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6. 下列命题中正确的个数为 （）
①$△ ABC$的三边长是$a,b,c$，若$a:b:c=4:5:3$，则$△ ABC$是直角三角形；
②有一个内角等于其他两个内角和的三角形是直角三角形；③$△ ABC$的三边$BC,AC,AB$的长分别为$a,b,c$，若$a^2 + c^2 = b^2$，则$∠ C=90°$；④在$△ ABC$中，$∠ A:∠ B:∠ C=1:5:6$，则$△ ABC$是直角三角形。
A.1
B.2
C.3
D.4
①$△ ABC$的三边长是$a,b,c$，若$a:b:c=4:5:3$，则$△ ABC$是直角三角形；
②有一个内角等于其他两个内角和的三角形是直角三角形；③$△ ABC$的三边$BC,AC,AB$的长分别为$a,b,c$，若$a^2 + c^2 = b^2$，则$∠ C=90°$；④在$△ ABC$中，$∠ A:∠ B:∠ C=1:5:6$，则$△ ABC$是直角三角形。
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
C
解析
逐个判断命题：
1. 对①：设三边长为$4k,5k,3k(k＞0)$，由$(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2=(5k)^2$，满足勾股定理，故$△ ABC$是直角三角形，①正确。
2. 对②：三角形内角和为$180°$，若一个内角等于另外两个内角和，则该角为$180°÷2=90°$，该三角形是直角三角形，②正确。
3. 对③：若$a^2+c^2=b^2$，$b$是边$AC$，其对应的角是$∠ B$，故$∠ B=90°$，不是$∠ C=90°$，③错误。
4. 对④：三个角总份数为$1+5+6=12$，最大角$∠ C=180°×\frac{6}{12}=90°$，故$△ ABC$是直角三角形，④正确。
综上，正确命题共3个。
1. 对①：设三边长为$4k,5k,3k(k＞0)$，由$(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2=(5k)^2$，满足勾股定理，故$△ ABC$是直角三角形，①正确。
2. 对②：三角形内角和为$180°$，若一个内角等于另外两个内角和，则该角为$180°÷2=90°$，该三角形是直角三角形，②正确。
3. 对③：若$a^2+c^2=b^2$，$b$是边$AC$，其对应的角是$∠ B$，故$∠ B=90°$，不是$∠ C=90°$，③错误。
4. 对④：三个角总份数为$1+5+6=12$，最大角$∠ C=180°×\frac{6}{12}=90°$，故$△ ABC$是直角三角形，④正确。
综上，正确命题共3个。
7.某木工做一个长方形桌面，完工后量得桌面的长为2.4 m，宽为1.8 m，对角线长为3 m，则这个桌面（填“合格”或“不合格”）。
答案
合格
解析
解：
$\because 2.4^2 + 1.8^2 = 5.76 + 3.24 = 9$，
$3^2 = 9$，
$\therefore 2.4^2 + 1.8^2 = 3^2$，
由勾股定理的逆定理可知，桌面的长、宽与对角线构成直角三角形，说明桌面的长和宽互相垂直，符合长方形的要求。
$\therefore$ 这个桌面合格。
$\because 2.4^2 + 1.8^2 = 5.76 + 3.24 = 9$，
$3^2 = 9$，
$\therefore 2.4^2 + 1.8^2 = 3^2$，
由勾股定理的逆定理可知，桌面的长、宽与对角线构成直角三角形，说明桌面的长和宽互相垂直，符合长方形的要求。
$\therefore$ 这个桌面合格。
8. 在$△ ABC$中，如果$(a + b)(a - b) = c^2$，那么$∠$$= 90°$。
答案
$A$
解析
解：
∵ $(a+b)(a-b)=c^2$
∴ $a^2 - b^2 = c^2$，整理得 $a^2 = b^2 + c^2$
由勾股定理的逆定理可知，边$a$是$△ ABC$的斜边，斜边所对的角为$∠ A$，
∴ $∠ A = 90°$
∵ $(a+b)(a-b)=c^2$
∴ $a^2 - b^2 = c^2$，整理得 $a^2 = b^2 + c^2$
由勾股定理的逆定理可知，边$a$是$△ ABC$的斜边，斜边所对的角为$∠ A$，
∴ $∠ A = 90°$
9. 如图,有一个形状为直角梯形的零件ABCD,AD//BC,斜腰DC的长为10 cm,∠D=120°,则该零件另一腰AB的长是cm.
（第9题图）
（第10题图）
（第11题图）
（第9题图）（第10题图）
（第11题图）
答案
$\boldsymbol{5\sqrt{3}}$
解析
解：过点D作DE⊥BC于点E，
∵ AD//BC，∠B=90°，
∴ ∠A=∠B=∠DEB=90°，
∴ 四边形ABED是矩形，
∴ AB=DE。
∵ AD//BC，
∴ ∠ADC + ∠C = 180°，
∵ ∠ADC=120°，
∴ ∠C=180°-120°=60°。
在Rt△DEC中，∠DEC=90°，∠C=60°，DC=10 cm，
∴ ∠EDC=30°，
∴ EC = $\frac{1}{2}$DC = 5 cm，
由勾股定理得：$DE = \sqrt{DC^2 - EC^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = 5\sqrt{3}$ cm，
∴ AB=$5\sqrt{3}$ cm。
∵ AD//BC，∠B=90°，
∴ ∠A=∠B=∠DEB=90°，
∴ 四边形ABED是矩形，
∴ AB=DE。
∵ AD//BC，
∴ ∠ADC + ∠C = 180°，
∵ ∠ADC=120°，
∴ ∠C=180°-120°=60°。
在Rt△DEC中，∠DEC=90°，∠C=60°，DC=10 cm，
∴ ∠EDC=30°，
∴ EC = $\frac{1}{2}$DC = 5 cm，
由勾股定理得：$DE = \sqrt{DC^2 - EC^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = 5\sqrt{3}$ cm，
∴ AB=$5\sqrt{3}$ cm。
10.如图，以$\mathrm{Rt}△ ABC$的三边为边向外作正方形，其面积分别为$S_1,S_2,S_3$，且$S_1=4,S_2=8$，则AB的长为。
答案
$\boldsymbol{2\sqrt{3}}$
解析
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，
∴ 由勾股定理得：$BC^2 + AC^2 = AB^2$。
由题意可知：$S_1 = BC^2 = 4$，$S_2 = AC^2 = 8$，
代入得：$AB^2 = 4 + 8 = 12$，
∵ 边长为正数，
∴ $AB = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$。
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，
∴ 由勾股定理得：$BC^2 + AC^2 = AB^2$。
由题意可知：$S_1 = BC^2 = 4$，$S_2 = AC^2 = 8$，
代入得：$AB^2 = 4 + 8 = 12$，
∵ 边长为正数，
∴ $AB = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$。
11.如图,已知∠A=90°,AC=AB=8,CD=4,BD=12,则∠ACD=度.
答案
$\boldsymbol{45}$
解析
解：连接BC，
∵ ∠A=90°，AC=AB=8，
∴ 在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$BC^2 = AC^2 + AB^2 = 8^2 + 8^2 = 128$，
且$∠ ACB = 45°$。
又∵ $CD=4$，$BD=12$，
∴ $CD^2 + BC^2 = 4^2 + 128 = 144$，
$BD^2 = 12^2 = 144$，
∴ $CD^2 + BC^2 = BD^2$，
∴ $△ BCD$是直角三角形，$∠ BCD=90°$，
∴ $∠ ACD = ∠ BCD - ∠ ACB = 90° - 45° = 45°$。
∵ ∠A=90°，AC=AB=8，
∴ 在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$BC^2 = AC^2 + AB^2 = 8^2 + 8^2 = 128$，
且$∠ ACB = 45°$。
又∵ $CD=4$，$BD=12$，
∴ $CD^2 + BC^2 = 4^2 + 128 = 144$，
$BD^2 = 12^2 = 144$，
∴ $CD^2 + BC^2 = BD^2$，
∴ $△ BCD$是直角三角形，$∠ BCD=90°$，
∴ $∠ ACD = ∠ BCD - ∠ ACB = 90° - 45° = 45°$。
12. 观察以下几组勾股数，并寻找规律：①6，8，10；②8，15，17；③10，24，26；④12，35，37；……. 请写出具有以上规律的第⑧组勾股数： .
答案
20，99，101
解析
解：观察各组勾股数可得规律：
第n组的三个数分别为：
第一个数：$2(n+2)$，
第二个数：$(n+2)^2 - 1$，
第三个数：$(n+2)^2 + 1$。
当$n=8$时：
第一个数：$2×(8+2)=20$，
第二个数：$(8+2)^2 - 1=99$，
第三个数：$(8+2)^2 + 1=101$。
验证：$20^2 + 99^2 = 10201 = 101^2$，符合勾股数定义。
第n组的三个数分别为：
第一个数：$2(n+2)$，
第二个数：$(n+2)^2 - 1$，
第三个数：$(n+2)^2 + 1$。
当$n=8$时：
第一个数：$2×(8+2)=20$，
第二个数：$(8+2)^2 - 1=99$，
第三个数：$(8+2)^2 + 1=101$。
验证：$20^2 + 99^2 = 10201 = 101^2$，符合勾股数定义。
13. 已知$△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$，且$a,b,c$满足$(a-3)^2 + \sqrt{b-4} + |c-5| = 0$.
(1)$a=$,$b=$,$c=$;
(2)判断$△ ABC$的形状,并说明理由.
(1)$a=$,$b=$,$c=$;
(2)判断$△ ABC$的形状,并说明理由.
答案
解：
(1) ∵ (a-3)² ≥ 0，√(b-4) ≥ 0，|c-5| ≥ 0，且 (a-3)² + √(b-4) + |c-5| = 0，
∴ a-3=0，b-4=0，c-5=0，
∴ a=3，b=4，c=5。
(2) △ABC是直角三角形，理由如下：
∵ a=3，b=4，c=5，
∴ a² + b² = 3² + 4² = 25，
c² = 5² = 25，
∴ a² + b² = c²，
由勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形。
(1) ∵ (a-3)² ≥ 0，√(b-4) ≥ 0，|c-5| ≥ 0，且 (a-3)² + √(b-4) + |c-5| = 0，
∴ a-3=0，b-4=0，c-5=0，
∴ a=3，b=4，c=5。
(2) △ABC是直角三角形，理由如下：
∵ a=3，b=4，c=5，
∴ a² + b² = 3² + 4² = 25，
c² = 5² = 25，
∴ a² + b² = c²，
由勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形。
