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3.小明用一块橡皮泥做一个圆柱模型，圆柱的高为$ h $（单位：cm），底面积为$ S $（单位：$\mathrm{cm}^2$）。当圆柱的高为12 cm时，圆柱的底面积为2 $\mathrm{cm}^2$。
(1)以$ h $为自变量，求$ S $关于$ h $的函数解析式。
(2)当圆柱的高为4.8 cm时，圆柱的底面积为多少？
(1)以$ h $为自变量，求$ S $关于$ h $的函数解析式。
(2)当圆柱的高为4.8 cm时，圆柱的底面积为多少？
答案
3.解:(1)$S=\frac{24}{h}$.
(2)圆柱的底面积为5 $\mathrm{cm}^2$.
(2)圆柱的底面积为5 $\mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
解题的核心是抓住橡皮泥体积恒定这一不变量。首先回忆圆柱体积公式：圆柱体积=底面积×高，先根据已知的高和底面积计算出橡皮泥的总体积，再依据体积不变的特点变形公式，即可得到S关于h的函数解析式；第二问直接将给定的高代入第一问求出的解析式，计算就能得到对应底面积。
【解析】
(1) 根据圆柱体积公式$V=S· h$，已知当$h=12\mathrm{cm}$时，$S=2\mathrm{cm}^2$，代入得橡皮泥总体积：
$V=12×2=24\mathrm{cm}^3$
由于橡皮泥体积不变，因此对任意高$h$都满足$S· h=24$，变形得$S$关于$h$的函数解析式为：
$S=\frac{24}{h}\ (h＞0)$
(2) 把$h=4.8\mathrm{cm}$代入$S=\frac{24}{h}$，计算得：
$S=\frac{24}{4.8}=5\mathrm{cm}^2$
【答案】
(1) $S=\frac{24}{h}$；(2) $5\mathrm{cm}^2$
【知识点】
反比例函数的实际应用，圆柱体积计算，求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数在几何实际问题中的基础应用，侧重考查对不变量的挖掘能力、公式变形能力和代入求值能力，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题的核心是抓住橡皮泥体积恒定这一不变量。首先回忆圆柱体积公式：圆柱体积=底面积×高，先根据已知的高和底面积计算出橡皮泥的总体积，再依据体积不变的特点变形公式，即可得到S关于h的函数解析式；第二问直接将给定的高代入第一问求出的解析式，计算就能得到对应底面积。
【解析】
(1) 根据圆柱体积公式$V=S· h$，已知当$h=12\mathrm{cm}$时，$S=2\mathrm{cm}^2$，代入得橡皮泥总体积：
$V=12×2=24\mathrm{cm}^3$
由于橡皮泥体积不变，因此对任意高$h$都满足$S· h=24$，变形得$S$关于$h$的函数解析式为：
$S=\frac{24}{h}\ (h＞0)$
(2) 把$h=4.8\mathrm{cm}$代入$S=\frac{24}{h}$，计算得：
$S=\frac{24}{4.8}=5\mathrm{cm}^2$
【答案】
(1) $S=\frac{24}{h}$；(2) $5\mathrm{cm}^2$
【知识点】
反比例函数的实际应用，圆柱体积计算，求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数在几何实际问题中的基础应用，侧重考查对不变量的挖掘能力、公式变形能力和代入求值能力，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
【例4】校园超市以4元/件的价格购进某物品，为确定该物品合理的销售价格，对该物品进行试销调查。发现每天调整不同的售价，其销售总金额为定值，其中某天该物品的售价为6元/件，销售量为50件。
(1)设该物品的售价为x元/件时，日销售量为y件。请写出y关于x的函数解析式。
(2)若该超市考虑学生的消费实际，计划将该物品每天的销售利润定为60元，则该物品的售价应定为多少？
解：
(1)设该物品的售价为x元/件时，日销售量为y件。请写出y关于x的函数解析式。
(2)若该超市考虑学生的消费实际，计划将该物品每天的销售利润定为60元，则该物品的售价应定为多少？
解：
答案
【例4】解:(1)$y=\frac{300}{x}$.
(2)该物品的售价应定为5元/件.
(2)该物品的售价应定为5元/件.
解析
【分析】
(1) 首先提取题目关键条件：销售总金额为定值。我们先利用已知的售价6元/件、销量50件计算出固定总金额，再根据“总金额=售价×销售量”的基本等量关系，将x、y代入即可推导得到y关于x的函数解析式，注意售价x需大于进价4元才符合实际销售逻辑。
(2) 第二问求解定价，核心是掌握销售利润的计算公式：总利润=单件利润×销售总量。单件利润为（售价-进价）即(x-4)元，销售总量可直接代入第一问得到的反比例函数表达式，结合总利润为60元的条件列方程求解，最后检验解是否符合实际意义即可。
【解析】
(1) 已知售价为6元/件时，销售量为50件，且销售总金额为定值，因此总金额为：$6×50=300$元。
根据“总金额=售价×销售量”的等量关系，可得$x· y=300$，变形得到y关于x的函数解析式为：$y=\frac{300}{x}$（$x＞4$，符合实际销售要求）。
(2) 设该物品的售价为x元/件，每件利润为$(x-4)$元，日销售量为$\frac{300}{x}$件。
根据总利润为60元列方程：
$(x-4)·\frac{300}{x}=60$
两边同乘x去分母得：$300(x-4)=60x$
展开得：$300x-1200=60x$
移项合并同类项得：$240x=1200$
解得：$x=5$
检验：当$x=5$时，$x≠0$，且$x=5＞4$符合实际意义，因此$x=5$是原方程的解。
【答案】
(1)$y=\frac{300}{x}$
(2)该物品的售价应定为5元/件
【知识点】
反比例函数的实际应用、分式方程求解、销售利润计算
【点评】
本题结合生活场景考查函数与方程的应用，解题核心是找准等量关系建立对应表达式，求解后注意验证结果符合实际要求即可，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
(1) 首先提取题目关键条件：销售总金额为定值。我们先利用已知的售价6元/件、销量50件计算出固定总金额，再根据“总金额=售价×销售量”的基本等量关系，将x、y代入即可推导得到y关于x的函数解析式，注意售价x需大于进价4元才符合实际销售逻辑。
(2) 第二问求解定价，核心是掌握销售利润的计算公式：总利润=单件利润×销售总量。单件利润为（售价-进价）即(x-4)元，销售总量可直接代入第一问得到的反比例函数表达式，结合总利润为60元的条件列方程求解，最后检验解是否符合实际意义即可。
【解析】
(1) 已知售价为6元/件时，销售量为50件，且销售总金额为定值，因此总金额为：$6×50=300$元。
根据“总金额=售价×销售量”的等量关系，可得$x· y=300$，变形得到y关于x的函数解析式为：$y=\frac{300}{x}$（$x＞4$，符合实际销售要求）。
(2) 设该物品的售价为x元/件，每件利润为$(x-4)$元，日销售量为$\frac{300}{x}$件。
根据总利润为60元列方程：
$(x-4)·\frac{300}{x}=60$
两边同乘x去分母得：$300(x-4)=60x$
展开得：$300x-1200=60x$
移项合并同类项得：$240x=1200$
解得：$x=5$
检验：当$x=5$时，$x≠0$，且$x=5＞4$符合实际意义，因此$x=5$是原方程的解。
【答案】
(1)$y=\frac{300}{x}$
(2)该物品的售价应定为5元/件
【知识点】
反比例函数的实际应用、分式方程求解、销售利润计算
【点评】
本题结合生活场景考查函数与方程的应用，解题核心是找准等量关系建立对应表达式，求解后注意验证结果符合实际要求即可，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
4.某家电城推出免息分期付款活动:客户交付首付款后,在30个月内结清余款即可.小王在活动期间购买了价格为1.5万元的中央空调,首付款为0.5万元.计划用x个月结清余款,平均每月还款y万元.
(1) y与x有怎样的函数关系?
(2)如果小王打算用20个月结清余款,那么他平均每月应还款多少万元?
(3)如果小王打算每月还款不超过400元,那么他至少要多少个月才能结清余款?
(1) y与x有怎样的函数关系?
(2)如果小王打算用20个月结清余款,那么他平均每月应还款多少万元?
(3)如果小王打算每月还款不超过400元,那么他至少要多少个月才能结清余款?
答案
4.解:(1)$y=\frac{1}{x}$(其中x是正整数,且$1≤ x≤ 30$).
(2)平均每月应还款0.05万元.
(3)他至少要25个月才能结清余款.
(2)平均每月应还款0.05万元.
(3)他至少要25个月才能结清余款.
解析
【分析】
解题思路可分三步梳理：①求解函数关系：先算出需要结清的余款总额，根据“每月还款额×还款月数=余款总额”的等量关系，即可推导y与x的函数式，同时结合题目要求的30个月结清的限制，明确自变量x的取值范围；②求固定月数的月还款额：直接将还款月数代入已求的反比例函数解析式，计算即可得到对应月还款额；③求最低还款月数：先统一单位，将每月还款上限换算为万元单位，结合“月还款额≤上限”列不等式，代入反比例函数式求解，注意结果要取符合实际的正整数，且不超过30的限制。
【解析】
解：(1) 首先计算需结清的余款总额：$1.5 - 0.5 = 1$（万元）
由题意得等量关系：每月还款额×还款月数 = 余款总额，即$xy=1$
整理得$y=\frac{1}{x}$，结合还款规则，x为正整数且满足$1≤ x≤30$。
(2) 当$x=20$时，代入$y=\frac{1}{x}$得：
$y=\frac{1}{20}=0.05$（万元）
(3) 先统一单位：$400元 = 0.04万元$
由题意得$y≤0.04$，即$\frac{1}{x}≤0.04$
$\because x＞0$，不等式两边同时乘x，不等号方向不变，得$1≤0.04x$
解得$x≥25$，25符合$1≤ x≤30$的要求，且为正整数。
【答案】
(1)$y=\frac{1}{x}$(其中x是正整数,且$1≤ x≤ 30$)
(2)平均每月应还款0.05万元
(3)他至少要25个月才能结清余款
【知识点】
1.反比例函数的实际应用
2.反比例函数值计算
3.一元一次不等式求解
【点评】
本题结合生活中的分期付款场景命题，既考察了反比例函数解析式的推导，也涉及函数求值、不等式求解的内容，解题时需要注意单位统一，同时自变量的取值要符合实际场景的限制，是反比例函数应用类的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题思路可分三步梳理：①求解函数关系：先算出需要结清的余款总额，根据“每月还款额×还款月数=余款总额”的等量关系，即可推导y与x的函数式，同时结合题目要求的30个月结清的限制，明确自变量x的取值范围；②求固定月数的月还款额：直接将还款月数代入已求的反比例函数解析式，计算即可得到对应月还款额；③求最低还款月数：先统一单位，将每月还款上限换算为万元单位，结合“月还款额≤上限”列不等式，代入反比例函数式求解，注意结果要取符合实际的正整数，且不超过30的限制。
【解析】
解：(1) 首先计算需结清的余款总额：$1.5 - 0.5 = 1$（万元）
由题意得等量关系：每月还款额×还款月数 = 余款总额，即$xy=1$
整理得$y=\frac{1}{x}$，结合还款规则，x为正整数且满足$1≤ x≤30$。
(2) 当$x=20$时，代入$y=\frac{1}{x}$得：
$y=\frac{1}{20}=0.05$（万元）
(3) 先统一单位：$400元 = 0.04万元$
由题意得$y≤0.04$，即$\frac{1}{x}≤0.04$
$\because x＞0$，不等式两边同时乘x，不等号方向不变，得$1≤0.04x$
解得$x≥25$，25符合$1≤ x≤30$的要求，且为正整数。
【答案】
(1)$y=\frac{1}{x}$(其中x是正整数,且$1≤ x≤ 30$)
(2)平均每月应还款0.05万元
(3)他至少要25个月才能结清余款
【知识点】
1.反比例函数的实际应用
2.反比例函数值计算
3.一元一次不等式求解
【点评】
本题结合生活中的分期付款场景命题，既考察了反比例函数解析式的推导，也涉及函数求值、不等式求解的内容，解题时需要注意单位统一，同时自变量的取值要符合实际场景的限制，是反比例函数应用类的基础题型。
【难度系数】
0.8
