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9. [2026 宣城期末]若方程$x^2 - mx +1=0$没有实数根，则$m$的值可以是（
A.$-3$
B.$-2$
C.$\frac{7}{3}$
D.$\sqrt{3}$
D
）A.$-3$
B.$-2$
C.$\frac{7}{3}$
D.$\sqrt{3}$
答案
9.D
解析
【分析】
要判断一元二次方程无实数根时参数的取值，首先想到利用一元二次方程根的判别式判断：对于$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），$\Delta=b^2-4ac＜0$时方程无实根。先确定本题方程的各项系数，代入判别式列出关于$m$的不等式，解不等式得到$m$的取值范围，再逐一比对选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
解：已知方程$x^2 - mx +1=0$是一元二次方程，其中$a=1$，$b=-m$，$c=1$。
因为方程没有实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$，
代入系数得：$(-m)^2 - 4×1×1 ＜ 0$，
化简得：$m^2 - 4 ＜ 0$，即$m^2 ＜ 4$，
解得：$-2 ＜ m ＜ 2$。
逐一比对选项：
A. $-3 ＜ -2$，不符合范围；
B. $-2$是边界值，此时$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根，不符合；
C. $\frac{7}{3}\approx2.33＞2$，不符合范围；
D. $\sqrt{3}\approx1.732$，满足$-2 ＜ \sqrt{3} ＜ 2$，符合要求。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
根的判别式、解不等式、实数大小比较
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题的关键是牢记判别式的意义，准确计算得到参数的取值范围再判断选项，计算时注意不要弄错系数的符号。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程无实数根时参数的取值，首先想到利用一元二次方程根的判别式判断：对于$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），$\Delta=b^2-4ac＜0$时方程无实根。先确定本题方程的各项系数，代入判别式列出关于$m$的不等式，解不等式得到$m$的取值范围，再逐一比对选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
解：已知方程$x^2 - mx +1=0$是一元二次方程，其中$a=1$，$b=-m$，$c=1$。
因为方程没有实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$，
代入系数得：$(-m)^2 - 4×1×1 ＜ 0$，
化简得：$m^2 - 4 ＜ 0$，即$m^2 ＜ 4$，
解得：$-2 ＜ m ＜ 2$。
逐一比对选项：
A. $-3 ＜ -2$，不符合范围；
B. $-2$是边界值，此时$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根，不符合；
C. $\frac{7}{3}\approx2.33＞2$，不符合范围；
D. $\sqrt{3}\approx1.732$，满足$-2 ＜ \sqrt{3} ＜ 2$，符合要求。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
根的判别式、解不等式、实数大小比较
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题的关键是牢记判别式的意义，准确计算得到参数的取值范围再判断选项，计算时注意不要弄错系数的符号。
【难度系数】
0.8
【变式1·转化思想】[2026合肥三模]若关于x的一元二次方程$x^2 - mx = -m$有两个相等的正实数根，则m的值为（
A.4
B.$-4$
C.$\frac{1}{4}$
D.$-\frac{1}{4}$
A
）A.4
B.$-4$
C.$\frac{1}{4}$
D.$-\frac{1}{4}$
答案
【变式1·转化思想】A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要将给定的一元二次方程整理为标准形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），结合“方程有两个相等的实数根”这一条件，利用根的判别式$\Delta=b^2-4ac=0$求出$m$的可能取值，再根据“根为正实数”的要求排除不符合的取值，最终得到正确的$m$值。
【解析】
第一步：将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
原方程$x^2 - mx = -m$移项得 $x^2 - mx + m = 0$，其中$a=1$，$b=-m$，$c=m$。
第二步：根据方程有两个相等的实数根，可知判别式$\Delta=0$：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-m)^2 - 4×1× m = m^2 - 4m = 0$
因式分解得 $m(m-4)=0$，解得 $m=0$ 或 $m=4$。
第三步：验证根是否为正实数：
① 当$m=0$时，方程为$x^2=0$，解得$x_1=x_2=0$，0不是正实数，不符合题意，舍去；
② 当$m=4$时，方程为$x^2 -4x +4=0$，即$(x-2)^2=0$，解得$x_1=x_2=2$，是正实数，符合题意。
因此$m$的值为4。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元二次方程；根的符号判定
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的典型应用，解题时需先将方程化为标准形式再计算判别式，易错点是忽略题目中“正实数根”的限制条件，求出$m$的取值后未进行验证导致错选，求解含限定条件的根的问题时，一定要注意对结果进行检验。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要将给定的一元二次方程整理为标准形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），结合“方程有两个相等的实数根”这一条件，利用根的判别式$\Delta=b^2-4ac=0$求出$m$的可能取值，再根据“根为正实数”的要求排除不符合的取值，最终得到正确的$m$值。
【解析】
第一步：将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
原方程$x^2 - mx = -m$移项得 $x^2 - mx + m = 0$，其中$a=1$，$b=-m$，$c=m$。
第二步：根据方程有两个相等的实数根，可知判别式$\Delta=0$：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-m)^2 - 4×1× m = m^2 - 4m = 0$
因式分解得 $m(m-4)=0$，解得 $m=0$ 或 $m=4$。
第三步：验证根是否为正实数：
① 当$m=0$时，方程为$x^2=0$，解得$x_1=x_2=0$，0不是正实数，不符合题意，舍去；
② 当$m=4$时，方程为$x^2 -4x +4=0$，即$(x-2)^2=0$，解得$x_1=x_2=2$，是正实数，符合题意。
因此$m$的值为4。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元二次方程；根的符号判定
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的典型应用，解题时需先将方程化为标准形式再计算判别式，易错点是忽略题目中“正实数根”的限制条件，求出$m$的取值后未进行验证导致错选，求解含限定条件的根的问题时，一定要注意对结果进行检验。
【难度系数】
0.7
【变式2·含参分析】[2026安庆期中]若关于x的一元二次方程$(k-1)x^2+2x-2=0$有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（
A.$k＞\frac{1}{2}$且$k≠1$
B.$k＞\frac{1}{2}$
C.$k≥\frac{1}{2}$且$k≠1$
D.$k≥\frac{1}{2}$
A
）A.$k＞\frac{1}{2}$且$k≠1$
B.$k＞\frac{1}{2}$
C.$k≥\frac{1}{2}$且$k≠1$
D.$k≥\frac{1}{2}$
答案
【变式2·含参分析】A
解析
【分析】
要解决这道题，需同时满足两个核心条件：①题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程会变为一元一次方程，不符合题意；②方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式Δ＞0。我们分别求出两个条件下k的取值范围，再取公共部分即可得到最终结果。
【解析】
1. 根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，可得：
$k-1≠0$，解得$k≠1$
2. 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，本题中$a=k-1$，$b=2$，$c=-2$，代入计算得：
$\Delta=2^2-4×(k-1)×(-2)=4+8(k-1)=8k-4$
因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta＞0$，即：
$8k-4＞0$
移项化简得$8k＞4$，解得$k＞\frac{1}{2}$
3. 结合两个条件，k需同时满足$k＞\frac{1}{2}$且$k≠1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是含参数一元二次方程根的情况的典型考题，解题时容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，导致误选B选项，做这类题时要优先考虑二次项系数的限制条件，再结合判别式求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需同时满足两个核心条件：①题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程会变为一元一次方程，不符合题意；②方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式Δ＞0。我们分别求出两个条件下k的取值范围，再取公共部分即可得到最终结果。
【解析】
1. 根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，可得：
$k-1≠0$，解得$k≠1$
2. 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，本题中$a=k-1$，$b=2$，$c=-2$，代入计算得：
$\Delta=2^2-4×(k-1)×(-2)=4+8(k-1)=8k-4$
因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta＞0$，即：
$8k-4＞0$
移项化简得$8k＞4$，解得$k＞\frac{1}{2}$
3. 结合两个条件，k需同时满足$k＞\frac{1}{2}$且$k≠1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是含参数一元二次方程根的情况的典型考题，解题时容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，导致误选B选项，做这类题时要优先考虑二次项系数的限制条件，再结合判别式求解。
【难度系数】
0.7
10. 新角度如图，关于$x$的方程中的三个符号，改变其中的两个（“+”变为“-”，或“-”变为“+”），使方程的实数根的个数不变，则可以改变的是（
A.①②
B.①③
C.②③
D.以上选项均不成立
B
）A.①②
B.①③
C.②③
D.以上选项均不成立
答案
10.B
解析
【分析】
解题首先要先通过根的判别式确定原方程的实数根个数，原方程为一元二次方程，用$\Delta=b^2-4ac$判断根的情况：原方程$\Delta＞0$，有2个不相等的实数根。题目要求改变2个符号后根的个数不变，即新方程的$\Delta$也要大于0。我们只需明确三个符号分别对应二次项系数、一次项系数、常数项的符号，再逐一计算每个选项改写后方程的判别式，对比即可得出结论。
【解析】
首先计算原方程的根的判别式：
原方程为$2x^2 + x - 1 = 0$，其中$a=2$，$b=1$，$c=-1$，
$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×2×(-1) = 9＞0$，即原方程有2个不相等的实数根。
接下来逐一分析选项：
A. 改变①②：方程变为$-2x^2 - x - 1 = 0$，整理为$2x^2 + x + 1 = 0$，
$\Delta = 1^2 - 4×2×1 = -7＜0$，无实数根，根的个数改变，不符合要求。
B. 改变①③：方程变为$-2x^2 + x + 1 = 0$，整理为$2x^2 - x - 1 = 0$，
$\Delta = (-1)^2 - 4×2×(-1) = 9＞0$，有2个不相等的实数根，根的个数不变，符合要求。
C. 改变②③：方程变为$2x^2 - x + 1 = 0$，
$\Delta = (-1)^2 - 4×2×1 = -7＜0$，无实数根，根的个数改变，不符合要求。
综上，只有选项B满足条件。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 分类讨论思想
【点评】
本题将符号改写和一元二次方程根的判别式结合考查，解题核心是准确对应每个符号代表的系数，正确计算改写后方程的判别式，也可利用“一次项系数平方后符号不影响判别式”的规律简化计算。
【难度系数】
0.7
解题首先要先通过根的判别式确定原方程的实数根个数，原方程为一元二次方程，用$\Delta=b^2-4ac$判断根的情况：原方程$\Delta＞0$，有2个不相等的实数根。题目要求改变2个符号后根的个数不变，即新方程的$\Delta$也要大于0。我们只需明确三个符号分别对应二次项系数、一次项系数、常数项的符号，再逐一计算每个选项改写后方程的判别式，对比即可得出结论。
【解析】
首先计算原方程的根的判别式：
原方程为$2x^2 + x - 1 = 0$，其中$a=2$，$b=1$，$c=-1$，
$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×2×(-1) = 9＞0$，即原方程有2个不相等的实数根。
接下来逐一分析选项：
A. 改变①②：方程变为$-2x^2 - x - 1 = 0$，整理为$2x^2 + x + 1 = 0$，
$\Delta = 1^2 - 4×2×1 = -7＜0$，无实数根，根的个数改变，不符合要求。
B. 改变①③：方程变为$-2x^2 + x + 1 = 0$，整理为$2x^2 - x - 1 = 0$，
$\Delta = (-1)^2 - 4×2×(-1) = 9＞0$，有2个不相等的实数根，根的个数不变，符合要求。
C. 改变②③：方程变为$2x^2 - x + 1 = 0$，
$\Delta = (-1)^2 - 4×2×1 = -7＜0$，无实数根，根的个数改变，不符合要求。
综上，只有选项B满足条件。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 分类讨论思想
【点评】
本题将符号改写和一元二次方程根的判别式结合考查，解题核心是准确对应每个符号代表的系数，正确计算改写后方程的判别式，也可利用“一次项系数平方后符号不影响判别式”的规律简化计算。
【难度系数】
0.7
11. 新考法 对于任意实数$a,b$,定义一种运算:$a\otimes b=2ab-1$.若$x\otimes(x-2)=1$,则$x$的值为________.
答案
11.$1+\sqrt{2}$或$1-\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题首先需要准确理解新定义的运算规则，将给定的新运算转化为常规代数运算：将$a=x$、$b=x-2$代入运算式$a\otimes b=2ab-1$，即可得到关于$x$的方程，再将方程整理为一元二次方程的一般形式，利用公式法求解方程即可得到$x$的值。
【解析】
根据新定义的运算规则$a\otimes b=2ab-1$，可得：
$x\otimes(x-2)=2x(x-2)-1$
已知$x\otimes(x-2)=1$，因此列方程：
$2x(x-2)-1=1$
展开并整理方程：
$2x^2-4x-1=1$
移项得$2x^2-4x-2=0$，两边同时除以2化简为：
$x^2-2x-1=0$
其中$a=1$，$b=-2$，$c=-1$，先计算判别式：
$\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4×1×(-1)=4+4=8＞0$
根据一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，代入得：
$x=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{2\pm2\sqrt{2}}{2}=1\pm\sqrt{2}$
即$x_1=1+\sqrt{2}$，$x_2=1-\sqrt{2}$
【答案】
$1+\sqrt{2}$或$1-\sqrt{2}$
【知识点】
新定义运算、公式法解一元二次方程
【点评】
本题结合新运算的形式考查一元二次方程的求解，解题核心是正确将新运算转化为熟悉的整式方程，再按照一元二次方程的求解步骤计算即可，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
解题首先需要准确理解新定义的运算规则，将给定的新运算转化为常规代数运算：将$a=x$、$b=x-2$代入运算式$a\otimes b=2ab-1$，即可得到关于$x$的方程，再将方程整理为一元二次方程的一般形式，利用公式法求解方程即可得到$x$的值。
【解析】
根据新定义的运算规则$a\otimes b=2ab-1$，可得：
$x\otimes(x-2)=2x(x-2)-1$
已知$x\otimes(x-2)=1$，因此列方程：
$2x(x-2)-1=1$
展开并整理方程：
$2x^2-4x-1=1$
移项得$2x^2-4x-2=0$，两边同时除以2化简为：
$x^2-2x-1=0$
其中$a=1$，$b=-2$，$c=-1$，先计算判别式：
$\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4×1×(-1)=4+4=8＞0$
根据一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，代入得：
$x=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{2\pm2\sqrt{2}}{2}=1\pm\sqrt{2}$
即$x_1=1+\sqrt{2}$，$x_2=1-\sqrt{2}$
【答案】
$1+\sqrt{2}$或$1-\sqrt{2}$
【知识点】
新定义运算、公式法解一元二次方程
【点评】
本题结合新运算的形式考查一元二次方程的求解，解题核心是正确将新运算转化为熟悉的整式方程，再按照一元二次方程的求解步骤计算即可，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
12.用公式法解下列方程：
(1)$\sqrt{2}x^2 + 4\sqrt{3}x - 2\sqrt{2}=0$；
(2)$\frac{3}{4}x^2 - 2x - \frac{1}{2}=0$。
(1)$\sqrt{2}x^2 + 4\sqrt{3}x - 2\sqrt{2}=0$；
(2)$\frac{3}{4}x^2 - 2x - \frac{1}{2}=0$。
答案
12.解：(1)$x_1=-\sqrt{6}+2\sqrt{2},x_2=-\sqrt{6}-2\sqrt{2}$.(2)$x_1=\frac{4+\sqrt{22}}{3},x_2=\frac{4-\sqrt{22}}{3}$.
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程遵循固定步骤：1.先将方程化为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，若方程系数为分数，可先同乘公分母化为整数系数简化计算；2.准确确定$a$、$b$、$c$的值，注意不要漏带符号；3.计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，若$\Delta≥0$则方程有实数根，可继续代入求根公式，若$\Delta＜0$则无实数根；4.代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算，最后将结果化简为最简形式，根式需做分母有理化处理。
【解析】
(1) 对于方程$\sqrt{2}x^2 + 4\sqrt{3}x - 2\sqrt{2}=0$：
①确定系数：$a=\sqrt{2}$，$b=4\sqrt{3}$，$c=-2\sqrt{2}$
②计算判别式：
$\Delta=b^2-4ac=(4\sqrt{3})^2 - 4×\sqrt{2}×(-2\sqrt{2})=48 + 16=64＞0$，方程有两个不相等的实数根
③代入求根公式并化简：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-4\sqrt{3}\pm\sqrt{64}}{2×\sqrt{2}}=\frac{-4\sqrt{3}\pm8}{2\sqrt{2}}=\frac{-2\sqrt{3}\pm4}{\sqrt{2}}=-\sqrt{6}\pm2\sqrt{2}$
(2) 对于方程$\frac{3}{4}x^2 - 2x - \frac{1}{2}=0$：
①化为整数系数方程：两边同乘4得$3x^2 -8x -2=0$
②确定系数：$a=3$，$b=-8$，$c=-2$
③计算判别式：
$\Delta=b^2-4ac=(-8)^2 - 4×3×(-2)=64 +24=88＞0$，方程有两个不相等的实数根
④代入求根公式并化简：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{8\pm\sqrt{88}}{2×3}=\frac{8\pm2\sqrt{22}}{6}=\frac{4\pm\sqrt{22}}{3}$
【答案】
(1)$x_1=-\sqrt{6}+2\sqrt{2},x_2=-\sqrt{6}-2\sqrt{2}$；(2)$x_1=\frac{4+\sqrt{22}}{3},x_2=\frac{4-\sqrt{22}}{3}$
【知识点】
1.公式法解一元二次方程 2.二次根式化简 3.一元二次方程判别式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题型，解题核心是严格遵循公式法的操作步骤，尤其要注意$a、b、c$的符号判断、判别式的计算准确性，以及最终结果的化简规范，避免出现计算错误或根式未化简的问题。
【难度系数】
0.75
用公式法解一元二次方程遵循固定步骤：1.先将方程化为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，若方程系数为分数，可先同乘公分母化为整数系数简化计算；2.准确确定$a$、$b$、$c$的值，注意不要漏带符号；3.计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，若$\Delta≥0$则方程有实数根，可继续代入求根公式，若$\Delta＜0$则无实数根；4.代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算，最后将结果化简为最简形式，根式需做分母有理化处理。
【解析】
(1) 对于方程$\sqrt{2}x^2 + 4\sqrt{3}x - 2\sqrt{2}=0$：
①确定系数：$a=\sqrt{2}$，$b=4\sqrt{3}$，$c=-2\sqrt{2}$
②计算判别式：
$\Delta=b^2-4ac=(4\sqrt{3})^2 - 4×\sqrt{2}×(-2\sqrt{2})=48 + 16=64＞0$，方程有两个不相等的实数根
③代入求根公式并化简：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-4\sqrt{3}\pm\sqrt{64}}{2×\sqrt{2}}=\frac{-4\sqrt{3}\pm8}{2\sqrt{2}}=\frac{-2\sqrt{3}\pm4}{\sqrt{2}}=-\sqrt{6}\pm2\sqrt{2}$
(2) 对于方程$\frac{3}{4}x^2 - 2x - \frac{1}{2}=0$：
①化为整数系数方程：两边同乘4得$3x^2 -8x -2=0$
②确定系数：$a=3$，$b=-8$，$c=-2$
③计算判别式：
$\Delta=b^2-4ac=(-8)^2 - 4×3×(-2)=64 +24=88＞0$，方程有两个不相等的实数根
④代入求根公式并化简：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{8\pm\sqrt{88}}{2×3}=\frac{8\pm2\sqrt{22}}{6}=\frac{4\pm\sqrt{22}}{3}$
【答案】
(1)$x_1=-\sqrt{6}+2\sqrt{2},x_2=-\sqrt{6}-2\sqrt{2}$；(2)$x_1=\frac{4+\sqrt{22}}{3},x_2=\frac{4-\sqrt{22}}{3}$
【知识点】
1.公式法解一元二次方程 2.二次根式化简 3.一元二次方程判别式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题型，解题核心是严格遵循公式法的操作步骤，尤其要注意$a、b、c$的符号判断、判别式的计算准确性，以及最终结果的化简规范，避免出现计算错误或根式未化简的问题。
【难度系数】
0.75
13. 中考趋势·阅读理解 [2026 宿迁模拟]阅读材料：
已知$(a+b-3)(a+b+4)=-10$，求$a+b$的值.
解：设$t=a+b$，则原方程变形为$(t-3)(t+4)=-10$，即$t^2+t-2=0$.
所以$t=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2}$，得$t_1=-2,t_2=1$.
所以$a+b=-2$或$a+b=1$.
根据材料解答问题：已知$(a^2+b^2-3)(a^2+b^2+1)=8$，求$a^2+b^2$的值.
已知$(a+b-3)(a+b+4)=-10$，求$a+b$的值.
解：设$t=a+b$，则原方程变形为$(t-3)(t+4)=-10$，即$t^2+t-2=0$.
所以$t=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2}$，得$t_1=-2,t_2=1$.
所以$a+b=-2$或$a+b=1$.
根据材料解答问题：已知$(a^2+b^2-3)(a^2+b^2+1)=8$，求$a^2+b^2$的值.
答案
13.解: $a^2 + b^2 = 2\sqrt{3} + 1.$
解析
【分析】
观察到式子中$a^2+b^2$作为整体重复出现，可采用换元法简化计算：第一步设$t=a^2+b^2$，结合平方的非负性可知$t≥0$；第二步将原方程转化为关于$t$的一元二次方程；第三步用公式法求解一元二次方程，最后根据$t$的取值范围舍去不符合要求的根，即可得到$a^2+b^2$的值。
【解析】
设$t=a^2+b^2$，由平方的非负性可得$t≥0$。
将原方程变形为：$(t-3)(t+1)=8$
展开并整理得：
$t^2 + t - 3t - 3 = 8$
$t^2 - 2t - 11 = 0$
其中一元二次方程的系数$a=1$，$b=-2$，$c=-11$，代入求根公式$t=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$：
先计算判别式$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(-11) = 4 + 44 = 48$
因此$t=\frac{2\pm\sqrt{48}}{2}=\frac{2\pm4\sqrt{3}}{2}=1\pm2\sqrt{3}$
由于$t≥0$，$1-2\sqrt{3}＜0$不符合要求，舍去，故$t=1+2\sqrt{3}$。
【答案】
$a^2 + b^2 = 2\sqrt{3} + 1$
【知识点】
换元法解方程，公式法解一元二次方程，平方的非负性
【点评】
本题考查整体思想在解方程中的应用，解题关键是找准可以替换的整体进行换元，同时要注意换元后新变量的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
观察到式子中$a^2+b^2$作为整体重复出现，可采用换元法简化计算：第一步设$t=a^2+b^2$，结合平方的非负性可知$t≥0$；第二步将原方程转化为关于$t$的一元二次方程；第三步用公式法求解一元二次方程，最后根据$t$的取值范围舍去不符合要求的根，即可得到$a^2+b^2$的值。
【解析】
设$t=a^2+b^2$，由平方的非负性可得$t≥0$。
将原方程变形为：$(t-3)(t+1)=8$
展开并整理得：
$t^2 + t - 3t - 3 = 8$
$t^2 - 2t - 11 = 0$
其中一元二次方程的系数$a=1$，$b=-2$，$c=-11$，代入求根公式$t=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$：
先计算判别式$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(-11) = 4 + 44 = 48$
因此$t=\frac{2\pm\sqrt{48}}{2}=\frac{2\pm4\sqrt{3}}{2}=1\pm2\sqrt{3}$
由于$t≥0$，$1-2\sqrt{3}＜0$不符合要求，舍去，故$t=1+2\sqrt{3}$。
【答案】
$a^2 + b^2 = 2\sqrt{3} + 1$
【知识点】
换元法解方程，公式法解一元二次方程，平方的非负性
【点评】
本题考查整体思想在解方程中的应用，解题关键是找准可以替换的整体进行换元，同时要注意换元后新变量的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
