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16.某书店销售儿童书刊,一天可售出20套,每套利润40元.为了扩大销量,增加盈利,尽快减少库存,书店决定采取降价销售的方式.若一套书每降价1元,则平均每天可多售出2套.
设每套书降价x元时,书店一天可获利润y元.
(1)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.
(2)若要书店每天盈利1200元,则每套书需降价多少元?
(3)当每套书盈利多少元时,书店可获得最大利润?最大利润为多少?
设每套书降价x元时,书店一天可获利润y元.
(1)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.
(2)若要书店每天盈利1200元,则每套书需降价多少元?
(3)当每套书盈利多少元时,书店可获得最大利润?最大利润为多少?
答案
解：
(1) 由题意得，降价x元后，每套书的利润为$(40-x)$元，每天的销售量为$(20+2x)$套。
总利润$y=(40-x)(20+2x)$，展开整理得：
$y=-2x^2+60x+800$
由每套利润非负，且降价金额非负，得自变量取值范围为$0≤ x≤40$。
(2) 令$y=1200$，代入函数解析式得：
$-2x^2+60x+800=1200$
整理得：$x^2-30x+200=0$
因式分解得：$(x-10)(x-20)=0$
解得$x_1=10$，$x_2=20$。
由于书店要扩大销量、尽快减少库存，因此取降价幅度更大的$x=20$。
答：每套书需降价20元。
(3) 对于二次函数$y=-2x^2+60x+800$，其中$a=-2＜0$，函数图象开口向下，在顶点处取得最大值。
顶点的横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{60}{2×(-2)}=15$，符合$0≤ x≤40$。
此时每套书盈利为$40-x=40-15=25$元，
代入得最大利润$y=-2×15^2+60×15+800=1250$元。
答：当每套书盈利25元时，书店可获得最大利润，最大利润为1250元。
(1) 由题意得，降价x元后，每套书的利润为$(40-x)$元，每天的销售量为$(20+2x)$套。
总利润$y=(40-x)(20+2x)$，展开整理得：
$y=-2x^2+60x+800$
由每套利润非负，且降价金额非负，得自变量取值范围为$0≤ x≤40$。
(2) 令$y=1200$，代入函数解析式得：
$-2x^2+60x+800=1200$
整理得：$x^2-30x+200=0$
因式分解得：$(x-10)(x-20)=0$
解得$x_1=10$，$x_2=20$。
由于书店要扩大销量、尽快减少库存，因此取降价幅度更大的$x=20$。
答：每套书需降价20元。
(3) 对于二次函数$y=-2x^2+60x+800$，其中$a=-2＜0$，函数图象开口向下，在顶点处取得最大值。
顶点的横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{60}{2×(-2)}=15$，符合$0≤ x≤40$。
此时每套书盈利为$40-x=40-15=25$元，
代入得最大利润$y=-2×15^2+60×15+800=1250$元。
答：当每套书盈利25元时，书店可获得最大利润，最大利润为1250元。
17. 提升题【问题背景】对于一个函数，如果存在自变量 $ x_0 = m $，其对应的函数值 $ y_0 = m $，那么我们称该函数为“不动点函数”，$(m,m)$ 为该函数图象上的一个不动点。例如：在函数 $ y = x^2 $ 中，当 $ x = 1 $ 时，$ y = 1 $，我们称函数 $ y = x^2 $ 为“不动点函数”，$(1,1)$ 为该函数图象上的一个不动点。某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究。
【探究1】
(1)对一次函数 $ y = kx + b(k ≠ 0) $ 进行探究后，得出下列结论：
① $ y = x + 2 $ 是“不动点函数”，且只有一个不动点；
② $ y = -3x + 2 $ 是“不动点函数”，且不动点是 $ ( \frac{1}{2}, 0 ) $；
③ $ y = x $ 是“不动点函数”，且有无数个不动点。
以上结论中，你认为正确的是 （填序号）。
(2)若一次函数 $ y = kx + b(k ≠ 0) $ 是“不动点函数”，请直接写出 $ k, b $ 应满足的条件。
【探究2】
(3)对二次函数 $ y = ax^2 + bx + c(a ≠ 0) $ 进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答：若抛物线 $ y = x^2 - 2bx + c $ 的顶点为该函数图象上的一个不动点，求 $ b, c $ 满足的关系式。
【探究3】
(4)某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件 $ x $ 元出售，可卖出 $ (12 - x) $ 件，获得利润 $ y $ 元。请写出 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由。若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义。
【探究1】
(1)对一次函数 $ y = kx + b(k ≠ 0) $ 进行探究后，得出下列结论：
① $ y = x + 2 $ 是“不动点函数”，且只有一个不动点；
② $ y = -3x + 2 $ 是“不动点函数”，且不动点是 $ ( \frac{1}{2}, 0 ) $；
③ $ y = x $ 是“不动点函数”，且有无数个不动点。
以上结论中，你认为正确的是 （填序号）。
(2)若一次函数 $ y = kx + b(k ≠ 0) $ 是“不动点函数”，请直接写出 $ k, b $ 应满足的条件。
【探究2】
(3)对二次函数 $ y = ax^2 + bx + c(a ≠ 0) $ 进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答：若抛物线 $ y = x^2 - 2bx + c $ 的顶点为该函数图象上的一个不动点，求 $ b, c $ 满足的关系式。
【探究3】
(4)某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件 $ x $ 元出售，可卖出 $ (12 - x) $ 件，获得利润 $ y $ 元。请写出 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由。若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义。
答案
解：
(1) 逐一验证结论：
① 令$m = m+2$，方程无解，故$y=x+2$不是“不动点函数”，①错误；
② 令$m=-3m+2$，解得$m=\frac{1}{2}$，不动点为$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，②错误；
③ 令$m=m$，等式恒成立，函数上所有点都是不动点，有无数个，③正确。
答案为：$\boldsymbol{③}$。
(2) 一次函数$y=kx+b(k≠0)$是“不动点函数”，即方程$m=km+b$有解，整理得$(1-k)m=b$。
当$k≠1$时，方程总有解$m=\frac{b}{1-k}$；当$k=1$时，需$b=0$，方程有无数解。
因此$k,b$满足的条件是：$\boldsymbol{k≠1}$，或$\boldsymbol{k=1}$且$\boldsymbol{b=0}$。
(3) 对抛物线$y=x^2-2bx+c$配方得：
$y=(x-b)^2 + c - b^2$
因此抛物线的顶点坐标为$(b,\ c-b^2)$。
∵顶点是该函数的不动点，
∴顶点横纵坐标相等，即$b = c - b^2$，
整理得$b,c$满足的关系式为：$\boldsymbol{c = b^2 + b}$。
(4) 由题意，每件利润为$(x-6)$元，销量为$(12-x)$件，因此：
$y=(x-6)(12-x) = -x^2 + 18x -72$，其中$6＜x＜12$。
该函数是“不动点函数”，理由如下：
令$m = -m^2 + 18m -72$，整理得$m^2 -17m +72 = 0$，
判别式$\Delta=(-17)^2 - 4×1×72 = 1＞0$，
解得$m_1=8$，$m_2=9$，两个解均满足$6＜x＜12$，存在不动点$(8,8)$和$(9,9)$，因此该函数是“不动点函数”。
实际意义：当商品售价为8元时，获得的利润为8元；当商品售价为9元时，获得的利润为9元。
(1) 逐一验证结论：
① 令$m = m+2$，方程无解，故$y=x+2$不是“不动点函数”，①错误；
② 令$m=-3m+2$，解得$m=\frac{1}{2}$，不动点为$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，②错误；
③ 令$m=m$，等式恒成立，函数上所有点都是不动点，有无数个，③正确。
答案为：$\boldsymbol{③}$。
(2) 一次函数$y=kx+b(k≠0)$是“不动点函数”，即方程$m=km+b$有解，整理得$(1-k)m=b$。
当$k≠1$时，方程总有解$m=\frac{b}{1-k}$；当$k=1$时，需$b=0$，方程有无数解。
因此$k,b$满足的条件是：$\boldsymbol{k≠1}$，或$\boldsymbol{k=1}$且$\boldsymbol{b=0}$。
(3) 对抛物线$y=x^2-2bx+c$配方得：
$y=(x-b)^2 + c - b^2$
因此抛物线的顶点坐标为$(b,\ c-b^2)$。
∵顶点是该函数的不动点，
∴顶点横纵坐标相等，即$b = c - b^2$，
整理得$b,c$满足的关系式为：$\boldsymbol{c = b^2 + b}$。
(4) 由题意，每件利润为$(x-6)$元，销量为$(12-x)$件，因此：
$y=(x-6)(12-x) = -x^2 + 18x -72$，其中$6＜x＜12$。
该函数是“不动点函数”，理由如下：
令$m = -m^2 + 18m -72$，整理得$m^2 -17m +72 = 0$，
判别式$\Delta=(-17)^2 - 4×1×72 = 1＞0$，
解得$m_1=8$，$m_2=9$，两个解均满足$6＜x＜12$，存在不动点$(8,8)$和$(9,9)$，因此该函数是“不动点函数”。
实际意义：当商品售价为8元时，获得的利润为8元；当商品售价为9元时，获得的利润为9元。
