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8. 在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(3，4)，B(1，3)，C(4，1).点$A'$的坐标是$(-2，2)$，现将三角形ABC平移，使点A平移到点$A'$，点$B'$，$C'$分别是点B，C的对应点.
（1）请画出平移后的三角形$A'B'C'$，并直接写出点$B'$，$C'$的坐标；
（2）已知三角形ABC内一点P的坐标为$(a，b)$，求平移后点P的对应点$P'$的坐标.
（1）请画出平移后的三角形$A'B'C'$，并直接写出点$B'$，$C'$的坐标；
（2）已知三角形ABC内一点P的坐标为$(a，b)$，求平移后点P的对应点$P'$的坐标.
答案
(1) 图略.$B'(-4,1), C'(-1,-1)$ (2) $P'(a-5, b-2)$
解析
【分析】
要解决平移后点的坐标问题，首先需确定平移的坐标变化规律：图形平移时，所有点的平移方向和距离都相同，我们可以先通过已知的对应点A和A'的坐标差，算出横坐标、纵坐标的变化量，再将该变化规律应用到其余点上即可。第一步：计算A到A'的横、纵坐标变化量，得到平移规则；第二步：用平移规则分别计算B'、C'和P'的坐标。
【解析】
（1）首先确定平移规律：
已知点A(3,4)平移后对应点A'(-2,2)，
横坐标变化：$-2 - 3 = -5$，即所有点横坐标减5（向左平移5个单位），
纵坐标变化：$2 - 4 = -2$，即所有点纵坐标减2（向下平移2个单位）。
根据该规律计算对应点坐标：
点B(1,3)平移后$B'$的坐标为$(1-5, 3-2)$，即$B'(-4,1)$；
点C(4,1)平移后$C'$的坐标为$(4-5, 1-2)$，即$C'(-1,-1)$；
按坐标描出$A'、B'、C'$，依次连线即可得到平移后的三角形$A'B'C'$。
（2）已知点P的坐标为$(a,b)$，按照上述平移规律：横坐标减5，纵坐标减2，
可得平移后对应点$P'$的坐标为$(a-5, b-2)$。
【答案】
(1) 图略，$B'(-4,1)$，$C'(-1,-1)$；(2) $P'(a-5, b-2)$
【知识点】
1. 点平移的坐标变化规律
2. 图形平移的性质
【点评】
本题核心是掌握坐标系中点的平移坐标变化规则（左减右加横坐标，上加下减纵坐标），先由已知对应点确定平移规律，再套用规律计算其余点坐标，是平移类的基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决平移后点的坐标问题，首先需确定平移的坐标变化规律：图形平移时，所有点的平移方向和距离都相同，我们可以先通过已知的对应点A和A'的坐标差，算出横坐标、纵坐标的变化量，再将该变化规律应用到其余点上即可。第一步：计算A到A'的横、纵坐标变化量，得到平移规则；第二步：用平移规则分别计算B'、C'和P'的坐标。
【解析】
（1）首先确定平移规律：
已知点A(3,4)平移后对应点A'(-2,2)，
横坐标变化：$-2 - 3 = -5$，即所有点横坐标减5（向左平移5个单位），
纵坐标变化：$2 - 4 = -2$，即所有点纵坐标减2（向下平移2个单位）。
根据该规律计算对应点坐标：
点B(1,3)平移后$B'$的坐标为$(1-5, 3-2)$，即$B'(-4,1)$；
点C(4,1)平移后$C'$的坐标为$(4-5, 1-2)$，即$C'(-1,-1)$；
按坐标描出$A'、B'、C'$，依次连线即可得到平移后的三角形$A'B'C'$。
（2）已知点P的坐标为$(a,b)$，按照上述平移规律：横坐标减5，纵坐标减2，
可得平移后对应点$P'$的坐标为$(a-5, b-2)$。
【答案】
(1) 图略，$B'(-4,1)$，$C'(-1,-1)$；(2) $P'(a-5, b-2)$
【知识点】
1. 点平移的坐标变化规律
2. 图形平移的性质
【点评】
本题核心是掌握坐标系中点的平移坐标变化规则（左减右加横坐标，上加下减纵坐标），先由已知对应点确定平移规律，再套用规律计算其余点坐标，是平移类的基础题型。
【难度系数】
0.8
9. 如图，三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(-3,2)，B(-4,-2)，C(0,-3)。P(x₀,y₀)为三角形ABC内任意一点，将三角形ABC平移后，点P的对应点P₁的坐标为(x₀+5,y₀−3)。
（1）写出三角形ABC平移后，点A，B，C的对应点A₁，B₁，C₁的坐标，并画出三角形A₁B₁C₁；
（2）若三角形ABC外有一点M经过同样的平移后得到点M₁(5,3)，求点M的坐标。连接线段MM₁，PP₁，则这两条线段的长度和位置有怎样的关系？
（1）写出三角形ABC平移后，点A，B，C的对应点A₁，B₁，C₁的坐标，并画出三角形A₁B₁C₁；
（2）若三角形ABC外有一点M经过同样的平移后得到点M₁(5,3)，求点M的坐标。连接线段MM₁，PP₁，则这两条线段的长度和位置有怎样的关系？
答案
(1) $A_1(2,-1), B_1(1,-5), C_1(5,-6)$.图略 (2) $M(0,6)$.线段$MM_1,PP_1$的长度相等,且互相平行
解析
【分析】
首先从点P平移前后的坐标变化，确定三角形ABC的平移规则：横坐标加5（即向右平移5个单位长度），纵坐标减3（即向下平移3个单位长度）。对于(1)，只需将A、B、C三点的坐标分别按照该平移规则计算，即可得到对应点A₁、B₁、C₁的坐标，再依次连接三点即可画出平移后的三角形；对于(2)，逆向运用平移规则，将M₁的横坐标减5、纵坐标加3即可得到点M的坐标，再根据平移的性质，即可判断线段MM₁和PP₁的位置与长度关系。
【解析】
(1) 由点$P(x_0,y_0)$平移后对应点$P_1(x_0+5,y_0-3)$，可知平移规则为：横坐标加5，纵坐标减3。
分别计算三点对应坐标：
点$A(-3,2)$的对应点$A_1$的坐标：横坐标$-3+5=2$，纵坐标$2-3=-1$，即$A_1(2,-1)$；
点$B(-4,-2)$的对应点$B_1$的坐标：横坐标$-4+5=1$，纵坐标$-2-3=-5$，即$B_1(1,-5)$；
点$C(0,-3)$的对应点$C_1$的坐标：横坐标$0+5=5$，纵坐标$-3-3=-6$，即$C_1(5,-6)$；
在坐标系中找到$A_1,B_1,C_1$三点，依次连接即可得到$△ A_1B_1C_1$，图略。
(2) 设点$M$的坐标为$(x,y)$，按照相同平移规则，平移后$M_1$的坐标为$(x+5,y-3)$，已知$M_1(5,3)$，可列方程：
$\begin{cases}x+5=5\\y-3=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=0\\y=6\end{cases}$，即$M(0,6)$。
根据平移的性质：图形平移后，各组对应点的连线平行且相等，因此线段$MM_1$与$PP_1$长度相等，且互相平行。
【答案】
(1) $A_1(2,-1), B_1(1,-5), C_1(5,-6)$，图略；
(2) $M(0,6)$，线段$MM_1,PP_1$的长度相等，且互相平行。
【知识点】
1. 点坐标平移规律
2. 平移的性质
3. 平面直角坐标系
【点评】
本题是坐标系中平移变换的基础题，解题核心是准确把握平移前后点坐标的变化规律，正向、逆向运用规律求解对应点坐标，同时牢记平移的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先从点P平移前后的坐标变化，确定三角形ABC的平移规则：横坐标加5（即向右平移5个单位长度），纵坐标减3（即向下平移3个单位长度）。对于(1)，只需将A、B、C三点的坐标分别按照该平移规则计算，即可得到对应点A₁、B₁、C₁的坐标，再依次连接三点即可画出平移后的三角形；对于(2)，逆向运用平移规则，将M₁的横坐标减5、纵坐标加3即可得到点M的坐标，再根据平移的性质，即可判断线段MM₁和PP₁的位置与长度关系。
【解析】
(1) 由点$P(x_0,y_0)$平移后对应点$P_1(x_0+5,y_0-3)$，可知平移规则为：横坐标加5，纵坐标减3。
分别计算三点对应坐标：
点$A(-3,2)$的对应点$A_1$的坐标：横坐标$-3+5=2$，纵坐标$2-3=-1$，即$A_1(2,-1)$；
点$B(-4,-2)$的对应点$B_1$的坐标：横坐标$-4+5=1$，纵坐标$-2-3=-5$，即$B_1(1,-5)$；
点$C(0,-3)$的对应点$C_1$的坐标：横坐标$0+5=5$，纵坐标$-3-3=-6$，即$C_1(5,-6)$；
在坐标系中找到$A_1,B_1,C_1$三点，依次连接即可得到$△ A_1B_1C_1$，图略。
(2) 设点$M$的坐标为$(x,y)$，按照相同平移规则，平移后$M_1$的坐标为$(x+5,y-3)$，已知$M_1(5,3)$，可列方程：
$\begin{cases}x+5=5\\y-3=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=0\\y=6\end{cases}$，即$M(0,6)$。
根据平移的性质：图形平移后，各组对应点的连线平行且相等，因此线段$MM_1$与$PP_1$长度相等，且互相平行。
【答案】
(1) $A_1(2,-1), B_1(1,-5), C_1(5,-6)$，图略；
(2) $M(0,6)$，线段$MM_1,PP_1$的长度相等，且互相平行。
【知识点】
1. 点坐标平移规律
2. 平移的性质
3. 平面直角坐标系
【点评】
本题是坐标系中平移变换的基础题，解题核心是准确把握平移前后点坐标的变化规律，正向、逆向运用规律求解对应点坐标，同时牢记平移的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
