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6.定义:如果两个一元一次方程的解的和为1,我们就称这两个方程为“美好方程”.例如,方程$4x=8$和$x+1=0$为“美好方程”.
(1)若关于$x$的方程$3x+m=0$与$4x-2=x+10$是“美好方程”,求$m$的值;
(2)若“美好方程”的两个解的差为8,其中一个解为$n$,求$n$的值.
(1)若关于$x$的方程$3x+m=0$与$4x-2=x+10$是“美好方程”,求$m$的值;
(2)若“美好方程”的两个解的差为8,其中一个解为$n$,求$n$的值.
答案
解:(1)因为 $3x+m=0$,所以 $x=-\dfrac{m}{3}$.
因为 $4x-2=x+10$,所以 $x=4$.
因为关于 $x$ 的方程 $3x+m=0$ 与 $4x-2=x+10$ 是“美好方程”,所以 $-\dfrac{m}{3}+4=1$,解得 $m=9$.
(2)因为“美好方程”的两个解的和为 1,其中一个解为 $n$,所以另一个方程的解为 $1-n$.
因为两个解的差为 8,
所以 $1-n-n=8$ 或 $n-(1-n)=8$,
解得 $n=-\dfrac{7}{2}$ 或 $n=\dfrac{9}{2}$.
因为 $4x-2=x+10$,所以 $x=4$.
因为关于 $x$ 的方程 $3x+m=0$ 与 $4x-2=x+10$ 是“美好方程”,所以 $-\dfrac{m}{3}+4=1$,解得 $m=9$.
(2)因为“美好方程”的两个解的和为 1,其中一个解为 $n$,所以另一个方程的解为 $1-n$.
因为两个解的差为 8,
所以 $1-n-n=8$ 或 $n-(1-n)=8$,
解得 $n=-\dfrac{7}{2}$ 或 $n=\dfrac{9}{2}$.
解析
【分析】
首先明确“美好方程”的核心规则：两个一元一次方程的解的和为1。解决第(1)问时，先分别求出两个方程的解（含参数m的方程的解用含m的代数式表示），再根据解的和为1列等式，即可求出m的值；解决第(2)问时，先根据“美好方程”的定义用n表示出另一个解，再结合“两个解的差为8”的条件，注意差未指明顺序，需要分两种情况列方程求解，避免漏解。
【解析】
(1) 解方程$3x+m=0$，移项得$3x=-m$，解得$x=-\dfrac{m}{3}$；
解方程$4x-2=x+10$，移项得$4x-x=10+2$，合并同类项得$3x=12$，解得$x=4$；
因为两个方程是“美好方程”，所以两个解的和为1，即：
$-\dfrac{m}{3}+4=1$
移项得$-\dfrac{m}{3}=-3$，两边同乘$-3$得$m=9$。
(2) 因为“美好方程”的两个解的和为1，其中一个解为$n$，所以另一个解为$1-n$；
已知两个解的差为8，分两种情况讨论：
① 当$(1-n)-n=8$时，化简得$1-2n=8$，移项得$-2n=7$，解得$n=-\dfrac{7}{2}$；
② 当$n-(1-n)=8$时，去括号得$n-1+n=8$，合并得$2n=9$，解得$n=\dfrac{9}{2}$。
【答案】
(1) $m=9$；(2) $n=-\dfrac{7}{2}$或$n=\dfrac{9}{2}$
【知识点】
一元一次方程求解，新定义应用，分类讨论
【点评】
本题以新定义为背景考查一元一次方程的应用，解题关键是准确理解新定义的规则建立等量关系，第二问需要注意“两个解的差”没有明确顺序，需分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
首先明确“美好方程”的核心规则：两个一元一次方程的解的和为1。解决第(1)问时，先分别求出两个方程的解（含参数m的方程的解用含m的代数式表示），再根据解的和为1列等式，即可求出m的值；解决第(2)问时，先根据“美好方程”的定义用n表示出另一个解，再结合“两个解的差为8”的条件，注意差未指明顺序，需要分两种情况列方程求解，避免漏解。
【解析】
(1) 解方程$3x+m=0$，移项得$3x=-m$，解得$x=-\dfrac{m}{3}$；
解方程$4x-2=x+10$，移项得$4x-x=10+2$，合并同类项得$3x=12$，解得$x=4$；
因为两个方程是“美好方程”，所以两个解的和为1，即：
$-\dfrac{m}{3}+4=1$
移项得$-\dfrac{m}{3}=-3$，两边同乘$-3$得$m=9$。
(2) 因为“美好方程”的两个解的和为1，其中一个解为$n$，所以另一个解为$1-n$；
已知两个解的差为8，分两种情况讨论：
① 当$(1-n)-n=8$时，化简得$1-2n=8$，移项得$-2n=7$，解得$n=-\dfrac{7}{2}$；
② 当$n-(1-n)=8$时，去括号得$n-1+n=8$，合并得$2n=9$，解得$n=\dfrac{9}{2}$。
【答案】
(1) $m=9$；(2) $n=-\dfrac{7}{2}$或$n=\dfrac{9}{2}$
【知识点】
一元一次方程求解，新定义应用，分类讨论
【点评】
本题以新定义为背景考查一元一次方程的应用，解题关键是准确理解新定义的规则建立等量关系，第二问需要注意“两个解的差”没有明确顺序，需分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
7.(2025·吕梁期中)我们规定:若关于$x$的一元一次方程$ax=b$的解为$x=b+a$,则称该方程为“和解方程”.例如,$2x=-4$的解为$x=-2$,且$-2=-4+2$,则方程$2x=-4$是“和解方程”.
(1)判断方程$4x=-\dfrac{16}{3}$是否是“和解方程”,并说明理由;
(2)若关于$x$的一元一次方程$3x+a=3$是“和解方程”,求$a$的值.
(1)判断方程$4x=-\dfrac{16}{3}$是否是“和解方程”,并说明理由;
(2)若关于$x$的一元一次方程$3x+a=3$是“和解方程”,求$a$的值.
答案
解:(1)方程 $4x=-\dfrac{16}{3}$ 是“和解方程”.理由如下:
因为 $4x=-\dfrac{16}{3}$,所以 $x=-\dfrac{4}{3}$.
因为 $-\dfrac{4}{3}=-\dfrac{16}{3}+4$,
所以方程 $4x=-\dfrac{16}{3}$ 是“和解方程”.
(2)因为 $3x+a=3$,所以 $3x=3-a$,
所以 $x=\dfrac{3-a}{3}$.
因为关于 $x$ 的一元一次方程 $3x+a=3$ 是“和解方程”,
所以$\dfrac{3-a}{3}=3+(3-a)$,
解得 $a=\dfrac{15}{2}$.
因为 $4x=-\dfrac{16}{3}$,所以 $x=-\dfrac{4}{3}$.
因为 $-\dfrac{4}{3}=-\dfrac{16}{3}+4$,
所以方程 $4x=-\dfrac{16}{3}$ 是“和解方程”.
(2)因为 $3x+a=3$,所以 $3x=3-a$,
所以 $x=\dfrac{3-a}{3}$.
因为关于 $x$ 的一元一次方程 $3x+a=3$ 是“和解方程”,
所以$\dfrac{3-a}{3}=3+(3-a)$,
解得 $a=\dfrac{15}{2}$.
解析
【分析】
本题属于新定义类题型，解题核心是先准确理解“和解方程”的定义：若关于x的一元一次方程$ax=b$的解为$x=b+a$，则称该方程为“和解方程”。
（1）判断方程是否为“和解方程”的思路：先按照常规方法求解$4x=-\dfrac{16}{3}$得到解x的值，再计算该方程中$b+a$的值（其中a为x的系数4，b为常数项$-\dfrac{16}{3}$），若两个结果相等，则该方程是“和解方程”。
（2）求a值的思路：先将$3x+a=3$整理为$ax=b$的标准形式，求出该方程常规解的表达式，再根据“和解方程”的定义得到“常规解=一次项系数+常数项”的等量关系，列出关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值。
【解析】
(1) 方程 $4x=-\dfrac{16}{3}$ 是“和解方程”，理由如下：
解方程 $4x=-\dfrac{16}{3}$，得 $x=-\dfrac{4}{3}$。
计算$b+a$的值：$-\dfrac{16}{3}+4=-\dfrac{16}{3}+\dfrac{12}{3}=-\dfrac{4}{3}$，与方程的解相等。
因此方程 $4x=-\dfrac{16}{3}$ 是“和解方程”。
(2) 先整理方程$3x+a=3$，移项得$3x=3-a$，
解得 $x=\dfrac{3-a}{3}$。
因为该方程是“和解方程”，根据定义可得：
$\dfrac{3-a}{3}=3+(3-a)$
去分母得：$3-a=9+3(3-a)$
去括号得：$3-a=9+9-3a$
移项、合并同类项得：$2a=15$
系数化为1得：$a=\dfrac{15}{2}$。
【答案】
(1) 方程$4x=-\dfrac{16}{3}$是“和解方程”；(2) $a=\dfrac{15}{2}$
【知识点】
一元一次方程的解法、新定义问题、一元一次方程解的应用
【点评】
本题结合新定义考查一元一次方程的相关知识，重点考查对新定义的理解能力和基础计算能力，解题时只需严格按照新定义的规则，将问题转化为常规的一元一次方程求解即可，计算时要注意符号，避免出错。
【难度系数】
0.7
本题属于新定义类题型，解题核心是先准确理解“和解方程”的定义：若关于x的一元一次方程$ax=b$的解为$x=b+a$，则称该方程为“和解方程”。
（1）判断方程是否为“和解方程”的思路：先按照常规方法求解$4x=-\dfrac{16}{3}$得到解x的值，再计算该方程中$b+a$的值（其中a为x的系数4，b为常数项$-\dfrac{16}{3}$），若两个结果相等，则该方程是“和解方程”。
（2）求a值的思路：先将$3x+a=3$整理为$ax=b$的标准形式，求出该方程常规解的表达式，再根据“和解方程”的定义得到“常规解=一次项系数+常数项”的等量关系，列出关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值。
【解析】
(1) 方程 $4x=-\dfrac{16}{3}$ 是“和解方程”，理由如下：
解方程 $4x=-\dfrac{16}{3}$，得 $x=-\dfrac{4}{3}$。
计算$b+a$的值：$-\dfrac{16}{3}+4=-\dfrac{16}{3}+\dfrac{12}{3}=-\dfrac{4}{3}$，与方程的解相等。
因此方程 $4x=-\dfrac{16}{3}$ 是“和解方程”。
(2) 先整理方程$3x+a=3$，移项得$3x=3-a$，
解得 $x=\dfrac{3-a}{3}$。
因为该方程是“和解方程”，根据定义可得：
$\dfrac{3-a}{3}=3+(3-a)$
去分母得：$3-a=9+3(3-a)$
去括号得：$3-a=9+9-3a$
移项、合并同类项得：$2a=15$
系数化为1得：$a=\dfrac{15}{2}$。
【答案】
(1) 方程$4x=-\dfrac{16}{3}$是“和解方程”；(2) $a=\dfrac{15}{2}$
【知识点】
一元一次方程的解法、新定义问题、一元一次方程解的应用
【点评】
本题结合新定义考查一元一次方程的相关知识，重点考查对新定义的理解能力和基础计算能力，解题时只需严格按照新定义的规则，将问题转化为常规的一元一次方程求解即可，计算时要注意符号，避免出错。
【难度系数】
0.7
8.若关于 $ x $ 的方程 $ \frac{25}{3}x - m = \frac{5}{12}x + 18 $ 有一个正整数解，则 $ m $ 的最小正数值是多少？并求出方程相应的解.
答案
解:由$\dfrac{25}{3}x-m=\dfrac{5}{12}x+18$,得 $100x-12m=5x+216$,
即 $95x=216+12m$,解得 $x=\dfrac{216+12m}{95}$.
要使 $x$ 为正整数,$m$ 取最小的正数,则 $m=\dfrac{23}{4}$,$x=3$.
即 $95x=216+12m$,解得 $x=\dfrac{216+12m}{95}$.
要使 $x$ 为正整数,$m$ 取最小的正数,则 $m=\dfrac{23}{4}$,$x=3$.
解析
【分析】
这是一道含参数m的一元一次方程求正整数解的问题，解题思路清晰：第一步先按照一元一次方程的常规解法，将x用含m的代数式表示；第二步结合“x是正整数，m取最小正数值”的要求，可知分子216+12m必须是95的正整数倍，我们从最小的正整数x开始依次验证，找到第一个能让m为正数的x值即可；第三步计算对应m的取值，得到最终结果。
【解析】
解：对原方程$\dfrac{25}{3}x - m = \dfrac{5}{12}x + 18$去分母，两边同时乘以12得：
$100x - 12m = 5x + 216$
移项，将含x的项移到等式左侧，其余项移到右侧：
$100x - 5x = 216 + 12m$
合并同类项得：$95x = 216 + 12m$
系数化为1得：$x = \dfrac{216 + 12m}{95}$
因为x为正整数，且m要取最小正数值，从最小正整数x开始验证：
当x=1时，$m=\dfrac{95-216}{12}=-\dfrac{121}{12}$，为负数，不符合要求；
当x=2时，$m=\dfrac{190-216}{12}=-\dfrac{13}{6}$，为负数，不符合要求；
当x=3时，$m=\dfrac{285-216}{12}=\dfrac{23}{4}$，为正数，符合要求。
【答案】
m的最小正数值是$\dfrac{23}{4}$，方程相应的解是$x=3$
【知识点】
一元一次方程的解法，方程解的定义，含参方程整数解问题
【点评】
本题重点考察含参数一元一次方程的整数解处理方法，解题核心是先用参数表示出未知数的值，再结合正整数的限制条件从小到大验证取值，就能快速找到符合要求的最小参数值。
【难度系数】
0.6
这是一道含参数m的一元一次方程求正整数解的问题，解题思路清晰：第一步先按照一元一次方程的常规解法，将x用含m的代数式表示；第二步结合“x是正整数，m取最小正数值”的要求，可知分子216+12m必须是95的正整数倍，我们从最小的正整数x开始依次验证，找到第一个能让m为正数的x值即可；第三步计算对应m的取值，得到最终结果。
【解析】
解：对原方程$\dfrac{25}{3}x - m = \dfrac{5}{12}x + 18$去分母，两边同时乘以12得：
$100x - 12m = 5x + 216$
移项，将含x的项移到等式左侧，其余项移到右侧：
$100x - 5x = 216 + 12m$
合并同类项得：$95x = 216 + 12m$
系数化为1得：$x = \dfrac{216 + 12m}{95}$
因为x为正整数，且m要取最小正数值，从最小正整数x开始验证：
当x=1时，$m=\dfrac{95-216}{12}=-\dfrac{121}{12}$，为负数，不符合要求；
当x=2时，$m=\dfrac{190-216}{12}=-\dfrac{13}{6}$，为负数，不符合要求；
当x=3时，$m=\dfrac{285-216}{12}=\dfrac{23}{4}$，为正数，符合要求。
【答案】
m的最小正数值是$\dfrac{23}{4}$，方程相应的解是$x=3$
【知识点】
一元一次方程的解法，方程解的定义，含参方程整数解问题
【点评】
本题重点考察含参数一元一次方程的整数解处理方法，解题核心是先用参数表示出未知数的值，再结合正整数的限制条件从小到大验证取值，就能快速找到符合要求的最小参数值。
【难度系数】
0.6
9.若$a,b$为定值,关于$x$的方程$\frac{2ka+x}{3}-\frac{x-bx}{6}=2$,无论$k$为何值时,它的解总是$x=1$,求$a,b$的值.
答案
解:去分母,得 $4ka+2x-x+bx=12$,
因为方程的解与 $k$ 的值无关,
所以 $4a=0$,解得 $a=0$.
把 $x=1$,$a=0$ 代入方程,得 $2-1+b=12$,解得 $b=11$.
所以 $a$ 的值为 $0$,$b$ 的值为 $11$.
因为方程的解与 $k$ 的值无关,
所以 $4a=0$,解得 $a=0$.
把 $x=1$,$a=0$ 代入方程,得 $2-1+b=12$,解得 $b=11$.
所以 $a$ 的值为 $0$,$b$ 的值为 $11$.
解析
【分析】
解题时首先要理解“无论k为何值，方程的解总是x=1”的含义：即把x=1代入原方程后，得到的等式对任意k都成立。我们可以先对原方程去分母化简，再代入x=1，将式子整理为含k的项和常数项两部分，要让式子对任意k都成立，只需k的系数为0，即可先求出a的值，再代入计算出b的值。
【解析】
先对原方程去分母，两边同时乘6，得：
$2(2ka+x)-(x-bx)=12$
展开整理得：$4ka+2x-x+bx=12$
将$x=1$代入上式，得：
$4ka + 2×1 -1 + b×1 =12$
化简为：$4ka + b -11=0$
因为等式对任意k都成立，所以k的系数必须为0，即：
$4a=0$，解得$a=0$
把$a=0$代入$4ka + b -11=0$，得：
$0 + b -11=0$，解得$b=11$
【答案】
$a=0$，$b=11$
【知识点】
一元一次方程的解；方程恒成立条件；解一元一次方程
【点评】
本题属于一元一次方程解的综合应用类题型，解题关键是准确理解解恒成立的逻辑，即含无关参数的项的系数必须为0，是考察方程解的定义与恒成立思想的典型题目。
【难度系数】
0.6
解题时首先要理解“无论k为何值，方程的解总是x=1”的含义：即把x=1代入原方程后，得到的等式对任意k都成立。我们可以先对原方程去分母化简，再代入x=1，将式子整理为含k的项和常数项两部分，要让式子对任意k都成立，只需k的系数为0，即可先求出a的值，再代入计算出b的值。
【解析】
先对原方程去分母，两边同时乘6，得：
$2(2ka+x)-(x-bx)=12$
展开整理得：$4ka+2x-x+bx=12$
将$x=1$代入上式，得：
$4ka + 2×1 -1 + b×1 =12$
化简为：$4ka + b -11=0$
因为等式对任意k都成立，所以k的系数必须为0，即：
$4a=0$，解得$a=0$
把$a=0$代入$4ka + b -11=0$，得：
$0 + b -11=0$，解得$b=11$
【答案】
$a=0$，$b=11$
【知识点】
一元一次方程的解；方程恒成立条件；解一元一次方程
【点评】
本题属于一元一次方程解的综合应用类题型，解题关键是准确理解解恒成立的逻辑，即含无关参数的项的系数必须为0，是考察方程解的定义与恒成立思想的典型题目。
【难度系数】
0.6
