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趣味数学
神秘的车牌
三个中学生走在马路上,发现一辆汽车的驾驶员违反了交通规则,由于车速太快,他们都没有记下车牌号的后四位数,不过由于他们对数字很敏感,每个人都记住了后四位数的一些特点:第一个人记得后四位数的前两位数字相同,第二个人记得后四位数的后两位数字也相同,第三个人记得后四位数恰好是某数的平方.请说出这个车牌号的后四位数.
让我们来尝试解决这个问题.设所求四位数的第一位(和第二位)数字是$a$,第三位(和第四位)数字是$b$,那么整个四位数是
$1000a + 100a + 10b + b = 1100a + 11b = 11(100a + b) = 11[99a + (a + b)]$.
这个数能被11整除,因此(它是一个平方数)它一定能被$11^2$整除.换句话说,$100a + b$能被11整除.所以$a + b$能被11整除,而这只能是
$a + b = 11$.
因为$a$和$b$都小于10,汽车牌号的后四位数是一个平方数,所以后一位数字只能是下列几个数字:
$0,1,4,5,6,9$.
因此数字$a$等于$11 - b$,可能是下列几个数字:
$11,10,7,6,5,2$.
前两个数字不能用,最后剩下的可能的数字如下:
$b = 4,a = 7$;
$b = 5,a = 6$;
$b = 6,a = 5$;
$b = 9,a = 2$.
可见,汽车牌号的后四位数应当从下面的四个数中去找:
$7744,6655,5566,2299$.
但是后面三个数并不是平方数:数6655能被5整除,但是不能被25整除;数5566能被2整除,但是不能被4整除;数$2299 = 121×19$,不是一个平方数.最后就剩下$7744 = 88^2$,这就是要找的那辆汽车牌号的后四位数.
神秘的车牌
三个中学生走在马路上,发现一辆汽车的驾驶员违反了交通规则,由于车速太快,他们都没有记下车牌号的后四位数,不过由于他们对数字很敏感,每个人都记住了后四位数的一些特点:第一个人记得后四位数的前两位数字相同,第二个人记得后四位数的后两位数字也相同,第三个人记得后四位数恰好是某数的平方.请说出这个车牌号的后四位数.
让我们来尝试解决这个问题.设所求四位数的第一位(和第二位)数字是$a$,第三位(和第四位)数字是$b$,那么整个四位数是
$1000a + 100a + 10b + b = 1100a + 11b = 11(100a + b) = 11[99a + (a + b)]$.
这个数能被11整除,因此(它是一个平方数)它一定能被$11^2$整除.换句话说,$100a + b$能被11整除.所以$a + b$能被11整除,而这只能是
$a + b = 11$.
因为$a$和$b$都小于10,汽车牌号的后四位数是一个平方数,所以后一位数字只能是下列几个数字:
$0,1,4,5,6,9$.
因此数字$a$等于$11 - b$,可能是下列几个数字:
$11,10,7,6,5,2$.
前两个数字不能用,最后剩下的可能的数字如下:
$b = 4,a = 7$;
$b = 5,a = 6$;
$b = 6,a = 5$;
$b = 9,a = 2$.
可见,汽车牌号的后四位数应当从下面的四个数中去找:
$7744,6655,5566,2299$.
但是后面三个数并不是平方数:数6655能被5整除,但是不能被25整除;数5566能被2整除,但是不能被4整除;数$2299 = 121×19$,不是一个平方数.最后就剩下$7744 = 88^2$,这就是要找的那辆汽车牌号的后四位数.
答案
解：
设所求四位数的前两位相同的数字为$a$，后两位相同的数字为$b$，其中$a$是1~9的整数，$b$是0~9的整数。
该四位数可变形为：
$\begin{aligned}1000a + 100a + 10b + b &= 1100a + 11b\\&=11(100a + b)\\&=11[99a + (a + b)]\end{aligned}$
这个数是完全平方数，且能被11整除，因此它必能被$11^2=121$整除，即$100a + b$能被11整除。
由于99a是11的倍数，因此$a + b$能被11整除。
结合$a＜10,b＜10$，可得$a + b=11$。
完全平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9，即$b$的可能取值为0,1,4,5,6,9，代入$a=11-b$，排除$a=11$、$a=10$这两个不符合数位要求的取值，得到剩余候选组合：
$b=4,a=7$，对应四位数7744；
$b=5,a=6$，对应四位数6655；
$b=6,a=5$，对应四位数5566；
$b=9,a=2$，对应四位数2299。
逐一验证：
6655能被5整除，但不能被25整除，不是完全平方数；
5566能被2整除，但不能被4整除，不是完全平方数；
$2299=121×19$，不是完全平方数；
$7744=88^2$，符合完全平方数要求。
答：这个车牌号的后四位数是7744。
设所求四位数的前两位相同的数字为$a$，后两位相同的数字为$b$，其中$a$是1~9的整数，$b$是0~9的整数。
该四位数可变形为：
$\begin{aligned}1000a + 100a + 10b + b &= 1100a + 11b\\&=11(100a + b)\\&=11[99a + (a + b)]\end{aligned}$
这个数是完全平方数，且能被11整除，因此它必能被$11^2=121$整除，即$100a + b$能被11整除。
由于99a是11的倍数，因此$a + b$能被11整除。
结合$a＜10,b＜10$，可得$a + b=11$。
完全平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9，即$b$的可能取值为0,1,4,5,6,9，代入$a=11-b$，排除$a=11$、$a=10$这两个不符合数位要求的取值，得到剩余候选组合：
$b=4,a=7$，对应四位数7744；
$b=5,a=6$，对应四位数6655；
$b=6,a=5$，对应四位数5566；
$b=9,a=2$，对应四位数2299。
逐一验证：
6655能被5整除，但不能被25整除，不是完全平方数；
5566能被2整除，但不能被4整除，不是完全平方数；
$2299=121×19$，不是完全平方数；
$7744=88^2$，符合完全平方数要求。
答：这个车牌号的后四位数是7744。
解析
【分析】
解题时我们可以分四步思考：第一步，先根据“后四位前两位相同、后两位相同”的特征，用字母a表示前两位的相同数字、b表示后两位的相同数字，把这个四位数用含a、b的式子表示出来，整理后能发现它是11的倍数；第二步，结合这个数是完全平方数的性质，完全平方数的质因数都是成对出现的，因此这个数一定能被11²=121整除，进而推出a+b是11的倍数，再结合a、b都是小于10的正整数（a是首位不能为0），就能得到a+b=11；第三步，完全平方数的个位只能是0、1、4、5、6、9，也就是b的取值只能在这几个数里，代入a=11-b，排除a不是一位数的情况，就能得到几个候选的四位数；第四步，逐一验证候选数是不是完全平方数，排除不符合的就能得到最终答案。
【解析】
设所求四位数的前两位相同的数字为$a$，后两位相同的数字为$b$，其中$a$是1~9的整数，$b$是0~9的整数。
该四位数可变形为：
$\begin{aligned}1000a + 100a + 10b + b &= 1100a + 11b\\&=11(100a + b)\\&=11[99a + (a + b)]\end{aligned}$
这个数是完全平方数，且能被11整除，因此它必能被$11^2=121$整除，即$100a + b$能被11整除。
由于99a是11的倍数，因此$a + b$能被11整除。
结合$a＜10,b＜10$，可得$a + b=11$。
完全平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9，即$b$的可能取值为0,1,4,5,6,9，代入$a=11-b$，排除$a=11$、$a=10$这两个不符合数位要求的取值，得到剩余候选组合：
$b=4,a=7$，对应四位数7744；
$b=5,a=6$，对应四位数6655；
$b=6,a=5$，对应四位数5566；
$b=9,a=2$，对应四位数2299。
逐一验证：
6655能被5整除，但不能被25整除，不是完全平方数；
5566能被2整除，但不能被4整除，不是完全平方数；
$2299=121×19$，不是完全平方数；
$7744=88^2$，符合完全平方数要求。
【答案】
7744
【知识点】
完全平方数性质，数的整除特征，数位表示方法
【点评】
本题是趣味数字推理题，融合了数的表示、整除规则和完全平方数的特征，解题时需要通过逐步推导缩小取值范围，再通过验证排除错误选项，能有效锻炼逻辑推理能力和对数字特征的敏感度。
【难度系数】
0.6
解题时我们可以分四步思考：第一步，先根据“后四位前两位相同、后两位相同”的特征，用字母a表示前两位的相同数字、b表示后两位的相同数字，把这个四位数用含a、b的式子表示出来，整理后能发现它是11的倍数；第二步，结合这个数是完全平方数的性质，完全平方数的质因数都是成对出现的，因此这个数一定能被11²=121整除，进而推出a+b是11的倍数，再结合a、b都是小于10的正整数（a是首位不能为0），就能得到a+b=11；第三步，完全平方数的个位只能是0、1、4、5、6、9，也就是b的取值只能在这几个数里，代入a=11-b，排除a不是一位数的情况，就能得到几个候选的四位数；第四步，逐一验证候选数是不是完全平方数，排除不符合的就能得到最终答案。
【解析】
设所求四位数的前两位相同的数字为$a$，后两位相同的数字为$b$，其中$a$是1~9的整数，$b$是0~9的整数。
该四位数可变形为：
$\begin{aligned}1000a + 100a + 10b + b &= 1100a + 11b\\&=11(100a + b)\\&=11[99a + (a + b)]\end{aligned}$
这个数是完全平方数，且能被11整除，因此它必能被$11^2=121$整除，即$100a + b$能被11整除。
由于99a是11的倍数，因此$a + b$能被11整除。
结合$a＜10,b＜10$，可得$a + b=11$。
完全平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9，即$b$的可能取值为0,1,4,5,6,9，代入$a=11-b$，排除$a=11$、$a=10$这两个不符合数位要求的取值，得到剩余候选组合：
$b=4,a=7$，对应四位数7744；
$b=5,a=6$，对应四位数6655；
$b=6,a=5$，对应四位数5566；
$b=9,a=2$，对应四位数2299。
逐一验证：
6655能被5整除，但不能被25整除，不是完全平方数；
5566能被2整除，但不能被4整除，不是完全平方数；
$2299=121×19$，不是完全平方数；
$7744=88^2$，符合完全平方数要求。
【答案】
7744
【知识点】
完全平方数性质，数的整除特征，数位表示方法
【点评】
本题是趣味数字推理题，融合了数的表示、整除规则和完全平方数的特征，解题时需要通过逐步推导缩小取值范围，再通过验证排除错误选项，能有效锻炼逻辑推理能力和对数字特征的敏感度。
【难度系数】
0.6
