登录
8. 在 $\mathrm{Rt} △ ABC$ 中，$∠ C = 90^{\circ}$，$a$，$b$，$c$ 分别是 $∠ A$，$∠ B$，$∠ C$ 的对边.
(1) 若 $c = 10$，$a = 6$，则 $\sin A =$
(2) 若 $c = 3a$，则 $\sin A =$
(3) 若 $2b = \sqrt{2}c$，则 $\sin B =$
(1) 若 $c = 10$，$a = 6$，则 $\sin A =$
$\frac{3}{5}$
，$\sin B =$$\frac{4}{5}$
；(2) 若 $c = 3a$，则 $\sin A =$
$\frac{1}{3}$
；(3) 若 $2b = \sqrt{2}c$，则 $\sin B =$
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
.答案
8. (1) $\frac{3}{5}, \frac{4}{5}$ (2) $\frac{1}{3}$ (3) $\frac{\sqrt{2}}{2}$
9. 如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ B$ 为锐角，$AB = 3\sqrt{2}$，$AC = 5$，$BC = 7$，求 $\sin B$ 的值.
答案
9. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
解析
解：过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$，设$BD = x$，则$CD = 7 - x$。
在$Rt△ ABD$中，$AD^2 = AB^2 - BD^2 = (3\sqrt{2})^2 - x^2 = 18 - x^2$。
在$Rt△ ACD$中，$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 5^2 - (7 - x)^2 = 25 - (49 - 14x + x^2) = -x^2 + 14x - 24$。
所以$18 - x^2 = -x^2 + 14x - 24$，解得$x = 3$。
则$AD = \sqrt{18 - 3^2} = \sqrt{9} = 3$。
$\sin B = \frac{AD}{AB} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
在$Rt△ ABD$中，$AD^2 = AB^2 - BD^2 = (3\sqrt{2})^2 - x^2 = 18 - x^2$。
在$Rt△ ACD$中，$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 5^2 - (7 - x)^2 = 25 - (49 - 14x + x^2) = -x^2 + 14x - 24$。
所以$18 - x^2 = -x^2 + 14x - 24$，解得$x = 3$。
则$AD = \sqrt{18 - 3^2} = \sqrt{9} = 3$。
$\sin B = \frac{AD}{AB} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
10. 在 $△ ABC$ 中，$a$，$b$，$c$ 分别是 $∠ A$，$∠ B$，$∠ C$ 的对边，且 $c = 5\sqrt{3}$，若关于 $x$ 的方程 $(5\sqrt{3} + b)x^2 + 2ax + 5\sqrt{3} - b = 0$ 有两个相等的实数根.
(1) 试判断 $△ ABC$ 的形状；
(2) 若 $\sin A = \dfrac{3}{5}$，求 $△ ABC$ 的面积.
(1) 试判断 $△ ABC$ 的形状；
(2) 若 $\sin A = \dfrac{3}{5}$，求 $△ ABC$ 的面积.
答案
10. (1)直角三角形 (2)18
解析
(1) 解：因为方程$(5\sqrt{3} + b)x^2 + 2ax + 5\sqrt{3} - b = 0$有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = (2a)^2 - 4(5\sqrt{3} + b)(5\sqrt{3} - b) = 0$，即$4a^2 - 4[(5\sqrt{3})^2 - b^2] = 0$，化简得$a^2 + b^2 = (5\sqrt{3})^2 = 75$。又因为$c = 5\sqrt{3}$，所以$c^2 = 75$，故$a^2 + b^2 = c^2$，因此$△ ABC$是直角三角形。
(2) 解：由(1)知$△ ABC$是直角三角形，且$∠ C = 90°$。因为$\sin A = \frac{a}{c} = \frac{3}{5}$，$c = 5\sqrt{3}$，所以$a = c · \sin A = 5\sqrt{3} × \frac{3}{5} = 3\sqrt{3}$。由勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，可得$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{(5\sqrt{3})^2 - (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{75 - 27} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$。所以$△ ABC$的面积为$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 3\sqrt{3} × 4\sqrt{3} = \frac{1}{2} × 3\sqrt{3} × 4\sqrt{3} = \frac{1}{2} × 12 × 3 = 18$。
(2) 解：由(1)知$△ ABC$是直角三角形，且$∠ C = 90°$。因为$\sin A = \frac{a}{c} = \frac{3}{5}$，$c = 5\sqrt{3}$，所以$a = c · \sin A = 5\sqrt{3} × \frac{3}{5} = 3\sqrt{3}$。由勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，可得$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{(5\sqrt{3})^2 - (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{75 - 27} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$。所以$△ ABC$的面积为$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 3\sqrt{3} × 4\sqrt{3} = \frac{1}{2} × 3\sqrt{3} × 4\sqrt{3} = \frac{1}{2} × 12 × 3 = 18$。
11. 在锐角 $△ ABC$ 中，$AB = 15$，$BC = 14$，$S_{△ ABC} = 84$，求：
(1) $\tan C$ 的值；
(2) $\sin A$ 的值.
(1) $\tan C$ 的值；
(2) $\sin A$ 的值.
答案
11. (1) $\frac{12}{5}$ (2) $\frac{56}{65}$
解析
(1) 过点 $ A $ 作 $ AD ⊥ BC $ 于点 $ D $，则 $ S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = 84 $。
因为 $ BC = 14 $，所以 $ \frac{1}{2} × 14 × AD = 84 $，解得 $ AD = 12 $。
在 $ \mathrm{Rt}△ ADC $ 中，$ CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} $，但先求 $ AC $：
在 $ \mathrm{Rt}△ ABD $ 中，$ BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9 $，
所以 $ CD = BC - BD = 14 - 9 = 5 $。
因此 $ \tan C = \frac{AD}{CD} = \frac{12}{5} $。
(2) 过点 $ B $ 作 $ BE ⊥ AC $ 于点 $ E $，则 $ S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × BE = 84 $。
由 (1) 知 $ AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13 $，
所以 $ \frac{1}{2} × 13 × BE = 84 $，解得 $ BE = \frac{168}{13} $。
在 $ \mathrm{Rt}△ ABE $ 中，$ \sin A = \frac{BE}{AB} = \frac{\frac{168}{13}}{15} = \frac{56}{65} $。
(1) $\frac{12}{5}$
(2) $\frac{56}{65}$
因为 $ BC = 14 $，所以 $ \frac{1}{2} × 14 × AD = 84 $，解得 $ AD = 12 $。
在 $ \mathrm{Rt}△ ADC $ 中，$ CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} $，但先求 $ AC $：
在 $ \mathrm{Rt}△ ABD $ 中，$ BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9 $，
所以 $ CD = BC - BD = 14 - 9 = 5 $。
因此 $ \tan C = \frac{AD}{CD} = \frac{12}{5} $。
(2) 过点 $ B $ 作 $ BE ⊥ AC $ 于点 $ E $，则 $ S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × BE = 84 $。
由 (1) 知 $ AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13 $，
所以 $ \frac{1}{2} × 13 × BE = 84 $，解得 $ BE = \frac{168}{13} $。
在 $ \mathrm{Rt}△ ABE $ 中，$ \sin A = \frac{BE}{AB} = \frac{\frac{168}{13}}{15} = \frac{56}{65} $。
(1) $\frac{12}{5}$
(2) $\frac{56}{65}$
