典型例题
【阅读材料】图形是一种重要的数学语言，对于同一个图形，可以用不同的方法计算图形的面积，从而得到一个数学等式. 已知下列等式成立：
① $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$；
② $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$.
如图①，通过不同的方法计算边长为 $a + b$ 的正方形的面积，可以说明等式①的合理性.
【问题解决】如图②，将边长为 $a + b + c$ 的正方形 $ABCD$ 分割成几个小正方形与小长方形.
（1）请你根据图②的面积说明等式②的合理性；
（2）若 $a, b, c$ 满足 $a + b + c = 12$，$ab + bc + ac = 33$，求 $a^2 + b^2 + c^2$ 的值.
【拓展探究】如图③，有三种规格的纸片：$a × a$，$b × b$，$a × b$（其中 $a ＜ b$）若干张.
（3）请你利用上述纸片拼接一个大长方形，并能利用它的面积说明等式 $(2a + b) · (a + 2b) = 2a^2 + 5ab + 2b^2$ 成立. 请画出你的设计示意图.（画出一种即可，不需说明成立的理由）

解（1）因为 $S_{正方形ABCD} = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$，
且 $S_{正方形ABCD} = (a + b + c)^2$，
所以 $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$.
（2）由条件可知 $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ac)$，
所以 $12^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 × 33$，
所以 $a^2 + b^2 + c^2 = 144 - 66 = 78$.
（3）如图所示（图形不唯一）.

因为 $S_{长方形ABCD} = 2a^2 + 5ab + 2b^2$，
且 $S_{长方形ABCD} = (2a + b)(a + 2b)$，
所以 $(2a + b)(a + 2b) = 2a^2 + 5ab + 2b^2$.

解：
（1）从整体计算，边长为$a+b+c$的正方形$ABCD$的面积为：
$S_{\mathrm{正方形}ABCD}=(a+b+c)^2$
从分割后的各部分求和计算，正方形$ABCD$的面积等于3个小正方形的面积与6个小长方形的面积之和，即：
$S_{\mathrm{正方形}ABCD}=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
同一图形的面积相等，因此$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$，说明等式②成立。
（2）由完全平方变形公式可得：
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)$
将$a+b+c=12$，$ab+bc+ac=33$代入上式：
$12^2=a^2+b^2+c^2+2×33$
$a^2+b^2+c^2=144-66=78$
（3）设计示意图：大长方形的长为$a+2b$，宽为$2a+b$，水平方向从左到右依次标注线段长度$a$、$b$、$b$，竖直方向从下到上依次标注线段长度$a$、$a$、$b$：左下角和其正上方相邻的两个单元格为$a× a$规格纸片，共2张；剩余5个单元格均为$a× b$规格纸片，共5张；右上角两个单元格为$b× b$规格纸片，共2张，所有纸片无缝无重叠拼接即可。