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8.小亮与小莹做猜数游戏。小亮说：“你在心里想好一个两位数，先将十位上的数字乘5，然后加4，再乘2，最后将得到的数加上原数的个位数字，把你的结果告诉我，我就知道你心里想的那个两位数是多少。”小莹按照小亮的方法说出结果是51，那么小莹心里想的那个数是
43
。答案
43
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以先通过字母分别表示出这个两位数的十位数字和个位数字，再按照题目给出的运算顺序列出对应的代数式，化简代数式后就能找到运算结果和原来的两位数之间的关系，最后根据给出的结果51算出原数即可。首先明确两位数的表示方法：若十位数字是a、个位数字是b，那么这个两位数就是$10a+b$，再逐步按运算规则列式化简。
【解析】
设小莹心里想的两位数的十位数字为$a$（$1≤ a≤9$，且$a$为整数），个位数字为$b$（$0≤ b≤9$，且$b$为整数），则原两位数为$10a + b$。
按照题目中的运算步骤列式：
1. 十位数字乘5：$5a$
2. 加4：$5a + 4$
3. 乘2：$2×(5a + 4)=10a + 8$
4. 加上个位数字：$10a + 8 + b$
已知运算结果为51，可得：
$10a + 8 + b = 51$
整理得：$10a + b = 51 - 8 = 43$
即原两位数为43。
【答案】
43
【知识点】
两位数的表示；代数式化简；代数式求值
【点评】
本题的解题关键是通过设字母表示两位数的数位上的数字，将文字描述的运算转化为代数式，通过化简找到运算结果与原数的数量关系，不需要分别求十位和个位数字即可快速得到原数，考查了用字母表示数的应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以先通过字母分别表示出这个两位数的十位数字和个位数字，再按照题目给出的运算顺序列出对应的代数式，化简代数式后就能找到运算结果和原来的两位数之间的关系，最后根据给出的结果51算出原数即可。首先明确两位数的表示方法：若十位数字是a、个位数字是b，那么这个两位数就是$10a+b$，再逐步按运算规则列式化简。
【解析】
设小莹心里想的两位数的十位数字为$a$（$1≤ a≤9$，且$a$为整数），个位数字为$b$（$0≤ b≤9$，且$b$为整数），则原两位数为$10a + b$。
按照题目中的运算步骤列式：
1. 十位数字乘5：$5a$
2. 加4：$5a + 4$
3. 乘2：$2×(5a + 4)=10a + 8$
4. 加上个位数字：$10a + 8 + b$
已知运算结果为51，可得：
$10a + 8 + b = 51$
整理得：$10a + b = 51 - 8 = 43$
即原两位数为43。
【答案】
43
【知识点】
两位数的表示；代数式化简；代数式求值
【点评】
本题的解题关键是通过设字母表示两位数的数位上的数字，将文字描述的运算转化为代数式，通过化简找到运算结果与原数的数量关系，不需要分别求十位和个位数字即可快速得到原数，考查了用字母表示数的应用能力。
【难度系数】
0.7
9. 求下列代数式的值，并探究代数式的关系。
(1)$(a+b)(a-b)$； (2)$a^2 - b^2$。
问题1：当$a=5,b=2$时，请计算(1)(2)两个式子的值，并写出它们的关系。
问题2：当$a=-5,b=-2$时，上述结论是否仍然成立？
(1)$(a+b)(a-b)$； (2)$a^2 - b^2$。
问题1：当$a=5,b=2$时，请计算(1)(2)两个式子的值，并写出它们的关系。
问题2：当$a=-5,b=-2$时，上述结论是否仍然成立？
答案
解:问题1:当 $a=5,b=2$ 时,
(1)$(a+b)(a-b)=(5+2)×(5-2)=21$;
(2)$a^2-b^2=5^2-2^2=25-4=21$。
结论:通过计算,发现(1)(2)两个式子的值相等。
问题2:当 $a=-5,b=-2$ 时,
(1)$(a+b)(a-b)=(-5-2)×(-5+2)=21$;
(2)$a^2-b^2=25-4=21$。
结论:通过计算,发现(1)(2)两个式子的值仍相等。
(1)$(a+b)(a-b)=(5+2)×(5-2)=21$;
(2)$a^2-b^2=5^2-2^2=25-4=21$。
结论:通过计算,发现(1)(2)两个式子的值相等。
问题2:当 $a=-5,b=-2$ 时,
(1)$(a+b)(a-b)=(-5-2)×(-5+2)=21$;
(2)$a^2-b^2=25-4=21$。
结论:通过计算,发现(1)(2)两个式子的值仍相等。
解析
【分析】
解决这类探究代数式关系的问题，思路分为两步：首先将给定的字母取值分别代入两个代数式，按照有理数的运算顺序计算出结果，对比结果就能得到两个代数式的关系；验证结论是否成立时，只需更换字母的取值，重复代入计算、对比结果的操作即可。
【解析】
问题1：当$a=5,b=2$时，
(1) 代入$(a+b)(a-b)$可得：$(5+2)×(5-2)=7×3=21$；
(2) 代入$a^2 - b^2$可得：$5^2 - 2^2=25-4=21$。
对比两个结果可知，(1)(2)两个式子的值相等。
问题2：当$a=-5,b=-2$时，
(1) 代入$(a+b)(a-b)$可得：$(-5-2)×(-5+2)=(-7)×(-3)=21$；
(2) 代入$a^2 - b^2$可得：$(-5)^2 - (-2)^2=25-4=21$。
对比两个结果可知，两个式子的值仍然相等，上述结论成立。
【答案】
问题1：两个式子的值均为21，二者值相等；
问题2：上述结论仍然成立。
【知识点】
代数式求值、有理数混合运算、平方差公式
【点评】
本题是平方差公式的探究类基础题，通过代入不同数值计算的方式推导代数式间的等量关系，能够锻炼从特殊到一般的探究思维，计算时要注意负数乘方、乘除的符号处理，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.9
解决这类探究代数式关系的问题，思路分为两步：首先将给定的字母取值分别代入两个代数式，按照有理数的运算顺序计算出结果，对比结果就能得到两个代数式的关系；验证结论是否成立时，只需更换字母的取值，重复代入计算、对比结果的操作即可。
【解析】
问题1：当$a=5,b=2$时，
(1) 代入$(a+b)(a-b)$可得：$(5+2)×(5-2)=7×3=21$；
(2) 代入$a^2 - b^2$可得：$5^2 - 2^2=25-4=21$。
对比两个结果可知，(1)(2)两个式子的值相等。
问题2：当$a=-5,b=-2$时，
(1) 代入$(a+b)(a-b)$可得：$(-5-2)×(-5+2)=(-7)×(-3)=21$；
(2) 代入$a^2 - b^2$可得：$(-5)^2 - (-2)^2=25-4=21$。
对比两个结果可知，两个式子的值仍然相等，上述结论成立。
【答案】
问题1：两个式子的值均为21，二者值相等；
问题2：上述结论仍然成立。
【知识点】
代数式求值、有理数混合运算、平方差公式
【点评】
本题是平方差公式的探究类基础题，通过代入不同数值计算的方式推导代数式间的等量关系，能够锻炼从特殊到一般的探究思维，计算时要注意负数乘方、乘除的符号处理，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.9
10.甲、乙两家商店出售同样品牌和规格的羽毛球拍和羽毛球,每副球拍定价300元,每盒羽毛球定价40元,为庆祝“五一”国际劳动节,两家商店开展如下促销活动:
甲商店:所有商品9折优惠;
乙商店:每买1副球拍赠送1盒羽毛球。
某校羽毛球队需要购买a副球拍和b盒羽毛球($b＞a$)。
(1)按上述促销方式,该校羽毛球队在甲、乙两家商店分别应花费多少元?(用含$a,b$的代数式表示。)
(2)当$a=10,b=20$时,分别到甲、乙两家商店购买球拍和羽毛球,试判断在哪家商店花费较少。
甲商店:所有商品9折优惠;
乙商店:每买1副球拍赠送1盒羽毛球。
某校羽毛球队需要购买a副球拍和b盒羽毛球($b＞a$)。
(1)按上述促销方式,该校羽毛球队在甲、乙两家商店分别应花费多少元?(用含$a,b$的代数式表示。)
(2)当$a=10,b=20$时,分别到甲、乙两家商店购买球拍和羽毛球,试判断在哪家商店花费较少。
答案
(1)甲:$(270a+36b)$元;乙:$(260a+40b)$元。
(2)在甲商店花费3420元,在乙商店花费3400元,在乙商店花费较少。
(2)在甲商店花费3420元,在乙商店花费3400元,在乙商店花费较少。
解析
【分析】
本题解题思路清晰，分两步思考：
(1) 计算两家商店的花费时，先明确各自的促销规则：①甲商店所有商品打9折，先算出购买球拍和羽毛球的原价总和，再乘折扣0.9，化简就能得到甲店的花费代数式；②乙商店买1副球拍送1盒羽毛球，买a副球拍会赠送a盒羽毛球，只需支付超出赠送数量的(b-a)盒羽毛球的费用，加上a副球拍的原价，化简即可得到乙店的花费代数式。
(2) 比较哪家花费更少时，直接把a=10、b=20代入第(1)问得到的两个代数式，算出具体花费后比较大小即可。
【解析】
(1) 计算甲商店花费：
购买a副球拍和b盒羽毛球的原价总和为$300a + 40b$元，打9折后的费用为：
$0.9×(300a + 40b) = 270a + 36b$（元）
计算乙商店花费：
购买a副球拍赠送a盒羽毛球，需要付费的羽毛球数量为$(b-a)$盒，总费用为：
$300a + 40(b - a) = 300a + 40b - 40a = 260a + 40b$（元）
(2) 当$a=10,b=20$时：
甲商店花费：$270×10 + 36×20 = 2700 + 720 = 3420$（元）
乙商店花费：$260×10 + 40×20 = 2600 + 800 = 3400$（元）
因为$3420＞3400$，所以乙商店花费更少。
【答案】
(1) 甲商店：$(270a + 36b)$元；乙商店：$(260a + 40b)$元
(2) 在乙商店花费较少
【知识点】
列代数式；代数式求值；方案优选
【点评】
本题结合生活促销场景考查代数式的实际应用，解题核心是准确理解商家优惠规则，正确列出费用表达式后代入计算比较即可，题型贴近日常消费场景，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题解题思路清晰，分两步思考：
(1) 计算两家商店的花费时，先明确各自的促销规则：①甲商店所有商品打9折，先算出购买球拍和羽毛球的原价总和，再乘折扣0.9，化简就能得到甲店的花费代数式；②乙商店买1副球拍送1盒羽毛球，买a副球拍会赠送a盒羽毛球，只需支付超出赠送数量的(b-a)盒羽毛球的费用，加上a副球拍的原价，化简即可得到乙店的花费代数式。
(2) 比较哪家花费更少时，直接把a=10、b=20代入第(1)问得到的两个代数式，算出具体花费后比较大小即可。
【解析】
(1) 计算甲商店花费：
购买a副球拍和b盒羽毛球的原价总和为$300a + 40b$元，打9折后的费用为：
$0.9×(300a + 40b) = 270a + 36b$（元）
计算乙商店花费：
购买a副球拍赠送a盒羽毛球，需要付费的羽毛球数量为$(b-a)$盒，总费用为：
$300a + 40(b - a) = 300a + 40b - 40a = 260a + 40b$（元）
(2) 当$a=10,b=20$时：
甲商店花费：$270×10 + 36×20 = 2700 + 720 = 3420$（元）
乙商店花费：$260×10 + 40×20 = 2600 + 800 = 3400$（元）
因为$3420＞3400$，所以乙商店花费更少。
【答案】
(1) 甲商店：$(270a + 36b)$元；乙商店：$(260a + 40b)$元
(2) 在乙商店花费较少
【知识点】
列代数式；代数式求值；方案优选
【点评】
本题结合生活促销场景考查代数式的实际应用，解题核心是准确理解商家优惠规则，正确列出费用表达式后代入计算比较即可，题型贴近日常消费场景，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
