20.(8 分)如图,$MP$和$NQ$分别垂直平分$AB$和$AC$.
(1)若$\triangle APQ$的周长为$12$,求$BC$的长.
(2)$\angle BAC=105°$,求$\angle PAQ$的度数.

(1)
因为 $MP$ 垂直平分 $AB$，所以 $PA = PB$，
因为 $NQ$ 垂直平分 $AC$，所以 $QA = QC$，
所以 $BC = BP + PQ + QC = PA + PQ + QA$，
因为 $\triangle APQ$ 的周长为 $12$，即 $PA + PQ + QA = 12$，
所以 $BC = 12$。
(2)
因为 $PA = PB$，所以 $\angle B = \angle BAP$，
因为 $QA = QC$，所以 $\angle C = \angle CAQ$，
在 $\triangle ABC$ 中，$\angle B + \angle C + \angle BAC = 180°$，
因为 $\angle BAC = 105°$，所以 $\angle B + \angle C = 180° - 105° = 75°$，
所以 $\angle BAP + \angle CAQ = 75°$，
所以 $\angle PAQ = \angle BAC - (\angle BAP + \angle CAQ) = 105° - 75° = 30°$。

21.(10 分)如图,$AB=AC$,$\angle A=108°$,$BD$平分$\angle ABC$,交$AC$于点$D$.
求证:$BC=AB+CD$.

证明：
∵AB=AC，∠A=108°，
∴∠ABC=∠ACB=(180°-∠A)/2=(180°-108°)/2=36°。
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC/2=18°。
在BC上截取BE=AB，连接DE。
在△ABD和△EBD中，
AB=EB，∠ABD=∠EBD，BD=BD，
∴△ABD≌△EBD(SAS)。
∴∠BED=∠A=108°，AD=ED。
∵∠BED+∠DEC=180°，
∴∠DEC=180°-∠BED=180°-108°=72°。
在△DEC中，∠C=36°，
∠EDC=180°-∠C-∠DEC=180°-36°-72°=72°。
∴∠EDC=∠DEC。
∴EC=CD。
∵BC=BE+EC，BE=AB，
∴BC=AB+CD。

22.(10 分)如图,在$\triangle ABC$中,$AB=BC=AC=12 cm$,现有两点$M$,$N$分别从点$A$,$B$同时出发,沿三角形的边运动.已知点$M$的速度为$1 cm/s$,点$N$的速度为$2 cm/s$.当点$N$第$1$次到达点$B$时,点$M$,$N$同时停止运动.
(1)点$M$,$N$运动几秒后,两点重合?
(2)点$M$,$N$运动几秒后,可得到等边$\triangle AMN$?
(3)当点$M$,$N$在$BC$边上运动时,能否得到以$MN$为底边的等腰$\triangle AMN$?若能得到,请求出此时$M$,$N$运动的时间.

(1) 设运动时间为$ t $秒。
当$ 0 \leq t \leq 6 $时，$ M $在$ AB $上（$ AM = t \, cm $），$ N $在$ BA $上（$ AN = 12 - 2t \, cm $）。重合时$ t = 12 - 2t $，解得$ t = 4 $。
当$ 12 ＜ t \leq 18 $时，$ M $在$ BC $上（距$ B $：$ t - 12 \, cm $），$ N $在$ CB $上（距$ B $：$ 36 - 2t \, cm $）。重合时$ t - 12 = 36 - 2t $，解得$ t = 16 $。
综上，$ t = 4 $或$ 16 $秒。
(2) 当$ 6 ＜ t \leq 12 $时，$ M $在$ AB $上（$ AM = t \, cm $），$ N $在$ AC $上（$ AN = 2(t - 6) \, cm $）。
$\triangle AMN$为等边三角形需$ AM = AN $，即$ t = 2(t - 6) $，解得$ t = 12 $。
此时$ M $在$ B $，$ N $在$ C $，$ AM = AN = MN = 12 \, cm $，符合题意。
(3) 当$ 12 ＜ t \leq 18 $时，$ M $、$ N $在$ BC $上。设$ M $距$ B $：$ x = t - 12 $，$ N $距$ B $：$ y = 36 - 2t $。
以$ B $为原点，$ BC $为$ x $轴，$ A(6, 6\sqrt{3}) $，则$ M(x, 0) $，$ N(y, 0) $。
$ AM = AN $需$ (x - 6)^2 + (6\sqrt{3})^2 = (y - 6)^2 + (6\sqrt{3})^2 $，即$ (t - 18)^2 = (30 - 2t)^2 $。
解得$ t = 12 $（$ t = 16 $重合，舍去）。
此时$ M $在$ B $，$ N $在$ C $，$ AM = AN $，符合题意。
(1) $ 4 $秒或$ 16 $秒
(2) $ 12 $秒
(3) 能，$ 12 $秒
答案
(1) $\boxed{4}$或$\boxed{16}$
(2) $\boxed{12}$
(3) 能，$\boxed{12}$