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6. 新考法下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（
C
）答案
6.C
解析
【分析】
要判断三角形的类型，首先明确三角形按角分类的核心依据：看三角形中最大的内角属于锐角、直角还是钝角，只要确定最大角的类型就能确定三角形类型。解题时逐个分析每个选项露出的角：若露出的是直角或钝角，说明该角就是三角形的最大角，可直接判定类型；若仅露出锐角，无法确定剩余两个角中是否存在更大的直角或钝角，就无法判断三角形类型。
【解析】
三角形按角可分为三类：有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。
选项A：露出的角是钝角，即该三角形最大角为钝角，属于钝角三角形，可判断类型；
选项B：露出的角是直角，即该三角形最大角为直角，属于直角三角形，可判断类型；
选项C：仅露出一个锐角，剩余两个角可能存在直角、钝角，也可能均为锐角，无法确定最大角的类型，不能判断三角形类型；
选项D：露出的顶角是钝角，即该三角形最大角为钝角，属于钝角三角形，可判断类型。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形按角分类；三角形内角的特征
【点评】
本题考查三角形分类的基础应用，核心是理解判断三角形类型只需确定最大内角的属性，仅看到锐角无法确定三角形的具体类型，侧重对基础概念的理解和运用。
【难度系数】
0.8
要判断三角形的类型，首先明确三角形按角分类的核心依据：看三角形中最大的内角属于锐角、直角还是钝角，只要确定最大角的类型就能确定三角形类型。解题时逐个分析每个选项露出的角：若露出的是直角或钝角，说明该角就是三角形的最大角，可直接判定类型；若仅露出锐角，无法确定剩余两个角中是否存在更大的直角或钝角，就无法判断三角形类型。
【解析】
三角形按角可分为三类：有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。
选项A：露出的角是钝角，即该三角形最大角为钝角，属于钝角三角形，可判断类型；
选项B：露出的角是直角，即该三角形最大角为直角，属于直角三角形，可判断类型；
选项C：仅露出一个锐角，剩余两个角可能存在直角、钝角，也可能均为锐角，无法确定最大角的类型，不能判断三角形类型；
选项D：露出的顶角是钝角，即该三角形最大角为钝角，属于钝角三角形，可判断类型。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形按角分类；三角形内角的特征
【点评】
本题考查三角形分类的基础应用，核心是理解判断三角形类型只需确定最大内角的属性，仅看到锐角无法确定三角形的具体类型，侧重对基础概念的理解和运用。
【难度系数】
0.8
7. 能力训练点·逻辑推理与论证 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB$是钝角，让点$C$在射线$BD$上向右移动，则（
A.$△ ABC$将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形
B.$△ ABC$将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形
C.$△ ABC$将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形
D.$△ ABC$先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形
D
）A.$△ ABC$将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形
B.$△ ABC$将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形
C.$△ ABC$将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形
D.$△ ABC$先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形
答案
7.D
解析
【分析】
解题时首先明确三角形按角分为钝角三角形、直角三角形、锐角三角形，本题中点B、A位置固定，点C在射线BD上向右移动，∠B的大小固定，只需分析∠ACB和∠BAC的变化趋势，逐步推导三角形形状的变化即可。首先初始状态∠ACB为钝角，随着点C右移，∠ACB逐渐减小，后续会依次经过直角、锐角的状态，当∠ACB变为锐角后，继续移动点C，∠BAC会逐渐增大，后续也会经过直角、钝角的状态，结合这些变化就能判断三角形形状的完整变化过程。
【解析】
已知初始状态下△ABC的∠ACB是钝角，此时△ABC为钝角三角形，点B、A位置固定，点C沿射线BD向右移动时，∠B的大小保持不变：
1. 点C向右移动时，∠ACB的度数逐渐减小，当∠ACB=90°时，△ABC变为直角三角形；
2. 点C继续向右移动，∠ACB＜90°，此时∠BAC仍小于90°，三个内角均为锐角，△ABC变为锐角三角形；
3. 点C继续向右移动，∠BAC的度数逐渐增大，当∠BAC=90°时，△ABC再次变为直角三角形；
4. 点C继续向右移动，∠BAC＞90°，△ABC再次变为钝角三角形。
因此△ABC的变化过程为：钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
三角形按角分类；三角形内角变化规律；动态几何分析
【点评】
本题主要考查动态变化下三角形内角的变化规律与三角形的分类，解题时需要抓住固定不变的量，分析变化量的趋势，逐步推导图形的变化情况，能够有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确三角形按角分为钝角三角形、直角三角形、锐角三角形，本题中点B、A位置固定，点C在射线BD上向右移动，∠B的大小固定，只需分析∠ACB和∠BAC的变化趋势，逐步推导三角形形状的变化即可。首先初始状态∠ACB为钝角，随着点C右移，∠ACB逐渐减小，后续会依次经过直角、锐角的状态，当∠ACB变为锐角后，继续移动点C，∠BAC会逐渐增大，后续也会经过直角、钝角的状态，结合这些变化就能判断三角形形状的完整变化过程。
【解析】
已知初始状态下△ABC的∠ACB是钝角，此时△ABC为钝角三角形，点B、A位置固定，点C沿射线BD向右移动时，∠B的大小保持不变：
1. 点C向右移动时，∠ACB的度数逐渐减小，当∠ACB=90°时，△ABC变为直角三角形；
2. 点C继续向右移动，∠ACB＜90°，此时∠BAC仍小于90°，三个内角均为锐角，△ABC变为锐角三角形；
3. 点C继续向右移动，∠BAC的度数逐渐增大，当∠BAC=90°时，△ABC再次变为直角三角形；
4. 点C继续向右移动，∠BAC＞90°，△ABC再次变为钝角三角形。
因此△ABC的变化过程为：钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
三角形按角分类；三角形内角变化规律；动态几何分析
【点评】
本题主要考查动态变化下三角形内角的变化规律与三角形的分类，解题时需要抓住固定不变的量，分析变化量的趋势，逐步推导图形的变化情况，能够有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
8. [2026合肥期末]已知$△ ABC$的三边$a,b,c$满足$(a-b)^2 + |b-c| = 0$，则$△ ABC$的形状按边分类是
等边三角形
。答案
8.等边三角形
解析
【分析】
拿到这道题首先观察已知等式的结构：是一个平方加一个绝对值等于0。我们学过，平方数和绝对值都具有非负性，也就是它们的取值都大于等于0。两个大于等于0的数相加结果为0，只能说明这两个数各自都等于0。据此我们可以列出关于三边的等量关系，得到三边的大小关系后，再按照三角形按边分类的标准判断形状即可。
【解析】
解：
∵ 任意实数的平方、绝对值都是非负数，
∴ $(a-b)^2 ≥ 0$，$|b-c| ≥ 0$，
又
∵ $(a-b)^2 + |b-c| = 0$，
∴ 仅当$(a-b)^2 = 0$且$|b-c| = 0$时等式成立，
即 $a-b=0$，$b-c=0$，
∴ $a=b$，$b=c$，即$a=b=c$，
∴ △ABC三边相等，按边分类为等边三角形。
【答案】
等边三角形
【知识点】
非负数的性质；等边三角形的判定
【点评】
这道题是基础性质的综合应用题，核心考查“几个非负数的和为0时，每个非负数都为0”这一常用结论，只要熟练掌握非负数的性质和三角形按边分类的标准，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先观察已知等式的结构：是一个平方加一个绝对值等于0。我们学过，平方数和绝对值都具有非负性，也就是它们的取值都大于等于0。两个大于等于0的数相加结果为0，只能说明这两个数各自都等于0。据此我们可以列出关于三边的等量关系，得到三边的大小关系后，再按照三角形按边分类的标准判断形状即可。
【解析】
解：
∵ 任意实数的平方、绝对值都是非负数，
∴ $(a-b)^2 ≥ 0$，$|b-c| ≥ 0$，
又
∵ $(a-b)^2 + |b-c| = 0$，
∴ 仅当$(a-b)^2 = 0$且$|b-c| = 0$时等式成立，
即 $a-b=0$，$b-c=0$，
∴ $a=b$，$b=c$，即$a=b=c$，
∴ △ABC三边相等，按边分类为等边三角形。
【答案】
等边三角形
【知识点】
非负数的性质；等边三角形的判定
【点评】
这道题是基础性质的综合应用题，核心考查“几个非负数的和为0时，每个非负数都为0”这一常用结论，只要熟练掌握非负数的性质和三角形按边分类的标准，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
9.如图,在$△ ABC$中,$D,E$分别是边$BC,AC$上的点,连接$BE,AD$,相交于点$F$,$AC=AD$,$BE⊥ AC$,垂足为$E$.
(1)请写出$△ BDF$的三个顶点、三条边及三个内角.
(2)以$∠ C$为内角的三角形有哪些?
(3)请写出图中的等腰三角形、钝角三角形和直角三角形.
2 数学 八年级 上册 人教版
(1)请写出$△ BDF$的三个顶点、三条边及三个内角.
(2)以$∠ C$为内角的三角形有哪些?
(3)请写出图中的等腰三角形、钝角三角形和直角三角形.
2 数学 八年级 上册 人教版
答案
9.解：(1)$△BDF$的三个顶点是点$B,D,F$,三条边是线段$BD$,$DF$,$BF$,三个内角是$∠FBD$,$∠FDB$,$∠BFD$.
(2)以$∠C$为内角的三角形有$△ACD$,$△BCE$,$△ACB$.
(3)等腰三角形有$△ADC$,钝角三角形有$△ABD$,$△BDF$,$△ABF$,直角三角形有$△ABE$,$△BCE$,$△AEF$.
(2)以$∠C$为内角的三角形有$△ACD$,$△BCE$,$△ACB$.
(3)等腰三角形有$△ADC$,钝角三角形有$△ABD$,$△BDF$,$△ABF$,直角三角形有$△ABE$,$△BCE$,$△AEF$.
解析
【分析】
(1) 解答第一问需先明确三角形的构成要素：三角形的三个端点就是顶点，相邻顶点连接的线段是边，三角形内部相邻两边组成的角是内角，对应△BDF的三个端点逐一梳理即可。
(2) 解答第二问时，以∠C为内角的三角形，需满足三角形的顶点包含点C，且另外两个顶点分别在∠C的两条边CB、CA上，按顺序枚举即可避免遗漏。
(3) 解答第三问需结合各类三角形的定义判断：等腰三角形是有两边相等的三角形，结合题中AC=AD的条件即可找到；钝角三角形是有一个角为钝角的三角形，结合图形中角的大小判断即可；直角三角形是有一个角为直角的三角形，结合题中BE⊥AC的垂直条件即可找到。
【解析】
(1) 根据三角形的构成要素，△BDF的三个顶点为点B、D、F；三条边为连接三个顶点的线段BD、DF、BF；三个内角为三角形内部的∠FBD、∠FDB、∠BFD。
(2) 逐一查找包含∠C的三角形：△ACD、△BCE、△ACB均包含∠C，即为所求。
(3) ①等腰三角形：已知AC=AD，故△ADC为等腰三角形；
②钝角三角形：△ABD的∠ADB、△BDF的∠BFD、△ABF的∠AFB均为钝角，故这三个三角形为钝角三角形；
③直角三角形：由BE⊥AC得∠AEB=∠CEB=∠AEF=90°，故△ABE、△BCE、△AEF为直角三角形。
【答案】
(1)$△BDF$的三个顶点是点$B,D,F$,三条边是线段$BD$,$DF$,$BF$,三个内角是$∠FBD$,$∠FDB$,$∠BFD$.
(2)以$∠C$为内角的三角形有$△ACD$,$△BCE$,$△ACB$.
(3)等腰三角形有$△ADC$,钝角三角形有$△ABD$,$△BDF$,$△ABF$,直角三角形有$△ABE$,$△BCE$,$△AEF$.
【知识点】
三角形基本构成，三角形分类，等腰三角形判定
【点评】
本题是三角形基础概念的考查题，解题关键是熟练掌握各类三角形的定义，读图时要仔细梳理，避免漏数或多数三角形。
【难度系数】
0.9
(1) 解答第一问需先明确三角形的构成要素：三角形的三个端点就是顶点，相邻顶点连接的线段是边，三角形内部相邻两边组成的角是内角，对应△BDF的三个端点逐一梳理即可。
(2) 解答第二问时，以∠C为内角的三角形，需满足三角形的顶点包含点C，且另外两个顶点分别在∠C的两条边CB、CA上，按顺序枚举即可避免遗漏。
(3) 解答第三问需结合各类三角形的定义判断：等腰三角形是有两边相等的三角形，结合题中AC=AD的条件即可找到；钝角三角形是有一个角为钝角的三角形，结合图形中角的大小判断即可；直角三角形是有一个角为直角的三角形，结合题中BE⊥AC的垂直条件即可找到。
【解析】
(1) 根据三角形的构成要素，△BDF的三个顶点为点B、D、F；三条边为连接三个顶点的线段BD、DF、BF；三个内角为三角形内部的∠FBD、∠FDB、∠BFD。
(2) 逐一查找包含∠C的三角形：△ACD、△BCE、△ACB均包含∠C，即为所求。
(3) ①等腰三角形：已知AC=AD，故△ADC为等腰三角形；
②钝角三角形：△ABD的∠ADB、△BDF的∠BFD、△ABF的∠AFB均为钝角，故这三个三角形为钝角三角形；
③直角三角形：由BE⊥AC得∠AEB=∠CEB=∠AEF=90°，故△ABE、△BCE、△AEF为直角三角形。
【答案】
(1)$△BDF$的三个顶点是点$B,D,F$,三条边是线段$BD$,$DF$,$BF$,三个内角是$∠FBD$,$∠FDB$,$∠BFD$.
(2)以$∠C$为内角的三角形有$△ACD$,$△BCE$,$△ACB$.
(3)等腰三角形有$△ADC$,钝角三角形有$△ABD$,$△BDF$,$△ABF$,直角三角形有$△ABE$,$△BCE$,$△AEF$.
【知识点】
三角形基本构成，三角形分类，等腰三角形判定
【点评】
本题是三角形基础概念的考查题，解题关键是熟练掌握各类三角形的定义，读图时要仔细梳理，避免漏数或多数三角形。
【难度系数】
0.9
10.如图,过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画三角形.
(1)以AB为边画三角形,能画几个?将其画出来并写出各三角形的名称;
(2)分别指出(1)中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形.
(1)以AB为边画三角形,能画几个?将其画出来并写出各三角形的名称;
(2)分别指出(1)中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形.
答案
10.解：(1)以AB为边的三角形能画3个,图略,三角形分别为$△ABC$,$△ABD$,$△ABE$.
(2)$△DAB$是等腰三角形,$△EAB$,$△CAB$是钝角三角形.
(2)$△DAB$是等腰三角形,$△EAB$,$△CAB$是钝角三角形.
解析
【分析】
(1) 要确定以AB为边的三角形，只需筛选第三个顶点：五个点中排除A、B两点，剩余C、D、E三点，且三点均不在直线AB上，都可与AB组成三角形，因此共能画出3个对应三角形。
(2) 判定等腰三角形只需找到两边长度相等的三角形，结合网格特征可直接对比线段长度；判定钝角三角形可观察三角形内角，若存在大于90°的内角即为钝角三角形，也可结合勾股定理逆定理验证，逐一判断3个三角形的类型即可。
【解析】
解：(1) 以AB为边时，第三个顶点可选择E、D、C三个点，共能画出3个三角形，分别是$△ ABE$、$△ ABD$、$△ ABC$。
(2) 观察网格中线段长度：
① $△ ABD$中，AD和BD的横向、纵向偏移格数完全相同，因此AD=BD，所以$△ DAB$是等腰三角形；
② $△ EAB$中，$∠ EAB$大于90°，$△ CAB$中$∠ ABC$大于90°，因此$△ EAB$、$△ CAB$是钝角三角形。
【答案】
(1) 能画3个，分别为$△ ABC$，$△ ABD$，$△ ABE$；
(2) 等腰三角形：$△ DAB$；钝角三角形：$△ EAB$，$△ CAB$。
【知识点】
三角形的定义；等腰三角形判定；钝角三角形判定
【点评】
本题考查三角形的基础识别和特殊三角形的判定，解题时按要求有序枚举第三个顶点即可避免漏解，结合网格特征能快速判断三角形的类型，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
(1) 要确定以AB为边的三角形，只需筛选第三个顶点：五个点中排除A、B两点，剩余C、D、E三点，且三点均不在直线AB上，都可与AB组成三角形，因此共能画出3个对应三角形。
(2) 判定等腰三角形只需找到两边长度相等的三角形，结合网格特征可直接对比线段长度；判定钝角三角形可观察三角形内角，若存在大于90°的内角即为钝角三角形，也可结合勾股定理逆定理验证，逐一判断3个三角形的类型即可。
【解析】
解：(1) 以AB为边时，第三个顶点可选择E、D、C三个点，共能画出3个三角形，分别是$△ ABE$、$△ ABD$、$△ ABC$。
(2) 观察网格中线段长度：
① $△ ABD$中，AD和BD的横向、纵向偏移格数完全相同，因此AD=BD，所以$△ DAB$是等腰三角形；
② $△ EAB$中，$∠ EAB$大于90°，$△ CAB$中$∠ ABC$大于90°，因此$△ EAB$、$△ CAB$是钝角三角形。
【答案】
(1) 能画3个，分别为$△ ABC$，$△ ABD$，$△ ABE$；
(2) 等腰三角形：$△ DAB$；钝角三角形：$△ EAB$，$△ CAB$。
【知识点】
三角形的定义；等腰三角形判定；钝角三角形判定
【点评】
本题考查三角形的基础识别和特殊三角形的判定，解题时按要求有序枚举第三个顶点即可避免漏解，结合网格特征能快速判断三角形的类型，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
11. 推理能力 找规律，按要求完成下列各题.
(1)请按照下列要求数出三角形的个数.
①BC边上有1个点(图①)，三角形的个数为
②BC边上有2个点(图②)，三角形的个数为
③BC边上有3个点(图③)，三角形的个数为
(2)当BC边上有m个点(不含B,C两点)时，图形中有
(1)请按照下列要求数出三角形的个数.
①BC边上有1个点(图①)，三角形的个数为
3
.②BC边上有2个点(图②)，三角形的个数为
6
.③BC边上有3个点(图③)，三角形的个数为
10
.(2)当BC边上有m个点(不含B,C两点)时，图形中有
$\frac{(m+2)(m+1)}{2}$
个三角形.答案
11.(1)①3 ②6 ③10 (2)$\frac{(m+2)(m+1)}{2}$
解析
【分析】
观察图形可知，所有三角形都有公共顶点A，因此三角形的个数与BC边上的线段总数一一对应，每条BC上的线段都能和点A组成唯一的三角形，问题可转化为计算BC边上的线段总数。计数线段时采用有序累加的方法：若线段上共有n个点，则线段总条数为1+2+…+(n-1)，再结合等差数列求和公式即可推导得到一般规律。
【解析】
(1) ① 图①中BC边上有1个分点，加上端点B、C，BC上共有3个点，线段总条数为$2+1=3$，因此三角形个数为3；
② 图②中BC边上有2个分点，加上端点B、C，BC上共有4个点，线段总条数为$3+2+1=6$，因此三角形个数为6；
③ 图③中BC边上有3个分点，加上端点B、C，BC上共有5个点，线段总条数为$4+3+2+1=10$，因此三角形个数为10；
(2) 当BC边上有m个点（不含B、C两点）时，BC上总共有$m+2$个点，线段总条数为$1+2+3+\dots+(m+1)$，根据等差数列求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2，可得总条数为$\frac{(1+m+1)(m+1)}{2}=\frac{(m+2)(m+1)}{2}$，即三角形的个数为$\frac{(m+2)(m+1)}{2}$。
【答案】
(1)①3；②6；③10；(2)$\frac{(m+2)(m+1)}{2}$
【知识点】
三角形的概念；线段计数；规律探究
【点评】
本题将三角形计数转化为线段计数，体现了转化的数学思想，既考查了有序计数的方法，也锻炼了归纳推理的能力，掌握从特殊到一般的规律探究方法是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7
观察图形可知，所有三角形都有公共顶点A，因此三角形的个数与BC边上的线段总数一一对应，每条BC上的线段都能和点A组成唯一的三角形，问题可转化为计算BC边上的线段总数。计数线段时采用有序累加的方法：若线段上共有n个点，则线段总条数为1+2+…+(n-1)，再结合等差数列求和公式即可推导得到一般规律。
【解析】
(1) ① 图①中BC边上有1个分点，加上端点B、C，BC上共有3个点，线段总条数为$2+1=3$，因此三角形个数为3；
② 图②中BC边上有2个分点，加上端点B、C，BC上共有4个点，线段总条数为$3+2+1=6$，因此三角形个数为6；
③ 图③中BC边上有3个分点，加上端点B、C，BC上共有5个点，线段总条数为$4+3+2+1=10$，因此三角形个数为10；
(2) 当BC边上有m个点（不含B、C两点）时，BC上总共有$m+2$个点，线段总条数为$1+2+3+\dots+(m+1)$，根据等差数列求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2，可得总条数为$\frac{(1+m+1)(m+1)}{2}=\frac{(m+2)(m+1)}{2}$，即三角形的个数为$\frac{(m+2)(m+1)}{2}$。
【答案】
(1)①3；②6；③10；(2)$\frac{(m+2)(m+1)}{2}$
【知识点】
三角形的概念；线段计数；规律探究
【点评】
本题将三角形计数转化为线段计数，体现了转化的数学思想，既考查了有序计数的方法，也锻炼了归纳推理的能力，掌握从特殊到一般的规律探究方法是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7
