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13.(8分)如图,甲建筑物$AD$与乙建筑物$BC$的水平距离$AB$为$90 m$,且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍,从点$E(A,E,B$在同一水平线上)测得点$D$的仰角为$30°$,测得点$C$的仰角为$60°$.求这两座建筑物顶端$C$,$D$间的距离(计算结果用根号表示,不取近似值).
答案
设甲建筑物高度$AD = h$，则乙建筑物高度$BC = 6h$，设$AE = x$，则$EB = 90 - x$。
在$Rt\triangle ADE$中，$\tan30°=\frac{AD}{AE}$，即$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{h}{x}$，得$x = h\sqrt{3}$。
在$Rt\triangle BCE$中，$\tan60°=\frac{BC}{EB}$，即$\sqrt{3}=\frac{6h}{90 - x}$，得$90 - x = 2h\sqrt{3}$。
联立$x = h\sqrt{3}$与$90 - x = 2h\sqrt{3}$，得$90 = 3h\sqrt{3}$，解得$h\sqrt{3}=30$，$h = 10\sqrt{3}$。
则$AD = 10\sqrt{3}$，$BC = 60\sqrt{3}$，$AE = 30$，$EB = 60$。
建立坐标系，$A(0,0)$，$B(90,0)$，$D(0,10\sqrt{3})$，$C(90,60\sqrt{3})$。
$CD=\sqrt{(90 - 0)^2+(60\sqrt{3}-10\sqrt{3})^2}=\sqrt{90^2+(50\sqrt{3})^2}=\sqrt{8100 + 7500}=\sqrt{15600}=20\sqrt{39}$。
答：两座建筑物顶端$C$，$D$间的距离为$20\sqrt{39}$米。
在$Rt\triangle ADE$中，$\tan30°=\frac{AD}{AE}$，即$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{h}{x}$，得$x = h\sqrt{3}$。
在$Rt\triangle BCE$中，$\tan60°=\frac{BC}{EB}$，即$\sqrt{3}=\frac{6h}{90 - x}$，得$90 - x = 2h\sqrt{3}$。
联立$x = h\sqrt{3}$与$90 - x = 2h\sqrt{3}$，得$90 = 3h\sqrt{3}$，解得$h\sqrt{3}=30$，$h = 10\sqrt{3}$。
则$AD = 10\sqrt{3}$，$BC = 60\sqrt{3}$，$AE = 30$，$EB = 60$。
建立坐标系，$A(0,0)$，$B(90,0)$，$D(0,10\sqrt{3})$，$C(90,60\sqrt{3})$。
$CD=\sqrt{(90 - 0)^2+(60\sqrt{3}-10\sqrt{3})^2}=\sqrt{90^2+(50\sqrt{3})^2}=\sqrt{8100 + 7500}=\sqrt{15600}=20\sqrt{39}$。
答：两座建筑物顶端$C$，$D$间的距离为$20\sqrt{39}$米。
14.(8分)图①是某小型汽车的侧面示意图,其中矩形$ABCD$表示该车的后备厢,在打开后备厢的过程中,箱盖$ADE$可以绕点$A$逆时针方向旋转,当旋转角为$60°$时,箱盖$ADE$落在$AD'E'$的位置(如图②所示).已知$AD=90$厘米,$DE=30$厘米,$EC=40$厘米.
(1)求点$D'$到$BC$的距离.
(2)求$E,E'$两点间的距离.
(1)求点$D'$到$BC$的距离.
(2)求$E,E'$两点间的距离.
答案
(1) 过点$D^{\prime}$作$D^{\prime} F \perp BC$，垂足为点$F$，过点$D^{\prime} $作$D^{\prime} N \perp BC$，交$BC$的延长线于点$N$，
根据题意可知：
$AB = D^{\prime} N，AD^{\prime} = AD = 90$（厘米），
$\therefore \angle D^{\prime} AB = 60^{\circ}$，
$\therefore D^{\prime} N = AD^{\prime} \sin60^{\circ = 90 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 45\sqrt{3} }$（厘米），
$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore \angle ABN = \angle N = 90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$ABCN$是矩形，
$\therefore D^{\prime} F = 54 + 45\sqrt{3} -124（或 45\sqrt{3} + 120）$（厘米），
所以，点$D^{\prime} $到$BC$的距离为$ (45\sqrt{3} + 120)$厘米或$ (45\sqrt{3} + 130 - 10)（即原124+5- 5（EC部分原无5修正为BC总长通过计算得出）整体计算无误）$，精确为$ (45\sqrt{3} + 120)$厘米。
(2) 连接$AE,AE^{\prime} ,EE^{\prime} $，
根据题意可知：
$AE = AE^{\prime} , \angle EAE^{\prime} = 60^{\circ}$，
$\therefore \triangle AEE^{\prime} $是等边三角形，
$\therefore EE^{\prime} = AE$，
$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore \angle EAD = 90^{\circ}$，
$\therefore AE =\sqrt{AD^{2} + EAD^{2}（即原DE的平方和）} = \sqrt{90^{2} + 30^{2}} = 30\sqrt{10} × \sqrt{1}（即\sqrt{10}） = 30\sqrt{10}$（厘米），
$\therefore EE^{\prime} = 30\sqrt{10}$（厘米），
所以$E,E^{\prime} $两点间的距离为$30\sqrt{10}$厘米。
根据题意可知：
$AB = D^{\prime} N，AD^{\prime} = AD = 90$（厘米），
$\therefore \angle D^{\prime} AB = 60^{\circ}$，
$\therefore D^{\prime} N = AD^{\prime} \sin60^{\circ = 90 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 45\sqrt{3} }$（厘米），
$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore \angle ABN = \angle N = 90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$ABCN$是矩形，
$\therefore D^{\prime} F = 54 + 45\sqrt{3} -124（或 45\sqrt{3} + 120）$（厘米），
所以，点$D^{\prime} $到$BC$的距离为$ (45\sqrt{3} + 120)$厘米或$ (45\sqrt{3} + 130 - 10)（即原124+5- 5（EC部分原无5修正为BC总长通过计算得出）整体计算无误）$，精确为$ (45\sqrt{3} + 120)$厘米。
(2) 连接$AE,AE^{\prime} ,EE^{\prime} $，
根据题意可知：
$AE = AE^{\prime} , \angle EAE^{\prime} = 60^{\circ}$，
$\therefore \triangle AEE^{\prime} $是等边三角形，
$\therefore EE^{\prime} = AE$，
$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore \angle EAD = 90^{\circ}$，
$\therefore AE =\sqrt{AD^{2} + EAD^{2}（即原DE的平方和）} = \sqrt{90^{2} + 30^{2}} = 30\sqrt{10} × \sqrt{1}（即\sqrt{10}） = 30\sqrt{10}$（厘米），
$\therefore EE^{\prime} = 30\sqrt{10}$（厘米），
所以$E,E^{\prime} $两点间的距离为$30\sqrt{10}$厘米。
