$22\ °\mathrm{C}$，据此列算式：
$4 - 22 = 4 + (-22) = -18(°\mathrm{C})$
【答案】
$-18\ ℃$
【知识点】
有理数的减法运算，正负数的实际应用
【点评】
本题结合生活常见的冰箱温度场景考查有理数减法的基础应用，解题核心是读懂题意正确列出减法算式，再按照有理数减法法则计算即可。
【难度系数】
0.9

13 教材 P58 数学活动变式 把 1～9 这 9 个数填入 $3×3$ 的方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的“幻方”。如图是仅可以看到部分数的“九宫格”，则其中 $x - y = \_\_\_\_\_\_$。

-3

【分析】
解题的核心是利用九宫格（幻方）的性质：任意一行、一列、两条对角线上的三个数之和相等（这个和称为幻和）。首先可通过1~9的总和求出幻和：9个数的总和是45，平均分成3行，每行的和就是15。再依次用幻和求出右上角、x、右下角、y的值，最后计算x-y即可。
【解析】
解：1. 求幻和：
1~9的数字总和为 $1+2+3+\dots+9=45$，三行的和相等，因此幻和为 $45÷3=15$。
2. 求右上角的数：
左下角到右上角的对角线和为15，已知左下角为8、中间数为5，因此右上角的数为 $15-8-5=2$。
3. 求x的值：
第一行的和为15，已知第一行中间为9、右上角为2，因此 $x=15-9-2=4$。
4. 求右下角的数：
左上角到右下角的对角线和为15，已知左上角x=4、中间数为5，因此右下角的数为 $15-4-5=6$。
5. 求y的值：
第三列的和为15，已知右上角为2、右下角为6，因此 $y=15-2-6=7$。
6. 计算x-y：
$x-y=4-7=-3$。
【答案】
-3
【知识点】
有理数加减法，幻方的性质
【点评】
本题是幻方的基础应用题，解题的关键是先求出幻和，再结合已知数逐步推导未知量，只要掌握幻方的核心特征就能快速求解。
【难度系数】
0.7

14 计算：
(1) $-7 - 3$；
(2) $-2\frac{1}{2} - (-3\frac{1}{10})$；
(3) $(-4\frac{3}{4}) - 5\frac{1}{2}$；
(4) $\frac{15}{16} - (+7\frac{5}{16})$；
(5) $-|-9 -14| - (-20)$；
(6) $-|-4\frac{2}{7}| - |+3\frac{5}{7}|$。

(1) -10 (2) $\dfrac{3}{5}$ (3) $-10\dfrac{1}{4}$ (4) $-6\dfrac{3}{8}$ (5) -3 (6) -8

【分析】
解决这类有理数减法运算题，核心思路是运用有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，将减法转化为加法计算。运算时注意：有绝对值的先化简绝对值，有带分数的先统一分母再计算，每一步重点关注符号变化，避免符号出错。具体到每道题：直接套用法则转换运算形式，再按加法规则、绝对值性质逐步计算即可。
【解析】
(1) 根据有理数减法法则：
$-7 - 3 = -7 + (-3) = -(7+3) = -10$
(2) 先去括号（负负得正），再通分计算：
$-2\frac{1}{2} - (-3\frac{1}{10}) = -2\frac{5}{10} + 3\frac{1}{10} = (3-2) + (\frac{1}{10}-\frac{5}{10}) = 1-\frac{4}{10} = \frac{3}{5}$
(3) 转换为加法，两个负数相加，绝对值相加后带负号：
$(-4\frac{3}{4}) - 5\frac{1}{2} = -4\frac{3}{4} + (-5\frac{2}{4}) = -(4\frac{3}{4}+5\frac{2}{4}) = -10\frac{1}{4}$
(4) 去括号后拆分整数和分数部分计算：
$\frac{15}{16} - (+7\frac{5}{16}) = \frac{15}{16} - 7\frac{5}{16} = -(7\frac{5}{16}-\frac{15}{16}) = -(6+\frac{21}{16}-\frac{15}{16}) = -6\frac{6}{16} = -6\frac{3}{8}$
(5) 先算绝对值内的运算，再化简绝对值：
$-|-9 -14| - (-20) = -|-23| + 20 = -23 + 20 = -3$
(6) 先化简两个绝对值，再合并计算：
$-|-4\frac{2}{7}| - |+3\frac{5}{7}| = -4\frac{2}{7} - 3\frac{5}{7} = -(4\frac{2}{7}+3\frac{5}{7}) = -8$
【答案】
(1) -10 (2) $\dfrac{3}{5}$ (3) $-10\dfrac{1}{4}$ (4) $-6\dfrac{3}{8}$ (5) -3 (6) -8
【知识点】
有理数减法法则，绝对值的性质，带分数运算
【点评】
本题是有理数减法的基础运算题，重点考察减法转加法的法则应用，运算过程中要注意符号变化、绝对值化简、带分数通分等细节，养成检查符号的习惯可有效降低错误率。
【难度系数】
0.8

15（1）已知$|a|=4$，$|b|=6$，求$a+b$的值；
（2）在（1）的条件下，若$|a-b|=|a|+|b|$，求$a-b$的值；
（3）在（1）的条件下，若$|a+b|=a+b$，求$a-b$的值。

(1) 因为$|a|=4,|b|=6$,所以$a=4$或$-4,b=6$或$-6$. 所以$a+b$的值为$-10$或$-2$或$2$或$10$
(2) 由(1)知,$a=4$或$-4,b=6$或$-6$. 因为$|a-b|=|a|+|b|$,所以当$a=4$时,$b=-6$,则$a-b=10$;当$a=-4$时,$b=6$,则$a-b=-10$. 综上所述,$a-b$的值为10或$-10$
(3) 由(1)知,$a=4$或$-4,b=6$或$-6$. 因为$|a+b|=a+b$,所以当$a=-4$时,$b=6$,则$a-b=-10$;当$a=4$时,$b=6$,则$a-b=-2$. 综上所述,$a-b$的值为$-10$或$-2$

【分析】
（1）先依据绝对值的性质确定a、b的所有可能取值，再将不同取值组合分别代入计算a+b，就能得到所有可能的结果；
（2）条件|a-b|=|a|+|b|说明a和b符号相反，结合（1）中a、b的取值，筛选出符合条件的组合后分别计算a-b即可；
（3）条件|a+b|=a+b说明a+b是非负数，从（1）的取值组合中筛选出满足a+b≥0的情况，再分别计算a-b的数值即可。
【解析】
（1）解：
∵$|a|=4$，$|b|=6$，
∴$a=4$或$a=-4$，$b=6$或$b=-6$，
分四种情况计算：
①当$a=4$，$b=6$时，$a+b=4+6=10$；
②当$a=4$，$b=-6$时，$a+b=4+(-6)=-2$；
③当$a=-4$，$b=6$时，$a+b=-4+6=2$；
④当$a=-4$，$b=-6$时，$a+b=-4+(-6)=-10$。
（2）解：由（1）知$a=\pm4$，$b=\pm6$，
∵$|a-b|=|a|+|b|$，
∴a、b异号，
①当$a=4$时，$b=-6$，此时$a-b=4-(-6)=10$；
②当$a=-4$时，$b=6$，此时$a-b=-4-6=-10$。
（3）解：由（1）知$a=\pm4$，$b=\pm6$，
∵$|a+b|=a+b$，
∴$a+b≥0$，
符合条件的组合有两种：
①当$a=-4$，$b=6$时，$a+b=-4+6=2≥0$，此时$a-b=-4-6=-10$；
②当$a=4$，$b=6$时，$a+b=4+6=10≥0$，此时$a-b=4-6=-2$。
【答案】
(1) $a+b$的值为$-10$或$-2$或$2$或$10$；
(2) $a-b$的值为$10$或$-10$；
(3) $a-b$的值为$-10$或$-2$。
【知识点】
绝对值的性质，有理数加减法，分类讨论
【点评】
本题重点考查绝对值性质的应用，解题时需要全面考虑字母的所有可能取值，结合给定条件筛选符合要求的组合，避免漏解，熟练掌握绝对值的相关性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7