1.下列函数中,属于二次函数的是().

A.$y = (x - 1)^2 - x^2$
B.$y = x^2 + \frac{1}{x}$
C.$y = \sqrt{x^2 - 2x + 1}$
D.$y = 2x + \frac{1}{2}x^2$

D

A. 对于 $y = (x - 1)^2 - x^2$，展开得：
$y = x^2 - 2x + 1 - x^2 = -2x + 1$，
这是一次函数，所以A选项错误。
B. 对于 $y = x^2 + \frac{1}{x}$，由于包含分式，不是整式函数，因此不是二次函数，B选项错误。
C. 对于 $y = \sqrt{x^2 - 2x + 1}$，可以化简为：
$y = \sqrt{(x - 1)^2} = |x - 1|$，
这是一个分段函数，不是二次函数，C选项错误。
D. 对于 $y = 2x + \frac{1}{2}x^2$，这是一个整式函数，且最高次项为二次，满足二次函数的定义，D选项正确。

2.中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益.沿线某地区居民前年人均年收入为20 000元,预计今年人均年收入将达到50 000元.设前年至今年该地区居民人均年收入平均增长率为$x$,可列方程为().

A.$20 000(1 + x)^2 = 50 000$
B.$20 000(1 + 2x) = 50 000$
C.$20 000(1 + x^2) = 50 000$
D.$20 000 + 2x = 50 000$

A

设前年至今年该地区居民人均年收入平均增长率为$x$，
前年人均年收入为20,000元，
去年人均年收入为$20,000(1 + x)$元，
今年人均年收入为$20,000(1 + x)^2$元，
根据题意，今年人均年收入将达到50,000元，
因此可列方程为$20,000(1 + x)^2 = 50,000$。

3.一次函数$y = ax + b(a≠0)$与二次函数$y = ax^2 + bx + c(a≠0)$在同一平面直角坐标系中的图象可能是().

D

先根据$a$的符号判断两函数图象的一致性：二次函数开口方向由$a$决定（$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下），一次函数斜率由$a$决定（$a＞0$上升，$a＜0$下降）。
选项A：二次函数开口向下（$a＜0$），一次函数上升（$a＞0$），$a$符号矛盾，排除；
选项B：二次函数开口向下（$a＜0$），一次函数下降（$a＜0$），$a$一致。一次函数与y轴交于负半轴（$b＜0$），则二次函数对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{负数}{负数}＜0$（左侧），若图中对称轴在右侧则矛盾，排除；
选项C：二次函数开口向上（$a＞0$），一次函数上升（$a＞0$），$a$一致。一次函数与y轴交于正半轴（$b＞0$），则对称轴$x=-\frac{b}{2a}＜0$（左侧），若图中对称轴在右侧矛盾，排除；
选项D：二次函数开口向下（$a＜0$），一次函数下降（$a＜0$），$a$一致。一次函数与y轴交于正半轴（$b＞0$），对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{正数}{负数}＞0$（右侧），符合图象特征。

4.已知$y$关于$x$的函数表达式是$y = ax^2 - 4x - a$,下列结论错误的是().

A.若$a = -1$,函数的最大值是5
B.若$a = 1$,当$x≥2$时,$y$随$x$的增大而增大
C.无论$a$为何值,函数图象一定经过点$(1, -4)$
D.无论$a$为何值,函数图象与$x$轴都有两个交点

D

选项A：当$a=-1$时，$y=-x^2 -4x +1$，对称轴$x=-\frac{-4}{2×(-1)}=-2$，最大值$y=-(-2)^2 -4×(-2)+1=5$，正确；
选项B：当$a=1$时，$y=x^2 -4x -1$，对称轴$x=2$，开口向上，$x≥2$时$y$随$x$增大而增大，正确；
选项C：将$x=1$代入得$y=a -4 -a=-4$，函数必过$(1,-4)$，正确；
选项D：当$a=0$时，$y=-4x$为一次函数，与$x$轴只有1个交点，错误。

5.如图,二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象经过点$A(-1,0)$、点$B(3,0)$、点$C(4,y_1)$.若点$D(x_2,y_2)$是抛物线上任意一点,有下列结论：

①二次函数$y = ax^2 + bx + c$的最小值为$-4a$；
②若$-1≤x_2≤4$,则$0≤y_2≤5a$；
③若$y_2＞y_1$,则$x_2＞4$；
④一元二次方程$cx^2 + bx + a = 0$的两个根为$-1$和$\frac{1}{3}$；
其中,正确的结论有().

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

B

由抛物线过点$A(-1,0)$、$B(3,0)$，设解析式为$y=a(x+1)(x-3)=ax^2-2ax-3a$（$a＞0$，开口向上）。
① 对称轴为$x=1$，顶点纵坐标$y=a(1)^2-2a(1)-3a=-4a$，开口向上，最小值为$-4a$，①正确。
② 当$-1≤x₂≤4$时，$x=1$时$y=-4a$（最小值），$x=4$时$y=5a$（最大值），则$-4a≤y₂≤5a$，②错误。
③ $y₁=5a$，$y₂＞5a$时，解$ax²-2ax-3a＞5a$得$x＜-2$或$x＞4$，③错误。
④ 方程$cx²+bx+a=0$即$-3ax²-2ax+a=0$，化简为$3x²+2x-1=0$，根为$x=-1$或$x=\frac{1}{3}$，④正确。
正确结论为①④，共2个。