9. 新考法 如图，OA 的方向是北偏东 $ 20° $，OB 的方向是北偏西 $ 35° $，OA 平分 $ ∠ BOC $，则 OC 的方向是 ()



A.北偏东 $ 35° $
B.东偏北 $ 25° $
C.东偏北 $ 45° $
D.北偏东 $ 75° $

9.D

【分析】
解题时首先以正北方向为基准，先计算OA与OB的夹角：OA为北偏东20°、OB为北偏西35°，两者的夹角就是两个偏角的和；再利用角平分线的性质得到∠AOC与∠AOB相等；最后计算OC与正北方向的夹角，即可确定OC的方位。
【解析】
首先以正北方向为基准计算角度：
1. 计算∠AOB的度数：
$∠ AOB = 20° + 35° = 55°$
2. 利用角平分线的性质求$∠ AOC$：
∵ OA平分$∠ BOC$，根据角平分线的定义
∴ $∠ AOC = ∠ AOB = 55°$
3. 计算OC与正北方向的夹角：
OC在OA的东侧，因此OC相对于正北方向的偏角为$20° + 55° = 75°$，即OC的方向是北偏东$75°$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
方位角的认识；角的和差计算；角平分线的定义
【点评】
本题结合方位场景考查角平分线性质与角的和差运算，解题核心是找准方位角的基准方向，逐步推导所求角度，是方位与角运算结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7

10. 方法思想如图，O为直线AC上一点，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC的内部，$∠ BOE = \frac{1}{3}∠ BOC$，$∠ DOE = 72°$，则$∠ EOC$的度数为()


A.$70°$
B.$72°$
C.$75°$
D.$80°$

10.B

【分析】
我们可以通过设未知数，结合角平分线性质、平角为180°的特点，根据已知的角的数量关系列方程求解。首先根据∠BOE和∠BOC的比例关系设未知数，再分别表示出∠DOB，结合∠DOE的度数建立方程，最终求得∠EOC的度数。
【解析】
设∠BOE = x，
∵ $∠ BOE = \frac{1}{3}∠ BOC$，
∴ $∠ BOC = 3x$，则$∠ EOC = ∠ BOC - ∠ BOE = 3x - x = 2x$。
∵ O为直线AC上一点，平角为180°，
∴ $∠ AOB + ∠ BOC = 180°$，即$∠ AOB = 180° - 3x$。
又
∵ OD是$∠ AOB$的平分线，
∴ $∠ DOB = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2}(180° - 3x) = 90° - \frac{3}{2}x$。
已知$∠ DOE = 72°$，且$∠ DOE = ∠ DOB + ∠ BOE$，代入得：
$90° - \frac{3}{2}x + x = 72°$
整理得$90° - \frac{1}{2}x = 72°$，
解得$x = 36°$，
∴ $∠ EOC = 2x = 2×36° = 72°$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的定义；平角的性质；角度和差计算
【点评】
本题是角度计算的常规题型，将方程思想和角的性质结合是解题的关键，需要熟练掌握角之间的数量转化，这类方法也是后续求解复杂角度问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7

11.如图，BD平分∠ABC，BE把∠ABC分成3：7的两部分，∠DBE=25°，则∠ABC的度数为。

11.125°

【分析】
遇到含有角平分线、角的比例关系的角度计算问题，我们可以通过设未知数建立方程求解：首先设∠ABC的度数为x，根据角平分线的定义表示出∠ABD的度数，再根据BE分角的比例关系表示出∠ABE的度数，最后根据∠DBE=∠ABD-∠ABE=25°的等量关系列方程，解出x即可得到∠ABC的度数。
【解析】
设∠ABC的度数为$ x° $。
1. 因为BD平分∠ABC，根据角平分线的定义可得：
$ ∠ ABD = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2}x° $
2. 因为BE把∠ABC分成3:7的两部分，所以∠ABE占∠ABC的$ \frac{3}{3+7}=\frac{3}{10} $，即：
$ ∠ ABE = \frac{3}{10}x° $
3. 由图可知$ ∠ DBE = ∠ ABD - ∠ ABE $，已知$ ∠ DBE=25° $，因此列方程：
$ \frac{1}{2}x - \frac{3}{10}x = 25 $
化简得：$ \frac{5}{10}x - \frac{3}{10}x =25 $，即$ \frac{1}{5}x=25 $
解得：$ x=125 $
【答案】
$ 125° $
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，比例的应用
【点评】
本题是角度计算的基础常考题，解题核心是梳理清楚各角之间的数量关系，找到已知角和未知角的等量关系，既可以用方程法求解，也可以通过设份数的方法快速计算。
【难度系数】
0.7

12.如图，射线OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线，且∠AOB=90°.
(1)∠MON的度数为.
(2)当OC在∠AOB内转动时，∠MON的度数是否会发生变化？简单说明理由.

12.解：(1)45°
(2)当OC在∠AOB内转动时，∠MON的度数不会发生变化.理由:易得∠MON=$\frac{1}{2}$∠AOB，
所以只要∠AOB的大小不变，无论OC在∠AOB内怎样转动，∠MON的度数不会发生变化.

【分析】
解题思路：首先回忆角平分线的定义，角平分线可将一个角分成两个相等的小角，大小为原角的一半。对于(1)，先把∠MON拆成∠MOC和∠NOC的和，再结合两条角平分线的性质，将两个小角用∠AOC、∠BOC表示，合并后得到∠MON和已知∠AOB的关系，代入数值就能算出结果。对于(2)，判断角的大小是否变化，只需看推导得到的∠MON的表达式中的量是否为定值，只要表达式里的量固定，∠MON的大小就不会变。
【解析】
(1) 因为射线OM是∠AOC的平分线，根据角平分线的定义，可得$∠ MOC=\frac{1}{2}∠ AOC$；
同理，射线ON是∠BOC的平分线，可得$∠ NOC=\frac{1}{2}∠ BOC$；
因此$∠ MON=∠ MOC+∠ NOC=\frac{1}{2}∠ AOC+\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOC)$，
又因为$∠ AOC+∠ BOC=∠ AOB=90°$，
代入计算得$∠ MON=\frac{1}{2}×90°=45°$。
(2) 当OC在∠AOB内转动时，∠MON的度数不会发生变化。
理由：由上述推导可知$∠ MON=\frac{1}{2}∠ AOB$，只要∠AOB的大小不变，无论OC在∠AOB内怎样转动，$∠ AOC+∠ BOC$始终等于∠AOB，因此∠MON的度数始终为$\frac{1}{2}∠ AOB$，不会发生变化。
【答案】
(1)$45°$；(2)不会发生变化，理由：$∠ MON=\frac{1}{2}∠ AOB$，所以只要$∠ AOB$的大小不变，无论OC在$∠ AOB$内怎样转动，$∠ MON$的度数不会发生变化。
【知识点】
角平分线的定义；角的和差运算
【点评】
本题是角平分线相关的基础题型，解题的关键是通过角的和差关系，将所求角转化为已知定角的一半，不需要关注内部射线OC的具体位置，抓住定值总量即可得出结论，能很好地锻炼逻辑推导能力。
【难度系数】
0.8

13. 新考法 定义:从角的顶点出发的两条射线将角平均分成三等份,则称这两条射线为角的三等分线.如图,已知$∠ AOB = 120°$,$∠ BOC=30°$,若$OM$为$∠ AOB$的一条三等分线,求$∠ MOC$的度数.

13.解：分两种情况:①当∠AOM=$\frac{1}{3}$∠AOB时,如图①所示，
因为∠AOB=120°,所以∠AOM=$\frac{1}{3}$×120°=40°.因为∠BOC=30°,所以∠MOC=∠AOB-∠AOM-∠BOC=120°-40°-30°=50°;②当∠BOM=$\frac{1}{3}$∠AOB时,如图②所示,因为∠AOB=120°,所以∠BOM=$\frac{1}{3}$×120°=40°.因为∠BOC=30°,所以∠MOC=∠BOM-∠BOC=40°-30°=10°.综上所述,∠MOC的度数为50°或10°.

【分析】
题目仅说明OM是∠AOB的三等分线，未明确OM的具体位置，因此需要分两种情况讨论：第一种是OM靠近OA，此时∠AOM为∠AOB的三分之一；第二种是OM靠近OB，此时∠BOM为∠AOB的三分之一。再结合已知的∠AOB、∠BOC的度数，分别计算两种情形下∠MOC的度数即可。
【解析】
解：分两种情况计算：
① 当$∠ AOM=\frac{1}{3}∠ AOB$时，对应图①：
已知$∠ AOB=120°$，因此$∠ AOM=\frac{1}{3}×120°=40°$，
又已知$∠ BOC=30°$，所以$∠ MOC=∠ AOB-∠ AOM-∠ BOC=120°-40°-30°=50°$；
② 当$∠ BOM=\frac{1}{3}∠ AOB$时，对应图②：
已知$∠ AOB=120°$，因此$∠ BOM=\frac{1}{3}×120°=40°$，
又已知$∠ BOC=30°$，所以$∠ MOC=∠ BOM-∠ BOC=40°-30°=10°$。
综上，$∠ MOC$的度数为$50°$或$10°$。
【答案】
分两种情况:①当∠AOM=$\frac{1}{3}$∠AOB时,如图①所示，
因为∠AOB=120°,所以∠AOM=$\frac{1}{3}$×120°=40°.因为∠BOC=30°,所以∠MOC=∠AOB-∠AOM-∠BOC=120°-40°-30°=50°;②当∠BOM=$\frac{1}{3}$∠AOB时,如图②所示,因为∠AOB=120°,所以∠BOM=$\frac{1}{3}$×120°=40°.因为∠BOC=30°,所以∠MOC=∠BOM-∠BOC=40°-30°=10°.综上所述,∠MOC的度数为50°或10°.

【知识点】
角的三等分线，角度计算，分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略角的三等分线存在两种位置情况，导致漏解。遇到未明确位置的角的等分线问题时，要主动考虑分类讨论，全面覆盖所有可能的情形。
【难度系数】
0.6

14. 推理能力 如图①，老师拿一张长方形纸片折叠一角，得到折痕EF，同学们发现折痕有角的平分线的作用.
(1)若$∠ EFA'=35°$，则$∠ A'FB=$；
(2)希望小组将长方形纸片按图②方式折叠，EF，FG为折痕，点$A'$，$B'$，F恰好在同一条直线上，求$∠ EFG$的度数；
(3)智慧小组将长方形纸片按图③方式折叠，DE，CE为折痕，若$∠ A'EB'=15°$，请直接写出$∠ DEC$的度数.

14.解：(1)110°
(2)依题意,得∠A'FE=∠AFE=$\frac{1}{2}$∠A'FA，
∠B'FG=∠GFB=$\frac{1}{2}$∠B'FB，
所以∠EFG=∠A'FE+∠B'FG=$\frac{1}{2}$(∠A'FA+∠B'FB)
=$\frac{1}{2}$×180°=90°.
(3)∠DEC的度数为82.5°.

【分析】
本题主要利用折叠前后对应角相等的性质，结合平角、角平分线的定义求解角的度数：
(1) 由折叠性质可知∠EFA=∠EFA'，再结合平角为180°，代入已知角度即可计算∠A'FB的度数；
(2) 根据折叠性质可得EF平分∠A'FA，FG平分∠B'FB，而∠A'FA和∠B'FB组成平角，由此可推出∠EFG是平角的一半，即可得解；
(3) 由折叠性质得∠AED=∠A'ED，∠BEC=∠B'EC，结合平角为180°，先求出∠A'ED与∠B'EC的和，再结合∠A'EB'的度数即可算出∠DEC的度数。
【解析】
(1) 由折叠的性质可得∠EFA=∠EFA'=35°，
∵∠EFA+∠EFA'+∠A'FB=180°（平角的定义），
∴∠A'FB=180°-35°-35°=110°；
(2) 依题意，根据折叠的性质得：
∠A'FE=∠AFE=$\frac{1}{2}$∠A'FA，
∠B'FG=∠GFB=$\frac{1}{2}$∠B'FB，
∵∠A'FA+∠B'FB=180°（平角的定义），
∴∠EFG=∠A'FE+∠B'FG=$\frac{1}{2}$(∠A'FA+∠B'FB)=$\frac{1}{2}$×180°=90°；
(3) 由折叠的性质得∠AED=∠A'ED，∠BEC=∠B'EC，
∴∠AEA'=2∠A'ED，∠BEB'=2∠B'EC，
∵∠AEA'+∠BEB'-∠A'EB'=180°，∠A'EB'=15°，
∴2∠A'ED+2∠B'EC=180°+15°=195°，
∴∠A'ED+∠B'EC=97.5°，
∴∠DEC=∠A'ED+∠B'EC-∠A'EB'=97.5°-15°=82.5°。
【答案】
(1)$110°$；(2)$90°$；(3)$82.5°$
【知识点】
折叠的性质，角平分线的定义，平角的定义
【点评】
本题以长方形折叠为背景考查角的相关计算，解题关键是熟练掌握折叠前后对应角相等的性质，结合角平分线和平角的定义进行角度运算，有助于提升逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6