1. 已知一次函数 $y_1 = ax + b$ 和 $y_2 = bx + a$（$a ≠ b$），则函数 $y_1$ 和 $y_2$ 的图象可能是（）

A

2. 在平面直角坐标系中,过点$(-2,3)$的直线$l$经过第一、二、三象限. 若点$(0,a)$,$(-1,b)$,$(c,-1)$都在直线$l$上,则下列判断正确的是（）

A.$a＜b$
B.$a＜3$
C.$b＜3$
D.$c＜-2$

D 提示:设直线$l$的函数表达式为$y=mx+n$($m≠0$).因为直线$l$经过第一、二、三象限,所以$m＞0$.因为点$(-2,3)$在直线$l$上,所以$3=-2m+n$,即$n=2m+3$.所以一次函数的表达式为$y=mx+2m+3$.当$x=0$时,$a=2m+3$,因为$m＞0$,所以$a=2m+3＞3$,故选项B错误;当$x=-1$时,$b=-m+2m+3=m+3$,因为$m＞0$,所以$b=m+3＞3$,故选项C错误;因为$m＞0$,所以$2m+3＞m+3$,即$a＞b$,故选项A错误;当$y=-1$时,$cm+2m+3=-1$,即$(c+2)m=-4$,因为$m＞0$,所以$c+2＜0$,即$c＜-2$,故选项D正确.

3. 如图,把$\mathrm{Rt}△ ABC$放在平面直角坐标系中,其中$∠ CAB=90°,BC=5$,点$A,B$的坐标分别为$(1,0),(4,0)$.将$△ ABC$沿$x$轴向右平移,当点$C$落在直线$y=2x-6$上时,线段$BC$扫过的面积为（）


A.$4$
B.$8$
C.$16$
D.$8\sqrt{2}$

C 提示:如图,由题意,得$AB=3$.因为$∠CAB=90°$,$BC=5$,所以$AC=4$,所以$A'C'=4$.因为点$C'$在直线$y=2x-6$上,所以$2x-6=4$,解得$x=5$,即$OA'=5$.因为$OA=1$,所以$CC'=AA'=OA'-OA=5-1=4$.所以线段$BC$扫过的面积为$CC'· A'C'=4×4=16$.

4. 如图,直线$y = -\dfrac{3}{4}x + 6$分别与$x$轴、$y$轴交于点$A,B$,点$C$在线段$OA$上,线段$OB$沿$BC$所在的直线翻折,点$O$落在边$AB$上的点

$D$处,则直线$BC$的函数表达式为
.

$y=-2x+6$ 提示:由题意,得点$A(8,0)$,$B(0,6)$.所以$OB=6$,$OA=8$,所以$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=10$.由折叠的性质,可知$BD=OB=6$,$OC=CD$,$∠BDC=∠BOC=90°$,所以$AD=AB-BD=4$.设$OC=CD=x$,则$AC=OA-OC=8-x$.因为在$\mathrm{Rt}△ACD$中,$AC^2=CD^2+AD^2$,即$(8-x)^2=x^2+4^2$,解得$x=3$.所以$OC=CD=3$,所以点$C(3,0)$.设直线$BC$的函数表达式为$y=kx+6$,所以$0=3k+6$,解得$k=-2$.所以直线$BC$的函数表达式为$y=-2x+6$.

5. 若把一次函数 $y=kx+b$ 的图象先绕着原点旋转 $180°,$再向左平移 2 个单位长度后，恰好经过点 $A(-4,0)$ 和点 $B(0,2),$ 则原一次函数的表达式是.

$y=\dfrac{1}{2}x-1$ 提示:设直线$AB$的函数表达式为$y=mx+n$.将点$A(-4,0)$,$B(0,2)$代入,得$\begin{cases}-4m+n=0,\\n=2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=\dfrac{1}{2},\\n=2,\end{cases}$ 所以直线$AB$的函数表达式为$y=\dfrac{1}{2}x+2$.将直线$AB$向右平移2个单位长度后得到的函数表达式为$y=\dfrac{1}{2}(x-2)+2$,即$y=\dfrac{1}{2}x+1$,再将$y=\dfrac{1}{2}x+1$绕着原点旋转$180°$后得到的函数表达式为$-y=-\dfrac{1}{2}x+1$,即$y=\dfrac{1}{2}x-1$,所以原一次函数的表达式是$y=\dfrac{1}{2}x-1$.

6. (2025 徐州市期末)已知关于 $x$ 的一次函数
$y=ax+4-2a.$ 当 $-2 ≤ x ≤ 5$ 时,函数有最大值 7,则 $a$ 的值为.

$1或-\dfrac{3}{4}$ 提示:①若$a＞0$,则当$x=5$时,$y$取最大值.所以$7=5a+4-2a$,即$7=3a+4$.解得$a=1$.②若$a＜0$,则当$x=-2$时,$y$取最大值.所以$7=-2a+4-2a$,即$7=-4a+4$.解得$a=-\dfrac{3}{4}$.

7. 如图,在平面直角坐标系中,已知点 B 的坐标为$(6,4)$.
(1) 请用直尺(不带刻度)和圆规作一条直线 AC,它与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于点 A 和点 C,且使$∠ ABC=90°$,$△ ABC$与$△ AOC$的面积相等(不要求写作法,保留作图痕迹).
(2) 问:(1)中这样的直线 AC 是否唯一?若唯一,请说明理由;若不唯一,请在图中画出所有这样的直线 AC,并写出与之对应的函数表达式.

(1) 作图如图1或图2所示.

(2) 不唯一.
如图1,易知点$B(6,4)$,$A(6,0)$,$C(0,4)$.
设直线$AC$的函数表达式为$y=kx+b$($k≠0$),则$\begin{cases}6k+b=0,\\b=4,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-\dfrac{2}{3},\\b=4.\end{cases}$ 所以直线$AC$的函数表达式为$y=-\dfrac{2}{3}x+4$.
如图2,设点$A(a,0)$.因为$△AOC≌△ABC$,所以$OA=BA$,即$a=\sqrt{(6-a)^2+4^2}$,解得$a=\dfrac{13}{3}$,所以点$A(\dfrac{13}{3},0)$.设点$C(0,c)$.因为$CO=CB$,所以$c=\sqrt{(c-4)^2+6^2}$,解得$c=\dfrac{13}{2}$,所以点$C(0,\dfrac{13}{2})$.设直线$AC$的函数表达式为$y=mx+n$($m≠0$),则$\begin{cases}\dfrac{13}{3}m+n=0,\\n=\dfrac{13}{2},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=-\dfrac{3}{2},\\n=\dfrac{13}{2}.\end{cases}$ 所以直线$AC$的函数表达式为$y=-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{13}{2}$.
综上所述,直线$AC$的函数表达式为$y=-\dfrac{2}{3}x+4$或$y=-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{13}{2}$.