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9 有下列说法:① 两条直线被第三条直线所截,同位角相等;② 过一点有且只有一条直线与已知直线平行;③ 在同一平面内,不平行的两条线段一定相交;④ 两条直线与第三条直线相交,那么这两条直线也相交.其中,错误的是
①②③④
(填序号).答案
9. ①②③④
解析
【分析】
本题考查平行线相关的基础概念辨析，解题时需逐个核对每个说法的适用前提，结合相关定义、定理逐一判断正误：首先回忆各结论成立的限定条件，再比对题干说法是否缺少必要前提，同时注意区分线段和直线的差异，即可得出结论。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
① 只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，题干未说明两条直线平行，因此该说法错误；
② 平行公理的内容是“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，如果点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，题干未限定点在直线外，因此该说法错误；
③ 线段有固定长度，同一平面内不平行的两条线段，延长后可能相交，但线段本身不一定相交，因此该说法错误；
④ 两条平行直线被第三条直线所截时，这两条平行线都与第三条直线相交，但两条平行线本身不相交，因此该说法错误。
综上，①②③④都是错误的。
【答案】
①②③④
【知识点】
同位角的性质；平行公理；平面内直线的位置关系
【点评】
本题是概念类易错题，核心易错点在于忽略定理的前提限制，或是混淆线段和直线的属性，学习时要注意准确记忆概念、定理的完整表述，不要遗漏限定条件。
【难度系数】
0.3
本题考查平行线相关的基础概念辨析，解题时需逐个核对每个说法的适用前提，结合相关定义、定理逐一判断正误：首先回忆各结论成立的限定条件，再比对题干说法是否缺少必要前提，同时注意区分线段和直线的差异，即可得出结论。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
① 只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，题干未说明两条直线平行，因此该说法错误；
② 平行公理的内容是“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，如果点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，题干未限定点在直线外，因此该说法错误；
③ 线段有固定长度，同一平面内不平行的两条线段，延长后可能相交，但线段本身不一定相交，因此该说法错误；
④ 两条平行直线被第三条直线所截时，这两条平行线都与第三条直线相交，但两条平行线本身不相交，因此该说法错误。
综上，①②③④都是错误的。
【答案】
①②③④
【知识点】
同位角的性质；平行公理；平面内直线的位置关系
【点评】
本题是概念类易错题，核心易错点在于忽略定理的前提限制，或是混淆线段和直线的属性，学习时要注意准确记忆概念、定理的完整表述，不要遗漏限定条件。
【难度系数】
0.3
10 新考向条件开放题 如图,若添加一个条件:
答案不唯一,如$∠A=∠EDB$
,则$AC// DE$.答案
10. 答案不唯一,如$∠ A=∠ EDB$
解析
【分析】
要判定$AC// DE$，可根据平行线的判定定理，寻找两条直线被第三条直线所截形成的相等的同位角（或相等的内错角、互补的同旁内角）即可。以截线为$AB$为例，$AC$、$DE$被$AB$所截形成的同位角为$∠ A$和$∠ EDB$，只要让这组同位角相等，即可得到两直线平行，也可选择其他截线找对应的角的关系，答案不唯一。
【解析】
根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行。
观察图形，直线$AC$和$DE$被直线$AB$所截，$∠ A$与$∠ EDB$是一组同位角，若添加条件$∠ A=∠ EDB$，可直接推出$AC// DE$。
此外也可添加如$∠ ACB=∠ DEB$、$∠ ACD=∠ EDC$等条件，均可判定$AC// DE$。
【答案】
答案不唯一，如$\boldsymbol{∠ A=∠ EDB}$
【知识点】
平行线的判定；同位角的识别
【点评】
本题属于条件开放类题目，答案不唯一，核心考查平行线判定定理的应用，需要学生结合图形准确识别两条直线被截后形成的各类角的位置关系，灵活选择合适的判定条件，对发散思维的培养有一定帮助。
【难度系数】
0.8
要判定$AC// DE$，可根据平行线的判定定理，寻找两条直线被第三条直线所截形成的相等的同位角（或相等的内错角、互补的同旁内角）即可。以截线为$AB$为例，$AC$、$DE$被$AB$所截形成的同位角为$∠ A$和$∠ EDB$，只要让这组同位角相等，即可得到两直线平行，也可选择其他截线找对应的角的关系，答案不唯一。
【解析】
根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行。
观察图形，直线$AC$和$DE$被直线$AB$所截，$∠ A$与$∠ EDB$是一组同位角，若添加条件$∠ A=∠ EDB$，可直接推出$AC// DE$。
此外也可添加如$∠ ACB=∠ DEB$、$∠ ACD=∠ EDC$等条件，均可判定$AC// DE$。
【答案】
答案不唯一，如$\boldsymbol{∠ A=∠ EDB}$
【知识点】
平行线的判定；同位角的识别
【点评】
本题属于条件开放类题目，答案不唯一，核心考查平行线判定定理的应用，需要学生结合图形准确识别两条直线被截后形成的各类角的位置关系，灵活选择合适的判定条件，对发散思维的培养有一定帮助。
【难度系数】
0.8
11 如图，直线$a$与直线$b$被直线$c$所截，$b ⊥ c$，垂足为$A$，$∠ 1 = 70°$。若使直线$b$与直线$a$平行，则直线$b$绕着点$A$至少顺时针旋转$\_\_\_\_\_\_°$。
答案
11. 20
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：首先回忆平行线的判定定理，同位角相等，两直线平行。本题中直线c是截线，要使a//b，需要直线b与c的夹角和∠1是同位角且相等，也就是等于70°。已知原来b垂直于c，夹角为90°，所以只需计算90°和70°的差值，就是需要旋转的最小角度。
【解析】
解：已知$b⊥c$，所以直线b与直线c的夹角为$90°$。
根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行，要使$a//b$，需要直线b与直线c的夹角等于$∠1=70°$。
因此直线b绕点A顺时针至少旋转的角度为：$90° - 70° = 20°$。
【答案】
20
【知识点】
平行线的判定，垂直的性质，角度计算
【点评】
本题结合旋转场景考查平行线的判定应用，解题的关键是找准两直线平行时同位角的等量关系，再结合垂直的夹角计算旋转角度，难度不大，注重基础知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：首先回忆平行线的判定定理，同位角相等，两直线平行。本题中直线c是截线，要使a//b，需要直线b与c的夹角和∠1是同位角且相等，也就是等于70°。已知原来b垂直于c，夹角为90°，所以只需计算90°和70°的差值，就是需要旋转的最小角度。
【解析】
解：已知$b⊥c$，所以直线b与直线c的夹角为$90°$。
根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行，要使$a//b$，需要直线b与直线c的夹角等于$∠1=70°$。
因此直线b绕点A顺时针至少旋转的角度为：$90° - 70° = 20°$。
【答案】
20
【知识点】
平行线的判定，垂直的性质，角度计算
【点评】
本题结合旋转场景考查平行线的判定应用，解题的关键是找准两直线平行时同位角的等量关系，再结合垂直的夹角计算旋转角度，难度不大，注重基础知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.7
12 如图，AF与BD相交于点C，∠B=∠ACB，且CD平分∠ECF.指出图中互相平行的直线，并说明理由.请完成下面的解答过程.
互相平行的直线：
理由：因为CD平分∠ECF，所以∠ECD=
因为∠ACB=∠FCD（
因为∠B=∠ACB，所以∠B=
互相平行的直线：
$AB// CE$
.理由：因为CD平分∠ECF，所以∠ECD=
$∠DCF$
（角平分线的定义
）.因为∠ACB=∠FCD（
对顶角相等
），所以∠ECD=∠ACB（等量代换
）.因为∠B=∠ACB，所以∠B=
$∠ECD$
（等量代换
）.所以$AB// CE$
（同位角相等,两直线平行
）.答案
12. $AB// CE$ $∠ DCF$ 角平分线的定义 对顶角相等 等量代换 $∠ ECD$ 等量代换 $AB// CE$ 同位角相等,两直线平行
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手推导角的等量关系：首先根据角平分线的性质得到∠ECD与∠DCF相等，再利用对顶角相等的性质得到∠ACB和∠FCD相等，通过两次等量代换将已知的∠B=∠ACB转化为∠B=∠ECD，这两个角是同位角，最后根据平行线的判定定理即可推出平行直线。
【解析】
互相平行的直线是$AB// CE$，推导过程如下：
1. 因为CD平分∠ECF，根据角平分线的定义，可得$∠ ECD=∠ DCF$；
2. ∠ACB和∠FCD是一组对顶角，根据对顶角相等的性质，可得$∠ ACB=∠ FCD$；
3. 结合上述两个结论，通过等量代换，可得$∠ ECD=∠ ACB$；
4. 已知$∠ B=∠ ACB$，再次通过等量代换，可得$∠ B=∠ ECD$；
5. ∠B和∠ECD是直线AB、CE被直线BD所截得到的同位角，根据同位角相等，两直线平行，可推出$AB// CE$。
【答案】
$AB// CE$；$∠ DCF$；角平分线的定义；对顶角相等；等量代换；$∠ ECD$；等量代换；$AB// CE$；同位角相等,两直线平行
【知识点】
角平分线的定义、对顶角的性质、平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何推导题，将角平分线、对顶角的性质与平行线的判定结合考察，核心是通过等量代换得到相等的同位角，进而判定直线平行，掌握基础几何性质和推导逻辑是解题的关键。
【难度系数】
0.85
解题时先从已知条件入手推导角的等量关系：首先根据角平分线的性质得到∠ECD与∠DCF相等，再利用对顶角相等的性质得到∠ACB和∠FCD相等，通过两次等量代换将已知的∠B=∠ACB转化为∠B=∠ECD，这两个角是同位角，最后根据平行线的判定定理即可推出平行直线。
【解析】
互相平行的直线是$AB// CE$，推导过程如下：
1. 因为CD平分∠ECF，根据角平分线的定义，可得$∠ ECD=∠ DCF$；
2. ∠ACB和∠FCD是一组对顶角，根据对顶角相等的性质，可得$∠ ACB=∠ FCD$；
3. 结合上述两个结论，通过等量代换，可得$∠ ECD=∠ ACB$；
4. 已知$∠ B=∠ ACB$，再次通过等量代换，可得$∠ B=∠ ECD$；
5. ∠B和∠ECD是直线AB、CE被直线BD所截得到的同位角，根据同位角相等，两直线平行，可推出$AB// CE$。
【答案】
$AB// CE$；$∠ DCF$；角平分线的定义；对顶角相等；等量代换；$∠ ECD$；等量代换；$AB// CE$；同位角相等,两直线平行
【知识点】
角平分线的定义、对顶角的性质、平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何推导题，将角平分线、对顶角的性质与平行线的判定结合考察，核心是通过等量代换得到相等的同位角，进而判定直线平行，掌握基础几何性质和推导逻辑是解题的关键。
【难度系数】
0.85
13 如图,点 A,B 在直线 MN 上,AC⊥AE,BD⊥BF,∠1=36°,∠2=36°.
(1) AC//BD 吗?请说明理由.
(2) AE//BF 吗?请说明理由.
(1) AC//BD 吗?请说明理由.
(2) AE//BF 吗?请说明理由.
答案
13. (1) $AC// BD$ 理由:因为$∠ 1=36°,∠ 2=36°$,所以$∠ 1=∠ 2$. 所以$AC// BD$.
(2) $AE// BF$ 理由:因为$AC⊥ AE$,$BD⊥ BF$,所以$∠ EAC=∠ FBD=90°$. 因为$∠ 1=∠ 2$,所以$∠ EAC+∠ 1=∠ FBD+∠ 2$,即$∠ EAB=∠ FBN$. 所以$AE// BF$.
(2) $AE// BF$ 理由:因为$AC⊥ AE$,$BD⊥ BF$,所以$∠ EAC=∠ FBD=90°$. 因为$∠ 1=∠ 2$,所以$∠ EAC+∠ 1=∠ FBD+∠ 2$,即$∠ EAB=∠ FBN$. 所以$AE// BF$.
解析
【分析】
(1) 要判断AC与BD是否平行，可先观察二者被直线MN所截形成的同位角的数量关系，已知∠1和∠2是一组同位角，且度数均为36°，若同位角相等即可依据平行线判定定理得到平行结论。
(2) 要判断AE与BF是否平行，需找到二者被直线MN所截的同位角∠EAB和∠FBN，先根据垂直的定义得到∠EAC和∠FBD均为90°，再结合∠1=∠2的条件，利用等式性质可推导出∠EAB=∠FBN，即可判断两直线平行。
【解析】
(1) $AC// BD$，理由如下：
$\because ∠1=36°，∠2=36°$，
$\therefore ∠1=∠2$，
$\therefore AC// BD$（同位角相等，两直线平行）。
(2) $AE// BF$，理由如下：
$\because AC⊥ AE，BD⊥ BF$，
$\therefore ∠EAC=∠FBD=90°$（垂直的定义），
又$\because ∠1=∠2$，
$\therefore ∠EAC+∠1=∠FBD+∠2$，即$∠EAB=∠FBN$，
$\therefore AE// BF$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) $AC// BD$，理由见解析；
(2) $AE// BF$，理由见解析。
【知识点】
平行线的判定，垂直的定义，等式的性质
【点评】
本题是平行线判定的基础题型，解题的核心是准确找到两条直线被截线所形成的同位角，结合已知角度关系和垂直性质推导同位角相等，进而判断直线平行。
【难度系数】
0.8
(1) 要判断AC与BD是否平行，可先观察二者被直线MN所截形成的同位角的数量关系，已知∠1和∠2是一组同位角，且度数均为36°，若同位角相等即可依据平行线判定定理得到平行结论。
(2) 要判断AE与BF是否平行，需找到二者被直线MN所截的同位角∠EAB和∠FBN，先根据垂直的定义得到∠EAC和∠FBD均为90°，再结合∠1=∠2的条件，利用等式性质可推导出∠EAB=∠FBN，即可判断两直线平行。
【解析】
(1) $AC// BD$，理由如下：
$\because ∠1=36°，∠2=36°$，
$\therefore ∠1=∠2$，
$\therefore AC// BD$（同位角相等，两直线平行）。
(2) $AE// BF$，理由如下：
$\because AC⊥ AE，BD⊥ BF$，
$\therefore ∠EAC=∠FBD=90°$（垂直的定义），
又$\because ∠1=∠2$，
$\therefore ∠EAC+∠1=∠FBD+∠2$，即$∠EAB=∠FBN$，
$\therefore AE// BF$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) $AC// BD$，理由见解析；
(2) $AE// BF$，理由见解析。
【知识点】
平行线的判定，垂直的定义，等式的性质
【点评】
本题是平行线判定的基础题型，解题的核心是准确找到两条直线被截线所形成的同位角，结合已知角度关系和垂直性质推导同位角相等，进而判断直线平行。
【难度系数】
0.8
14 如图，$∠ CDA = ∠ CBA$，$DE$ 平分 $∠ CDA$，$BF$ 平分 $∠ CBA$，且 $∠ 1 = ∠ 2$，试说明 $DE // FB$。
答案
14. 因为$DE$平分$∠ CDA$,所以$∠ 1=\frac{1}{2}∠ CDA$. 因为$∠ 1=∠ 2$,所以$∠ 2=\frac{1}{2}∠ CDA$. 因为$BF$平分$∠ CBA$,所以$∠ ABF=\frac{1}{2}∠ CBA$. 因为$∠ CDA=∠ CBA$,所以$∠ 2=∠ ABF$. 所以$DE// FB$
解析
【分析】
要说明DE//FB，可根据“同位角相等，两直线平行”的判定定理推导。首先观察图形可得∠2与∠ABF是直线DE、FB被直线AB所截得到的同位角，只要证得这两个角相等即可。结合已知的角平分线条件、∠CDA=∠CBA以及∠1=∠2，我们可以先通过角平分线定义得到角的倍分关系，再通过等量代换推导出∠2=∠ABF，即可完成证明。
【解析】
解：
∵ DE平分∠CDA（已知），
∴ $∠ 1=\frac{1}{2}∠ CDA$（角平分线的定义）。
∵ $∠ 1=∠ 2$（已知），
∴ $∠ 2=\frac{1}{2}∠ CDA$（等量代换）。
∵ BF平分∠CBA（已知），
∴ $∠ ABF=\frac{1}{2}∠ CBA$（角平分线的定义）。
又
∵ $∠ CDA=∠ CBA$（已知），
∴ $∠ 2=∠ ABF$（等量代换）。
∴ $DE// FB$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
$DE// FB$
【知识点】
角平分线的定义；平行线的判定；等量代换
【点评】
本题是基础的几何说理题，核心是利用角平分线的性质转化角的等量关系，再结合平行线的判定定理完成证明，解题时要注意理清角之间的逻辑关系，熟练掌握相关定理的应用条件。
【难度系数】
0.8
要说明DE//FB，可根据“同位角相等，两直线平行”的判定定理推导。首先观察图形可得∠2与∠ABF是直线DE、FB被直线AB所截得到的同位角，只要证得这两个角相等即可。结合已知的角平分线条件、∠CDA=∠CBA以及∠1=∠2，我们可以先通过角平分线定义得到角的倍分关系，再通过等量代换推导出∠2=∠ABF，即可完成证明。
【解析】
解：
∵ DE平分∠CDA（已知），
∴ $∠ 1=\frac{1}{2}∠ CDA$（角平分线的定义）。
∵ $∠ 1=∠ 2$（已知），
∴ $∠ 2=\frac{1}{2}∠ CDA$（等量代换）。
∵ BF平分∠CBA（已知），
∴ $∠ ABF=\frac{1}{2}∠ CBA$（角平分线的定义）。
又
∵ $∠ CDA=∠ CBA$（已知），
∴ $∠ 2=∠ ABF$（等量代换）。
∴ $DE// FB$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
$DE// FB$
【知识点】
角平分线的定义；平行线的判定；等量代换
【点评】
本题是基础的几何说理题，核心是利用角平分线的性质转化角的等量关系，再结合平行线的判定定理完成证明，解题时要注意理清角之间的逻辑关系，熟练掌握相关定理的应用条件。
【难度系数】
0.8
