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1. 如图, $△ A B C$ 内接于 $\odot O, ∠ C=30°, \odot O$ 的半径为 $3, P$ 是 $\odot O$ 上的一点, 且 $P B=$ $A B$, 则 $P A$ 的长为（
A.$3\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{2}$
A
）A.$3\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{2}$
答案
1. A 提示:如图,连接OA,OB,设OB交AP与点D. 因为$∠C=30°$,所以$∠AOB=60°$,$∠APB=∠C=30°$. 因为$PB=AB$,所以$∠PAB=∠APB=30°$,$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{PB}$,所以$OB⊥AP$,$AD=PD$,因为$OB=OA$,$∠AOB=60°$,所以$△AOB$是等边三角形,所以$AB=OA=3$. $Rt△ABD$中,$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}$,所以$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$,所以$AP=2AD=3\sqrt{3}$.
解析
【分析】
要解决这道题，需利用圆的相关性质逐步推导：首先通过圆周角定理得到圆心角的度数，结合半径相等判断等边三角形，再根据弦相等推导出垂径定理的应用，最后在直角三角形中用勾股定理计算AP的长度。
【解析】
连接OA、OB，设OB交AP于点D。
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知∠C=30°，则∠AOB=2∠C=60°。
2. 因为OA、OB都是⊙O的半径，所以OA=OB，结合∠AOB=60°，可得△AOB是等边三角形，因此AB=OA=3。
3. 由PB=AB，可知弧AB=弧PB，根据垂径定理：同圆中，等弧对应的圆心线垂直平分弧所对的弦，故OB⊥AP，且AD=PD，∠ADB=90°。
4. 同弧AB所对的圆周角∠APB=∠C=30°，所以在Rt△ABD中，∠PAB=∠APB=30°，则BD=½AB=3/2。
5. 根据勾股定理，AD=√(AB² - BD²)=√(3² - (3/2)²)= (3√3)/2。
6. 因为AP=2AD，所以AP=3√3。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理、垂径定理、等边三角形性质
【点评】
本题综合考查圆的核心性质，需熟练运用圆周角、垂径定理，结合三角形性质解题，是圆相关几何题的典型应用，对学生的逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需利用圆的相关性质逐步推导：首先通过圆周角定理得到圆心角的度数，结合半径相等判断等边三角形，再根据弦相等推导出垂径定理的应用，最后在直角三角形中用勾股定理计算AP的长度。
【解析】
连接OA、OB，设OB交AP于点D。
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知∠C=30°，则∠AOB=2∠C=60°。
2. 因为OA、OB都是⊙O的半径，所以OA=OB，结合∠AOB=60°，可得△AOB是等边三角形，因此AB=OA=3。
3. 由PB=AB，可知弧AB=弧PB，根据垂径定理：同圆中，等弧对应的圆心线垂直平分弧所对的弦，故OB⊥AP，且AD=PD，∠ADB=90°。
4. 同弧AB所对的圆周角∠APB=∠C=30°，所以在Rt△ABD中，∠PAB=∠APB=30°，则BD=½AB=3/2。
5. 根据勾股定理，AD=√(AB² - BD²)=√(3² - (3/2)²)= (3√3)/2。
6. 因为AP=2AD，所以AP=3√3。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理、垂径定理、等边三角形性质
【点评】
本题综合考查圆的核心性质，需熟练运用圆周角、垂径定理，结合三角形性质解题，是圆相关几何题的典型应用，对学生的逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
2. 如图,在$\odot O$内有折线$OABC$,其中$OA=$$8,AB=12,∠ A=∠ B=60^{ \circ }$,则$BC$的长为（
A.$16$
B.$20$
C.$18$
D.$22$
B
）A.$16$
B.$20$
C.$18$
D.$22$
答案
2. B 提示:如图,延长AO交BC于点D,过点O作$OE⊥BC$于点E. 因为$∠A=∠B=60°$,所以$∠ADB=60°$,所以$△ADB$为等边三角形,所以$BD=AD=AB=12$,所以$OD=AD-OA=4$. 在$Rt△ODE$中,因为$∠ADB=60°$,所以$∠DOE=30°$,所以$DE=\frac{1}{2}OD=2$,所以$BE=BD-DE=10$. 因为$OE⊥BC$,所以$BC=2BE=20$.
解析
【分析】要解决这道题，需通过添加辅助线构造特殊三角形：延长AO交BC于点D，利用∠A=∠B=60°判定△ADB为等边三角形，再作OE⊥BC，结合直角三角形的性质和垂径定理计算BC的长度。
【解析】
1. 延长AO交BC于点D，
∵ ∠A=∠B=60°，
∴ 在△ADB中，∠ADB=180°−∠A−∠B=60°，
∴ △ADB是等边三角形，
∴ AD=BD=AB=12。
2. 已知OA=8，
∴ OD=AD−OA=12−8=4。
3. 过点O作OE⊥BC于点E，
根据垂径定理，OE垂直平分BC，即BC=2BE，E为BC中点。
4. 在Rt△ODE中，∠ODE=∠ADB=60°，
∴ ∠DOE=90°−60°=30°，
根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半，得DE=½OD=½×4=2。
5.
∵ BE=BD−DE=12−2=10，
∴ BC=2BE=2×10=20。
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质、垂径定理、直角三角形的性质
【点评】本题通过构造等边三角形和直角三角形，结合垂径定理求解，关键在于辅助线的添加，考查学生对几何定理的综合运用能力，属于中等难度的几何题。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 延长AO交BC于点D，
∵ ∠A=∠B=60°，
∴ 在△ADB中，∠ADB=180°−∠A−∠B=60°，
∴ △ADB是等边三角形，
∴ AD=BD=AB=12。
2. 已知OA=8，
∴ OD=AD−OA=12−8=4。
3. 过点O作OE⊥BC于点E，
根据垂径定理，OE垂直平分BC，即BC=2BE，E为BC中点。
4. 在Rt△ODE中，∠ODE=∠ADB=60°，
∴ ∠DOE=90°−60°=30°，
根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半，得DE=½OD=½×4=2。
5.
∵ BE=BD−DE=12−2=10，
∴ BC=2BE=2×10=20。
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质、垂径定理、直角三角形的性质
【点评】本题通过构造等边三角形和直角三角形，结合垂径定理求解，关键在于辅助线的添加，考查学生对几何定理的综合运用能力，属于中等难度的几何题。
【难度系数】0.5
3. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,点$A$的坐标为$(8,5)$,$\odot A$与$x$轴相切,点$P$在$y$轴正半轴上,$PB$与$\odot A$相切于点$B$.若$∠ APB=30^{ \circ }$,则点$P$的坐标为 （
A.$(0,9)$
B.$(0,10)$
C.$(0,11)$
D.$(0,12)$
C
）A.$(0,9)$
B.$(0,10)$
C.$(0,11)$
D.$(0,12)$
答案
3. C 提示:如图,设$\odot A$与$x$轴相切于点C,连接AC,则$AC⊥x$轴,过点A作$AD⊥y$轴于点D,连接AB,则四边形ADOC为矩形,又因为点A的坐标为$(8,5)$,所以$AC=OD=5$,$OC=AD=8$. 因为PB是切线,所以$AB⊥PB$. 因为$∠APB=30°$,所以$PA=2AB=10$. 在$Rt△PAD$中,根据勾股定理,得$PD=\sqrt{PA^2-AD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$,所以$OP=PD+DO=11$. 因为点P在y轴的正半轴上,所以点P的坐标为$(0,11)$.
解析
【分析】
要解决本题，需利用圆的切线性质、直角三角形的性质及勾股定理。首先，根据⊙A与x轴相切确定半径长度，结合PB是切线得到直角三角形ABP，利用∠APB=30°求出PA的长度；接着构造直角三角形PAD，通过勾股定理计算PD，最终求出OP的长度，从而得到点P的坐标。
【解析】
解：如图，连接AC，因为⊙A与x轴相切于点C，所以AC⊥x轴，AC为⊙A的半径。
已知点A的坐标为(8,5)，则AC=5，OC=8。
过点A作AD⊥y轴于点D，连接AB，因为AD⊥y轴，AC⊥x轴，∠DOx=90°，所以四边形ADOC是矩形，故AD=OC=8，OD=AC=5。
因为PB是⊙A的切线，所以AB⊥PB，即△ABP是直角三角形。
在Rt△ABP中，∠APB=30°，AB=5（⊙A的半径），根据“直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半”，得PA=2AB=2×5=10。
在Rt△PAD中，AD=8，PA=10，由勾股定理得：
PD=√(PA² - AD²)=√(10² - 8²)=√36=6。
所以OP=PD + OD=6 + 5=11。
因为点P在y轴正半轴上，所以点P的坐标为(0,11)，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
圆的切线性质、直角三角形性质、勾股定理
【点评】
本题结合平面坐标系考查圆的切线相关计算，关键是通过辅助线构造直角三角形，利用30°角的性质简化计算，属于基础几何题，需掌握切线性质和直角三角形的边角关系。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需利用圆的切线性质、直角三角形的性质及勾股定理。首先，根据⊙A与x轴相切确定半径长度，结合PB是切线得到直角三角形ABP，利用∠APB=30°求出PA的长度；接着构造直角三角形PAD，通过勾股定理计算PD，最终求出OP的长度，从而得到点P的坐标。
【解析】
解：如图，连接AC，因为⊙A与x轴相切于点C，所以AC⊥x轴，AC为⊙A的半径。
已知点A的坐标为(8,5)，则AC=5，OC=8。
过点A作AD⊥y轴于点D，连接AB，因为AD⊥y轴，AC⊥x轴，∠DOx=90°，所以四边形ADOC是矩形，故AD=OC=8，OD=AC=5。
因为PB是⊙A的切线，所以AB⊥PB，即△ABP是直角三角形。
在Rt△ABP中，∠APB=30°，AB=5（⊙A的半径），根据“直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半”，得PA=2AB=2×5=10。
在Rt△PAD中，AD=8，PA=10，由勾股定理得：
PD=√(PA² - AD²)=√(10² - 8²)=√36=6。
所以OP=PD + OD=6 + 5=11。
因为点P在y轴正半轴上，所以点P的坐标为(0,11)，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
圆的切线性质、直角三角形性质、勾股定理
【点评】
本题结合平面坐标系考查圆的切线相关计算，关键是通过辅助线构造直角三角形，利用30°角的性质简化计算，属于基础几何题，需掌握切线性质和直角三角形的边角关系。
【难度系数】
0.5
4. 如图,已知$\odot O$的直径$AB = 12$,$E,F$为$AB$的三等分点,$M,N$为$\overset{\frown}{AB}$上两点,且$∠ MEB=∠ NFB=45^{ \circ }$,则$EM+FN=$
2√34
.答案
4. $2\sqrt{34}$ 提示:如图,连接NO并延长交$\odot O$于点G,连接EG,OM,过点O作$OH⊥ME$于点H. 因为$AB=12$,$E,F$为AB的三等分点,所以$AE=EF=BF=4$. 又因为$OA=OB$,所以$OA-AE=OB-BF$,即$OE=OF=2$. 又因为$∠GOE=∠NOF$,$OG=ON$,所以$△GOE≌△NOF(SAS)$,所以$EG=FN$,$∠OEG=∠OFN$. 所以$EG// FN$. 因为$∠MEB=∠NFB$,所以$EM// FN$,所以M,E,G三点共线,所以$MG=EM+EG=EM+FN$. 在$Rt△OHE$中,因为$∠HEO=45°$,$OE=2$,所以$OH=\sqrt{2}$. 在$Rt△OHM$中,因为$OM=6$,所以$MH=\sqrt{OM^2-OH^2}=\sqrt{34}$,所以$MG=2MH=2\sqrt{34}$,即$EM+FN=2\sqrt{34}$.
解析
【分析】
要解决该问题，核心是通过构造全等三角形转化线段，将所求的$EM+FN$转化为一条可计算的线段。首先根据直径和三等分点的性质确定线段长度，再构造全等三角形实现线段转化，最后利用垂径定理和勾股定理计算结果。
【解析】
已知$\odot O$的直径$AB=12$，则半径$OA=OB=OM=ON=6$。
因为E、F为AB的三等分点，所以$AE=EF=BF=4$，因此$OE=OA-AE=6-4=2$，$OF=OB-BF=6-4=2$，即$OE=OF=2$。
连接$NO$并延长交$\odot O$于点$G$，连接$EG$、$OM$，过点$O$作$OH⊥ME$于点$H$。
在$△ GOE$和$△ NOF$中：
$\begin{cases} OG=ON \\ ∠GOE=∠NOF \\ OE=OF \end{cases}$
故$△ GOE≌△ NOF(SAS)$，得$EG=FN$，$∠OEG=∠OFN$。
由$∠MEB=∠NFB=45°$，可得$∠MEB+∠OEG=∠NFB+∠OFN$，即$∠MEG=∠NFB$，故$EG// FN$，结合$ME// FN$，得$M、E、G$三点共线，因此$MG=EM+EG=EM+FN$。
在$Rt△ OHE$中，$∠HEO=45°$，$OE=2$，则$OH=OE·\sin45°=\sqrt{2}$。
在$Rt△ OHM$中，由勾股定理得：
$MH=\sqrt{OM^2-OH^2}=\sqrt{6^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{34}$。
根据垂径定理，$OH⊥ME$时$MH=HG$，故$MG=2MH=2\sqrt{34}$，即$EM+FN=2\sqrt{34}$。
【答案】
$2\sqrt{34}$
【知识点】
圆的性质，全等三角形判定，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题通过构造全等三角形转化线段，将线段和转化为单条线段，结合垂径定理与勾股定理求解，需具备辅助线构造能力，是圆中线段和计算的典型题型。
【难度系数】
0.4
要解决该问题，核心是通过构造全等三角形转化线段，将所求的$EM+FN$转化为一条可计算的线段。首先根据直径和三等分点的性质确定线段长度，再构造全等三角形实现线段转化，最后利用垂径定理和勾股定理计算结果。
【解析】
已知$\odot O$的直径$AB=12$，则半径$OA=OB=OM=ON=6$。
因为E、F为AB的三等分点，所以$AE=EF=BF=4$，因此$OE=OA-AE=6-4=2$，$OF=OB-BF=6-4=2$，即$OE=OF=2$。
连接$NO$并延长交$\odot O$于点$G$，连接$EG$、$OM$，过点$O$作$OH⊥ME$于点$H$。
在$△ GOE$和$△ NOF$中：
$\begin{cases} OG=ON \\ ∠GOE=∠NOF \\ OE=OF \end{cases}$
故$△ GOE≌△ NOF(SAS)$，得$EG=FN$，$∠OEG=∠OFN$。
由$∠MEB=∠NFB=45°$，可得$∠MEB+∠OEG=∠NFB+∠OFN$，即$∠MEG=∠NFB$，故$EG// FN$，结合$ME// FN$，得$M、E、G$三点共线，因此$MG=EM+EG=EM+FN$。
在$Rt△ OHE$中，$∠HEO=45°$，$OE=2$，则$OH=OE·\sin45°=\sqrt{2}$。
在$Rt△ OHM$中，由勾股定理得：
$MH=\sqrt{OM^2-OH^2}=\sqrt{6^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{34}$。
根据垂径定理，$OH⊥ME$时$MH=HG$，故$MG=2MH=2\sqrt{34}$，即$EM+FN=2\sqrt{34}$。
【答案】
$2\sqrt{34}$
【知识点】
圆的性质，全等三角形判定，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题通过构造全等三角形转化线段，将线段和转化为单条线段，结合垂径定理与勾股定理求解，需具备辅助线构造能力，是圆中线段和计算的典型题型。
【难度系数】
0.4
5. 如图，$AB$ 为 $\odot O$ 的直径，$AB=AC$，$BC$ 交 $\odot O$ 于点 $D$，$AC$ 交 $\odot O$ 于点 $E$，$∠ BAC=$
$45°$. 给出以下五个结论：①$∠ EBC=22.5°$；②$BD=DC$；③$AE=2EC$；④劣弧 $\overset{\frown}{AE}$ 的度数是劣弧 $\overset{\frown}{BD}$ 的度数的 2 倍；⑤$AE=BC$. 其中正确的序号是
$45°$. 给出以下五个结论：①$∠ EBC=22.5°$；②$BD=DC$；③$AE=2EC$；④劣弧 $\overset{\frown}{AE}$ 的度数是劣弧 $\overset{\frown}{BD}$ 的度数的 2 倍；⑤$AE=BC$. 其中正确的序号是
①②④
.答案
5. ①②④ 提示:连接AD,因为AB是直径,所以$AD⊥BC$. 又因为$AB=AC$,所以点D是BC的中点,AD是$∠BAC$的平分线,即$BD=DC$,故②正确; 由圆周角定理知,$∠EBC=∠DAC=\frac{1}{2}∠BAC=22.5°$,故①正确; 因为$∠ABE=90°-∠BAE=45°=2∠CAD$,所以劣弧$\overset{\frown}{AE}$是劣弧$\overset{\frown}{BD}$的2倍,故④正确; 因为$∠EBC=22.5°$,$2EC≠BE$,$AE=BE$,所以$AE≠2CE$,故③不正确; 因为$AE=BE$,在$Rt△BCE$中,BE是直角边,BC是斜边,所以$AE≠BC$,故⑤错误. 综上所述,正确的序号是①②④.
解析
【分析】
本题是圆与等腰三角形结合的几何题，解题关键是利用AB为直径的性质，结合等腰三角形AB=AC的特点，通过连接辅助线AD，运用圆周角定理、等腰三角形性质逐一判断各结论。首先由直径所对圆周角为直角，结合等腰三线合一推导BD=DC；再利用同弧圆周角相等得∠EBC的度数；最后通过圆周角与弧的度数关系、直角三角形边角关系判断其余结论。
【解析】
连接AD，
1. 因为AB是⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，得∠ADB=90°，即AD⊥BC。又AB=AC，△ABC为等腰三角形，由等腰三角形三线合一，AD是BC的中线，故BD=DC，结论②正确；同时AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠DAC=½∠BAC=½×45°=22.5°。
2. 因为AB是直径，所以∠AEB=90°，即BE⊥AC，故∠BEC=90°。根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，∠EBC与∠DAC都是弧EC所对的圆周角，所以∠EBC=∠DAC=22.5°，结论①正确。
3. 圆周角的度数等于所对弧度数的一半：弧AE所对的圆周角是∠ABE，在Rt△ABE中，∠BAE=45°，∠AEB=90°，故∠ABE=90°-45°=45°，则弧AE的度数=2×∠ABE=90°；弧BD所对的圆周角是∠BAD，∠BAD=22.5°，则弧BD的度数=2×∠BAD=45°。因此劣弧$\overset{\frown}{AE}$的度数是劣弧$\overset{\frown}{BD}$度数的2倍，结论④正确。
4. 对结论③：AE=BE，在Rt△BEC中，∠EBC=22.5°，则EC=BE·tan22.5°≈0.414BE，故AE=BE≠2EC，结论③错误。
5. 对结论⑤：AE=BE，在Rt△BCE中，BC是斜边，BE是直角边，所以BE＜BC，即AE＜BC，结论⑤错误。
综上，正确结论为①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
圆的性质、等腰三角形性质、圆周角定理
【点评】
本题综合考查圆与等腰三角形的核心性质，需熟练掌握直径所对圆周角为直角、等腰三线合一、圆周角与弧的关系，逐一分析各结论，难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.6
本题是圆与等腰三角形结合的几何题，解题关键是利用AB为直径的性质，结合等腰三角形AB=AC的特点，通过连接辅助线AD，运用圆周角定理、等腰三角形性质逐一判断各结论。首先由直径所对圆周角为直角，结合等腰三线合一推导BD=DC；再利用同弧圆周角相等得∠EBC的度数；最后通过圆周角与弧的度数关系、直角三角形边角关系判断其余结论。
【解析】
连接AD，
1. 因为AB是⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，得∠ADB=90°，即AD⊥BC。又AB=AC，△ABC为等腰三角形，由等腰三角形三线合一，AD是BC的中线，故BD=DC，结论②正确；同时AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠DAC=½∠BAC=½×45°=22.5°。
2. 因为AB是直径，所以∠AEB=90°，即BE⊥AC，故∠BEC=90°。根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，∠EBC与∠DAC都是弧EC所对的圆周角，所以∠EBC=∠DAC=22.5°，结论①正确。
3. 圆周角的度数等于所对弧度数的一半：弧AE所对的圆周角是∠ABE，在Rt△ABE中，∠BAE=45°，∠AEB=90°，故∠ABE=90°-45°=45°，则弧AE的度数=2×∠ABE=90°；弧BD所对的圆周角是∠BAD，∠BAD=22.5°，则弧BD的度数=2×∠BAD=45°。因此劣弧$\overset{\frown}{AE}$的度数是劣弧$\overset{\frown}{BD}$度数的2倍，结论④正确。
4. 对结论③：AE=BE，在Rt△BEC中，∠EBC=22.5°，则EC=BE·tan22.5°≈0.414BE，故AE=BE≠2EC，结论③错误。
5. 对结论⑤：AE=BE，在Rt△BCE中，BC是斜边，BE是直角边，所以BE＜BC，即AE＜BC，结论⑤错误。
综上，正确结论为①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
圆的性质、等腰三角形性质、圆周角定理
【点评】
本题综合考查圆与等腰三角形的核心性质，需熟练掌握直径所对圆周角为直角、等腰三线合一、圆周角与弧的关系，逐一分析各结论，难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.6
6. 如图，OA，OB，OC 都是$\odot O$的半径，
$∠ ACB = 2∠ BAC.$
(1) 求证:$∠ AOB = 2∠ BOC.$
(2) 若$AB = 4, BC = \sqrt{5}$,求$\odot O$的半径.
$∠ ACB = 2∠ BAC.$
(1) 求证:$∠ AOB = 2∠ BOC.$
(2) 若$AB = 4, BC = \sqrt{5}$,求$\odot O$的半径.
答案
6. (1) 证明:因为$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB}$,所以$∠ACB=\frac{1}{2}∠AOB$. 因为$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}$,所以$∠BAC=\frac{1}{2}∠BOC$. 因为$∠ACB=2∠BAC$,所以$∠AOB=2∠BOC$.
(2) 解:如图,过点O作半径$OD⊥AB$于点E,连接BD,则$∠DOB=\frac{1}{2}∠AOB$,$AE=BE$. 因为$∠AOB=2∠BOC$,所以$∠DOB=∠BOC$,所以$BD=BC$. 因为$AB=4$,$BC=\sqrt{5}$,所以$BE=2$,$DB=\sqrt{5}$. 在$Rt△BDE$中,因为$∠DEB=90°$,所以$DE=\sqrt{BD^2-BE^2}=1$. 在$Rt△BOE$中,因为$∠OEB=90°$,所以$OB^2=(OB-1)^2+2^2$,所以$OB=\frac{5}{2}$,即$\odot O$的半径是$\frac{5}{2}$.
解析
【分析】
第(1)问利用圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，分别建立∠ACB与∠AOB、∠BAC与∠BOC的关系，结合已知∠ACB=2∠BAC推导结论；第(2)问通过作OD⊥AB，用垂径定理得AB中点，结合(1)的角关系得到弦BD=BC，再在两个直角三角形中用勾股定理列方程求半径。
【解析】
(1) 证明：在$\odot O$中，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，
$\because \overset{\frown}{AB}$所对的圆周角为$∠ ACB$，圆心角为$∠ AOB$，
$\therefore ∠ ACB = \frac{1}{2}∠ AOB$；
同理，$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角为$∠ BAC$，圆心角为$∠ BOC$，
$\therefore ∠ BAC = \frac{1}{2}∠ BOC$。
已知$∠ ACB = 2∠ BAC$，代入得：$\frac{1}{2}∠ AOB = 2×\frac{1}{2}∠ BOC$，化简得$∠ AOB = 2∠ BOC$，得证。
(2) 解：过点$O$作$OD ⊥ AB$于点$E$，交$\odot O$于点$D$，连接$BD$。
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，$\therefore AE = BE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×4 = 2$。
由圆周角定理，$∠ DOB = \frac{1}{2}∠ AOB$，
结合(1)的结论$∠ AOB = 2∠ BOC$，得$∠ DOB = \frac{1}{2}×2∠ BOC = ∠ BOC$。
在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，$\therefore BD = BC = \sqrt{5}$。
在$Rt△ BDE$中，$∠ DEB = 90°$，由勾股定理：
$DE = \sqrt{BD^2 - BE^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \sqrt{5 - 4} = 1$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OB = OD = r$，$OE = OD - DE = r - 1$。
在$Rt△ BOE$中，$∠ OEB = 90°$，由勾股定理：
$OB^2 = OE^2 + BE^2$，即$r^2 = (r - 1)^2 + 2^2$，
展开化简：$r^2 = r^2 - 2r + 1 + 4$，
移项得：$2r = 5$，解得$r = \frac{5}{2}$。
即$\odot O$的半径为$\frac{5}{2}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\frac{5}{2}$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题综合运用圆的相关定理与勾股定理，核心是利用圆周角定理转化角的关系，结合垂径定理构造直角三角形求解半径，是圆中求半径的典型题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
第(1)问利用圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，分别建立∠ACB与∠AOB、∠BAC与∠BOC的关系，结合已知∠ACB=2∠BAC推导结论；第(2)问通过作OD⊥AB，用垂径定理得AB中点，结合(1)的角关系得到弦BD=BC，再在两个直角三角形中用勾股定理列方程求半径。
【解析】
(1) 证明：在$\odot O$中，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，
$\because \overset{\frown}{AB}$所对的圆周角为$∠ ACB$，圆心角为$∠ AOB$，
$\therefore ∠ ACB = \frac{1}{2}∠ AOB$；
同理，$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角为$∠ BAC$，圆心角为$∠ BOC$，
$\therefore ∠ BAC = \frac{1}{2}∠ BOC$。
已知$∠ ACB = 2∠ BAC$，代入得：$\frac{1}{2}∠ AOB = 2×\frac{1}{2}∠ BOC$，化简得$∠ AOB = 2∠ BOC$，得证。
(2) 解：过点$O$作$OD ⊥ AB$于点$E$，交$\odot O$于点$D$，连接$BD$。
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，$\therefore AE = BE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×4 = 2$。
由圆周角定理，$∠ DOB = \frac{1}{2}∠ AOB$，
结合(1)的结论$∠ AOB = 2∠ BOC$，得$∠ DOB = \frac{1}{2}×2∠ BOC = ∠ BOC$。
在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，$\therefore BD = BC = \sqrt{5}$。
在$Rt△ BDE$中，$∠ DEB = 90°$，由勾股定理：
$DE = \sqrt{BD^2 - BE^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \sqrt{5 - 4} = 1$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OB = OD = r$，$OE = OD - DE = r - 1$。
在$Rt△ BOE$中，$∠ OEB = 90°$，由勾股定理：
$OB^2 = OE^2 + BE^2$，即$r^2 = (r - 1)^2 + 2^2$，
展开化简：$r^2 = r^2 - 2r + 1 + 4$，
移项得：$2r = 5$，解得$r = \frac{5}{2}$。
即$\odot O$的半径为$\frac{5}{2}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\frac{5}{2}$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题综合运用圆的相关定理与勾股定理，核心是利用圆周角定理转化角的关系，结合垂径定理构造直角三角形求解半径，是圆中求半径的典型题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
7. 如图, A B 是 $\odot O$ 的直径, A C 是弦, D 是$\widehat{AC}$ 上一点, P 是 A B 延长线上一点, 连接
$A D, D C, C P.$
(1) 求证: $∠ A D C-∠ B A C=90°$.
(2) 若 $∠ A C P=∠ A D C, \odot O$ 的半径为 3 ,$C P=4$, 求 A P 的长.
$A D, D C, C P.$
(1) 求证: $∠ A D C-∠ B A C=90°$.
(2) 若 $∠ A C P=∠ A D C, \odot O$ 的半径为 3 ,$C P=4$, 求 A P 的长.
答案
7. (1) 证法一:如图1,连接BD. 因为$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}$,所以$∠BDC=∠BAC$. 因为AB是$\odot O$的直径,所以$∠ADB=90°$. 因为$∠ADC=∠ADB+∠BDC$,$∠BAC=∠BDC$,所以$∠ADC=90°+∠BAC$,所以$∠ADC-∠BAC=90°$.
证法二:如图2,连接BC. 因为四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,所以$∠ADC+∠ABC=180°$,所以$∠ABC=180°-∠ADC$. 因为AB是$\odot O$的直径,所以$∠ACB=90°$,所以$∠BAC+∠ABC=90°$,所以$∠BAC+180°-∠ADC=90°$,所以$∠ADC-∠BAC=90°$.
(2) 解:如图3,连接OC. 因为$∠ACP=∠ADC$,$∠ADC-∠BAC=90°$,所以$∠ACP-∠BAC=90°$. 因为$OA=OC$,所以$∠BAC=∠ACO$,所以$∠ACP-∠ACO=90°$,所以$∠OCP=90°$. 因为$\odot O$的半径为3,所以$OA=OC=3$. 在$Rt△OCP$中,$OP^2=OC^2+CP^2$,$CP=4$,所以$OP=\sqrt{3^2+4^2}=5$,所以$AP=OA+OP=8$.
解析
【分析】
解决本题需利用圆的核心性质推导角的关系：第(1)问通过直径所对圆周角为直角、圆内接四边形对角互补进行角转换，证明结论；第(2)问结合第(1)问的角关系，利用等腰三角形底角相等转换角，证明直角三角形后用勾股定理计算线段长度。
【解析】
(1) 证法：连接BC，如图2。
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠ADC + ∠ABC = 180°，即∠ABC = 180° - ∠ADC。
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB = 90°（直径所对的圆周角为直角），
∴ 在Rt△ABC中，∠BAC + ∠ABC = 90°，
将∠ABC = 180° - ∠ADC代入得：∠BAC + (180° - ∠ADC) = 90°，
整理得：∠ADC - ∠BAC = 90°。
(2) 解：连接OC，如图3。
已知∠ACP = ∠ADC，结合(1)中结论∠ADC - ∠BAC = 90°，
得：∠ACP - ∠BAC = 90°。
∵ OA = OC（⊙O的半径），
∴ ∠BAC = ∠ACO（等腰三角形两底角相等），
∴ ∠ACP - ∠ACO = ∠OCP = 90°，即△OCP是直角三角形。
∵ ⊙O的半径为3，
∴ OC = OA = 3，又CP = 4，
在Rt△OCP中，由勾股定理得：OP² = OC² + CP² = 3² + 4² = 25，
∴ OP = 5，
∴ AP = OA + OP = 3 + 5 = 8。
【答案】
7. (1) 证法二:如图2,连接BC. 因为四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,所以$∠ADC+∠ABC=180°$,所以$∠ABC=180°-∠ADC$. 因为AB是$\odot O$的直径,所以$∠ACB=90°$,所以$∠BAC+∠ABC=90°$,所以$∠BAC+180°-∠ADC=90°$,所以$∠ADC-∠BAC=90°$.
(2) 解:如图3,连接OC. 因为$∠ACP=∠ADC$,$∠ADC-∠BAC=90°$,所以$∠ACP-∠BAC=90°$. 因为$OA=OC$,所以$∠BAC=∠ACO$,所以$∠ACP-∠ACO=90°$,所以$∠OCP=90°$. 因为$\odot O$的半径为3,所以$OA=OC=3$. 在$Rt△OCP$中,$OP^2=OC^2+CP^2$,$CP=4$,所以$OP=\sqrt{3^2+4^2}=5$,所以$AP=OA+OP=8$.
【知识点】
圆周角定理、圆内接四边形性质、勾股定理
【点评】
本题是圆的综合题，核心考查圆的性质与直角三角形的应用，解题关键是通过辅助线转换角的关系，将未知角与已知条件关联，需熟练掌握圆的基础性质，难度适中。
【难度系数】
0.5
解决本题需利用圆的核心性质推导角的关系：第(1)问通过直径所对圆周角为直角、圆内接四边形对角互补进行角转换，证明结论；第(2)问结合第(1)问的角关系，利用等腰三角形底角相等转换角，证明直角三角形后用勾股定理计算线段长度。
【解析】
(1) 证法：连接BC，如图2。
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠ADC + ∠ABC = 180°，即∠ABC = 180° - ∠ADC。
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB = 90°（直径所对的圆周角为直角），
∴ 在Rt△ABC中，∠BAC + ∠ABC = 90°，
将∠ABC = 180° - ∠ADC代入得：∠BAC + (180° - ∠ADC) = 90°，
整理得：∠ADC - ∠BAC = 90°。
(2) 解：连接OC，如图3。
已知∠ACP = ∠ADC，结合(1)中结论∠ADC - ∠BAC = 90°，
得：∠ACP - ∠BAC = 90°。
∵ OA = OC（⊙O的半径），
∴ ∠BAC = ∠ACO（等腰三角形两底角相等），
∴ ∠ACP - ∠ACO = ∠OCP = 90°，即△OCP是直角三角形。
∵ ⊙O的半径为3，
∴ OC = OA = 3，又CP = 4，
在Rt△OCP中，由勾股定理得：OP² = OC² + CP² = 3² + 4² = 25，
∴ OP = 5，
∴ AP = OA + OP = 3 + 5 = 8。
【答案】
7. (1) 证法二:如图2,连接BC. 因为四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,所以$∠ADC+∠ABC=180°$,所以$∠ABC=180°-∠ADC$. 因为AB是$\odot O$的直径,所以$∠ACB=90°$,所以$∠BAC+∠ABC=90°$,所以$∠BAC+180°-∠ADC=90°$,所以$∠ADC-∠BAC=90°$.
(2) 解:如图3,连接OC. 因为$∠ACP=∠ADC$,$∠ADC-∠BAC=90°$,所以$∠ACP-∠BAC=90°$. 因为$OA=OC$,所以$∠BAC=∠ACO$,所以$∠ACP-∠ACO=90°$,所以$∠OCP=90°$. 因为$\odot O$的半径为3,所以$OA=OC=3$. 在$Rt△OCP$中,$OP^2=OC^2+CP^2$,$CP=4$,所以$OP=\sqrt{3^2+4^2}=5$,所以$AP=OA+OP=8$.
【知识点】
圆周角定理、圆内接四边形性质、勾股定理
【点评】
本题是圆的综合题，核心考查圆的性质与直角三角形的应用，解题关键是通过辅助线转换角的关系，将未知角与已知条件关联，需熟练掌握圆的基础性质，难度适中。
【难度系数】
0.5
