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家庭用电量是家庭能源消耗的直观体现,通过统计分析用电量的平均水平与波动情况,能为节能规划提供参考.小明将全班40名同学分为5组,每组8名同学,各组收集本组每位同学所在家庭上个月的用电量.通过小明收集的数据,完成下列探究.
【数据整理】
步骤一:计算每组数据的平均数和方差.
(1)小明所在小组(第1组)收集到的数据(单位:kW·h)分别为:110,114,130,107,140,125,135,115.小明已经将其他组数据的平均数和方差(结果保留整数)汇总如表格,请补充表格.
步骤二:计算全班数据的平均数和方差.
(2)通过计算,全班数据的方差为210,请你帮小明用表格中的数据计算全班数据的平均数.
步骤三:用统计图表示样本平均数与总体平均数的关系和样本方差与总体方差的关系.
(3)在图1中描出各组平均数所对应的点,并画一条纵坐标为全班平均数的水平直线;在图2中描出各组方差所对应的点,并画一条纵坐标为全班方差的水平直线.观察两个图中点与直线的位置关系,说说你的发现.
【数据分析】
(4)若将“每组数据(8户)”视为“样本”,“全班40户数据”视为“总体”,结合用电量数据回答:样本的平均数、方差与总体的平均数、方差有怎样的联系?抽样调查时,为了让样本更准确反映总体,应注意什么?(从样本的代表性、容量等角度说明)
(5)全班数据反映的是“40户家庭一个月的用电量”.思考:能否用“全班数据的平均数和方差”估计“这40户家庭全年月平均用电量的平均数和方差”?请说明理由.
【数据整理】
步骤一:计算每组数据的平均数和方差.
(1)小明所在小组(第1组)收集到的数据(单位:kW·h)分别为:110,114,130,107,140,125,135,115.小明已经将其他组数据的平均数和方差(结果保留整数)汇总如表格,请补充表格.
步骤二:计算全班数据的平均数和方差.
(2)通过计算,全班数据的方差为210,请你帮小明用表格中的数据计算全班数据的平均数.
步骤三:用统计图表示样本平均数与总体平均数的关系和样本方差与总体方差的关系.
(3)在图1中描出各组平均数所对应的点,并画一条纵坐标为全班平均数的水平直线;在图2中描出各组方差所对应的点,并画一条纵坐标为全班方差的水平直线.观察两个图中点与直线的位置关系,说说你的发现.
【数据分析】
(4)若将“每组数据(8户)”视为“样本”,“全班40户数据”视为“总体”,结合用电量数据回答:样本的平均数、方差与总体的平均数、方差有怎样的联系?抽样调查时,为了让样本更准确反映总体,应注意什么?(从样本的代表性、容量等角度说明)
(5)全班数据反映的是“40户家庭一个月的用电量”.思考:能否用“全班数据的平均数和方差”估计“这40户家庭全年月平均用电量的平均数和方差”?请说明理由.
答案
解：(1) 第1组平均数：
$\overline{x}_1=\frac{1}{8}×(110+114+130+107+140+125+135+115)=\frac{976}{8}=122$
第1组方差：
$s_1^2=\frac{1}{8}×[(110-122)^2+(114-122)^2+(130-122)^2+(107-122)^2+(140-122)^2+(125-122)^2+(135-122)^2+(115-122)^2]$
$=\frac{1}{8}×1048=131$
所以表格第1行依次填入：$\boldsymbol{122}$，$\boldsymbol{131}$。
(2) 全班共40名学生，每组8户，全班平均数为：
$\overline{x}=\frac{8×122 + 8×128 + 8×130 + 8×113 + 8×117}{40}$
$=\frac{8×(122+128+130+113+117)}{40}$
$=\frac{610}{5}=122$
答：全班数据的平均数为122。
(3) 描点：图1中依次描出点$(1,122)$、$(2,128)$、$(3,130)$、$(4,113)$、$(5,117)$，过纵轴刻度122作水平直线；
图2中依次描出点$(1,131)$、$(2,173)$、$(3,190)$、$(4,131)$、$(5,281)$，过纵轴刻度210作水平直线。
发现：各组样本平均数分布在全班总体平均数的上下两侧，在总体平均数附近波动；各组样本方差也分布在全班总体方差的上下两侧，在总体方差附近波动。
(4) 联系：所有样本平均数的加权平均数等于总体平均数，单个样本的平均数在总体平均数附近波动；单个样本的方差也在总体方差附近波动。
注意事项：抽样时要保证样本具有代表性，样本容量不能过小，样本需随机抽取，覆盖不同特征的对象，避免样本偏向某一特定群体，这样样本的统计量才能更贴近总体的统计量。
(5) 不能。理由：仅统计了40户家庭一个月的用电量，不同月份的用电量受季节、气温、作息习惯等因素影响，存在明显差异，单月数据不具备全年的代表性，因此无法用单月的平均数和方差准确估计全年月平均用电量的平均数和方差。
$\overline{x}_1=\frac{1}{8}×(110+114+130+107+140+125+135+115)=\frac{976}{8}=122$
第1组方差：
$s_1^2=\frac{1}{8}×[(110-122)^2+(114-122)^2+(130-122)^2+(107-122)^2+(140-122)^2+(125-122)^2+(135-122)^2+(115-122)^2]$
$=\frac{1}{8}×1048=131$
所以表格第1行依次填入：$\boldsymbol{122}$，$\boldsymbol{131}$。
(2) 全班共40名学生，每组8户，全班平均数为：
$\overline{x}=\frac{8×122 + 8×128 + 8×130 + 8×113 + 8×117}{40}$
$=\frac{8×(122+128+130+113+117)}{40}$
$=\frac{610}{5}=122$
答：全班数据的平均数为122。
(3) 描点：图1中依次描出点$(1,122)$、$(2,128)$、$(3,130)$、$(4,113)$、$(5,117)$，过纵轴刻度122作水平直线；
图2中依次描出点$(1,131)$、$(2,173)$、$(3,190)$、$(4,131)$、$(5,281)$，过纵轴刻度210作水平直线。
发现：各组样本平均数分布在全班总体平均数的上下两侧，在总体平均数附近波动；各组样本方差也分布在全班总体方差的上下两侧，在总体方差附近波动。
(4) 联系：所有样本平均数的加权平均数等于总体平均数，单个样本的平均数在总体平均数附近波动；单个样本的方差也在总体方差附近波动。
注意事项：抽样时要保证样本具有代表性，样本容量不能过小，样本需随机抽取，覆盖不同特征的对象，避免样本偏向某一特定群体，这样样本的统计量才能更贴近总体的统计量。
(5) 不能。理由：仅统计了40户家庭一个月的用电量，不同月份的用电量受季节、气温、作息习惯等因素影响，存在明显差异，单月数据不具备全年的代表性，因此无法用单月的平均数和方差准确估计全年月平均用电量的平均数和方差。
解析
【分析】
(1) 计算第1组的平均数和方差，直接套用对应公式即可：平均数为组内8个数据的和除以数据个数8；方差为每个数据与组平均数的差的平方之和除以8，按步骤计算即可补全表格。
(2) 全班平均数属于加权平均数，每组样本容量均为8，因此将每组平均数乘每组人数求和，再除以总人数40，即可得到全班数据的平均数，也可因各组权重相同直接计算5组平均数的算术平均。
(3) 按照各组的序号、平均数、方差对应描点，再分别画出纵坐标为全班平均数、全班方差的水平直线，观察点与直线的位置关系，就能总结出样本统计量的波动规律。
(4) 结合前面的计算结果和图像特征，可总结出样本与总体平均数、方差的联系；为让样本更准确反映总体，抽样时需保证样本具有代表性、随机性，同时样本容量不宜过小。
(5) 判断能否用单月数据估计全年情况，核心看样本是否具备对全年的代表性：单月用电量受季节、气温等因素影响较大，无法代表全年各月的用电特征，因此不能直接估计。
【解析】
(1) 计算第1组平均数：
$\overline{x}_1=\frac{1}{8}×(110+114+130+107+140+125+135+115)=\frac{976}{8}=122$
计算第1组方差：
$s_1^2=\frac{1}{8}×[(110-122)^2+(114-122)^2+(130-122)^2+(107-122)^2+(140-122)^2+(125-122)^2+(135-122)^2+(115-122)^2]$
$=\frac{1}{8}×1048=131$
因此表格第1行依次填入122、131。
(2) 全班共40名学生，每组8户，全班平均数计算如下：
$\overline{x}=\frac{8×122 + 8×128 + 8×130 + 8×113 + 8×117}{40}$
$=\frac{8×(122+128+130+113+117)}{40}$
$=\frac{610}{5}=122$
(3) 描点操作：图1中依次描出点$(1,122)$、$(2,128)$、$(3,130)$、$(4,113)$、$(5,117)$，过纵轴刻度122作水平直线；图2中依次描出点$(1,131)$、$(2,173)$、$(3,190)$、$(4,131)$、$(5,281)$，过纵轴刻度210作水平直线。
观察发现：各组样本平均数分布在全班总体平均数的上下两侧，在总体平均数附近波动；各组样本方差也分布在全班总体方差的上下两侧，在总体方差附近波动。
(4) 联系：所有样本平均数的加权平均数等于总体平均数，单个样本的平均数在总体平均数附近波动；单个样本的方差也在总体方差附近波动。
注意事项：抽样时要保证样本具有代表性，需随机抽取样本，覆盖不同特征的对象，避免样本偏向某一特定群体，同时样本容量不能过小，这样样本的统计量才能更贴近总体的统计量。
(5) 不能。理由：仅统计了40户家庭一个月的用电量，不同月份的用电量受季节、气温、作息习惯等因素影响，存在明显差异，单月数据不具备全年的代表性，因此无法用单月的平均数和方差准确估计全年月平均用电量的平均数和方差。
【答案】
(1) $\boldsymbol{122}$，$\boldsymbol{131}$；
(2) $\boldsymbol{122}$；
(3) 描点、画直线见解析，发现：各组样本平均数、方差均在总体平均数、方差附近上下波动；
(4) 联系：所有样本平均数的加权平均数等于总体平均数，单个样本的平均数、方差均在总体对应统计量附近波动；注意事项：抽样需保证样本随机、具有代表性，样本容量足够大；
(5) 不能，理由：单月用电量受季节、气温等因素影响，无法代表全年各月用电特征，不具备全年的代表性。
【知识点】
平均数计算、方差计算、用样本估计总体
【点评】
本题结合家庭用电量的实际生活场景，以探究形式串联统计核心知识点，既考查了平均数、方差的基础运算能力，又引导学生理解样本与总体的关系，体会统计知识在实际决策中的应用价值，综合性适中，贴合统计知识的应用考查要求。
【难度系数】
0.7
(1) 计算第1组的平均数和方差，直接套用对应公式即可：平均数为组内8个数据的和除以数据个数8；方差为每个数据与组平均数的差的平方之和除以8，按步骤计算即可补全表格。
(2) 全班平均数属于加权平均数，每组样本容量均为8，因此将每组平均数乘每组人数求和，再除以总人数40，即可得到全班数据的平均数，也可因各组权重相同直接计算5组平均数的算术平均。
(3) 按照各组的序号、平均数、方差对应描点，再分别画出纵坐标为全班平均数、全班方差的水平直线，观察点与直线的位置关系，就能总结出样本统计量的波动规律。
(4) 结合前面的计算结果和图像特征，可总结出样本与总体平均数、方差的联系；为让样本更准确反映总体，抽样时需保证样本具有代表性、随机性，同时样本容量不宜过小。
(5) 判断能否用单月数据估计全年情况，核心看样本是否具备对全年的代表性：单月用电量受季节、气温等因素影响较大，无法代表全年各月的用电特征，因此不能直接估计。
【解析】
(1) 计算第1组平均数：
$\overline{x}_1=\frac{1}{8}×(110+114+130+107+140+125+135+115)=\frac{976}{8}=122$
计算第1组方差：
$s_1^2=\frac{1}{8}×[(110-122)^2+(114-122)^2+(130-122)^2+(107-122)^2+(140-122)^2+(125-122)^2+(135-122)^2+(115-122)^2]$
$=\frac{1}{8}×1048=131$
因此表格第1行依次填入122、131。
(2) 全班共40名学生，每组8户，全班平均数计算如下：
$\overline{x}=\frac{8×122 + 8×128 + 8×130 + 8×113 + 8×117}{40}$
$=\frac{8×(122+128+130+113+117)}{40}$
$=\frac{610}{5}=122$
(3) 描点操作：图1中依次描出点$(1,122)$、$(2,128)$、$(3,130)$、$(4,113)$、$(5,117)$，过纵轴刻度122作水平直线；图2中依次描出点$(1,131)$、$(2,173)$、$(3,190)$、$(4,131)$、$(5,281)$，过纵轴刻度210作水平直线。
观察发现：各组样本平均数分布在全班总体平均数的上下两侧，在总体平均数附近波动；各组样本方差也分布在全班总体方差的上下两侧，在总体方差附近波动。
(4) 联系：所有样本平均数的加权平均数等于总体平均数，单个样本的平均数在总体平均数附近波动；单个样本的方差也在总体方差附近波动。
注意事项：抽样时要保证样本具有代表性，需随机抽取样本，覆盖不同特征的对象，避免样本偏向某一特定群体，同时样本容量不能过小，这样样本的统计量才能更贴近总体的统计量。
(5) 不能。理由：仅统计了40户家庭一个月的用电量，不同月份的用电量受季节、气温、作息习惯等因素影响，存在明显差异，单月数据不具备全年的代表性，因此无法用单月的平均数和方差准确估计全年月平均用电量的平均数和方差。
【答案】
(1) $\boldsymbol{122}$，$\boldsymbol{131}$；
(2) $\boldsymbol{122}$；
(3) 描点、画直线见解析，发现：各组样本平均数、方差均在总体平均数、方差附近上下波动；
(4) 联系：所有样本平均数的加权平均数等于总体平均数，单个样本的平均数、方差均在总体对应统计量附近波动；注意事项：抽样需保证样本随机、具有代表性，样本容量足够大；
(5) 不能，理由：单月用电量受季节、气温等因素影响，无法代表全年各月用电特征，不具备全年的代表性。
【知识点】
平均数计算、方差计算、用样本估计总体
【点评】
本题结合家庭用电量的实际生活场景，以探究形式串联统计核心知识点，既考查了平均数、方差的基础运算能力，又引导学生理解样本与总体的关系，体会统计知识在实际决策中的应用价值，综合性适中，贴合统计知识的应用考查要求。
【难度系数】
0.7
